专题02 数轴与相反数【九大考点+知识串讲】-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题02 数轴与相反数 考点类型 知识一遍过 （一）数轴 （1）相关概念：①规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；②数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）③画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度 （2）数轴上的点与有理数关系：任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 （3）数轴上两点距离：数轴上有两个点A、B所表示的数为a、b；那么线段AB= （4）数轴上点的移动：数轴上的点左右移动之后，所表示的数如何求解：口诀左减右加 （二）相反数 （1）概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 注意： ①通常a与-a互为相反数； ②a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ③特别注意：0的相反数是0. ④求一个的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可 考点一遍过 考点1：数轴的三要素及画法 典例1：（2024七年级上·江苏·专题练习）下列各图中，所画出的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【变式2】（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式3】（21-22七年级上·广东珠海·期中）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（    ）个．    A．0 B．1 C．2 D．3 考点2：用数轴上的点表示有理数 典例2：（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1），刻度尺上“0”和“3”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D．1.6 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【变式2】（2024·江苏扬州·二模）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B． C．或 D．或7 考点3：数轴上两点之间的距离 典例3：（23-24七年级下·广东广州·期末）在数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 【变式2】（2023·贵州贵阳·模拟预测）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C，若，则a的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式3】（23-24七年级上·四川乐山·期末）点、、、在数轴上的位置如图所示，为原点，， ，若点C表示的数为a，则点所表示的数为(　　) A． B． C． D． 考点4：数轴上的动点问题 典例4：（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数； (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒． ①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示） ②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【变式3】（23-24七年级上·陕西汉中·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．    (1)当时，点Q到原点O的距离为_______________； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 考点5：利用数轴来比较有理数的大小 典例5：（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序用“＞”连接起来， ，0，，2.5，， 【变式1】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）（1）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数，，，，，． （2）用“”将（1）中的每个数连接起来． 【变式2】（23-24七年级上·河南濮阳·期末）【阅读】 数学学习中我们经常要作分类．例如：学习有理数时，我们可以把有理数这样分类： 【问题解决】 给出下列10个数：，，，，1，，0，，，. (1)请你把这10个数按一定的标准分三类，分类时，给每一类起一个合适的名字，并把符合标准的数填入后面的括号内． 分类一，名字： ________，[                                    ……] 分类二，名字： ________，[                                    ……] 分类三，名字： ________，[                                    ……] (2)把其中数：，，，1，0，表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． 【变式3】（23-24七年级上·河南周口·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来 3.5；；；；0.5； 考点6：相反数的定义 典例6：（2024·河南·模拟预测）有理数的相反数是（   ） A． B． C．2024 D． 【变式1】（23-24七年级上·吉林·期末）的相反数是（   ） A．6 B． C． D． 【变式2】（20-21七年级上·山东青岛·期末）相反数是（    ） A． B． C．7 D． 【变式3】（2024·河北沧州·三模）表示（    ） A．的相反数 B．的倒数 C．的相反数 D．的倒数 考点7：判断是否互为相反数 典例7：（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．与2 B．与 C．4与 D．5与 【变式2】（21-22七年级上·安徽安庆·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3】（23-24七年级上·山东青岛·期中）下列两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 考点8：化简多重符号 典例8：（21-22七年级上·广东汕头·期中）下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列式子的化简结果等于5的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列各对数：“①与；②-与-；③-与+；④与”中，互为相反数的有(    ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式3】（2022七年级上·全国·专题练习）在，，，，这些数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点9：相反数的应用 典例9：（23-24九年级下·山东烟台·期中）数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【变式1】（23-24七年级上·福建福州·期中）若a与6互为相反数，则的值为（  ） A． B． C．5 D．6 【变式2】（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）如a，b互为相反数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．不确定 【变式3】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如果，那么，两个实数一定是（    ） A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．互为倒数 同步一遍过 一、单选题 1．2023的相反数是（　　） A．2302 B． C．2023 D． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．，，三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．的倒数的相反数是（    ） A． B． C． D．2019 5．如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴1个单位长度是1cm)，刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（    ） A．一个数与1相乘仍得这个数 B．两数商为0，则被除数一定为0 C．一个数与相乘得这个数的相反数 D．互为倒数的两个数相除商为1 7．下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 8．下列四个说法中，正确的是（    ） A．数轴是一条规定了原点、正方向的直线 B．整数和分数统称为有理数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．两数相加，同号得正，异号得负 9．如图，数轴上，点A、B、C、D表示的数分别a、b、c、d．若，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（    ） A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab 二、填空题 11．有理数的相反数是 ． 12．数轴上点表示的数是点表示的数是，则线段的中点表示的数是 ． 13．数轴上A、B两点间的距离为5，点A表示的数为3，则点B表示的数为 ． 14．如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 15．若m，n互为相反数，p，q互为倒数，则的值为 ． 16．有理数、、在数轴上的位置如图，化简： ． 三、解答题 17．如图，D和B两点虽然分别在原点的左边和右边，它们与原点的距离相同吗？ 18．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则求（a+b）2021 -(cd)2022值． 19．把数，，，，，在数轴上表示出来，然后用“”把它们连接起来． 20．（1）请你画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：﹣2.5，，﹣1，0，3； （2）按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来 　 　． 21．把，0，，表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接． (1)在数轴上把它们表示出来： (2)用“<”号连接：______． 22．如图，图中数轴的单位长度为1．    (1)如果点A，B表示的数互为相反数，请在图①中标出原点O的位置，并指出点C表示的数是多少； (2)如果点D，B表示的数互为相反数，请在图②中标出原点O的位置，并指出点C，D表示的数分别是多少． 23．如图．点A、C、B在数轴上表示的数分别是，1、5．动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿A→B→A运动．回到点A时停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿C→B向终点B运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P到达点B时，点Q表示的数为___________； (2)当时，求点P、Q之间的距离； (3)当点P沿A→B运动时，用含t的式子表示点P、Q之间的距离； (4)当点P沿B→A运动时，若点P、B之间的距离是2，直接写出点Q、B之间的距离． 24．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是___________； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则数轴的原点O对应直尺上的刻度为___________，此时p的值为___________； (3)若点C，O之间的距离为4，求p的值； (4)该数轴的单位长度不变，在（2）的基础上移动原点O． ①将原点沿数轴向左移动1厘米，p的值为___________，再将原点O向左移动1厘米，p的值为___________； ②猜想原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会如何变化． 25．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题： 如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度； (2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s） ①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴与相反数 考点类型 知识一遍过 （一）数轴 （1）相关概念：①规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；②数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）③画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度 （2）数轴上的点与有理数关系：任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 （3）数轴上两点距离：数轴上有两个点A、B所表示的数为a、b；那么线段AB= （4）数轴上点的移动：数轴上的点左右移动之后，所表示的数如何求解：口诀左减右加 （二）相反数 （1）概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 注意： ①通常a与-a互为相反数； ②a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ③特别注意：0的相反数是0. ④求一个的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可 考点一遍过 考点1：数轴的三要素及画法 典例1：（2024七年级上·江苏·专题练习）下列各图中，所画出的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A、没有单位长度，故错误； B、没有正方向，故错误； C、有原点，正方向，单位长度，正确； D、没有原点，故错误． 故本题选：C． 【变式1】（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 【详解】解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，据此进行判断即可求解． 【详解】解：A.单位长度不一致，不符合定义，故不符合题意； B.符合数轴的定义，故符合题意； C.没有正方向，不符合定义，故不符合题意； D.数轴上表示的数大小顺序不对，不符合定义，故不符合题意； 故答案：B． 【点睛】本题考查了数轴的定义，理解定义是解题的关键． 【变式3】（21-22七年级上·广东珠海·期中）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（    ）个．    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可． 【详解】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度， 图（1）没有原点，故（1）不正确； 图（2）满足数轴的定义，故（2）正确； 图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对，故（3）错误； 图（4）所画单位长度不一致，故（4）不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键． 考点2：用数轴上的点表示有理数 典例2：（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1），刻度尺上“0”和“3”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D．1.6 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握在数轴上右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离是解题关键．利用点在数轴上的位置，以及两点之间的距离分析即可求解． 【详解】解：设刻度尺上“”对应数轴上的数的点在原点的左边，距离原点有的单位长度，所以这个数是 故选：C． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键． 根据数轴上有理数的表示可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨迹盖住的整数有，，，，，，，，，0，1，2，3共13个； 故选：B． 【变式2】（2024·江苏扬州·二模）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示有理数，数轴上两点的距离． 根据数轴可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 【变式3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B． C．或 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移规律，掌握规律是解题的关键．平移规律：向右加，向左减；据此即可求解． 【详解】解：∵点为数轴上表示的点， ∴将点在数轴上向右平移2个单位长度到，将点在数轴上向左平移2个单位长度到， ∴点所表示的数为或 故选：C． 考点3：数轴上两点之间的距离 典例3：（23-24七年级下·广东广州·期末）在数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离计算方法直接计算即可求解，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是求出的长度．根据图1算出的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点表示的数． 【详解】解：图1：， 图， ， 点表示的数是：， 故选：B 【变式2】（2023·贵州贵阳·模拟预测）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C，若，则a的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先用含的式子表示出点，根据列出方程，求解即可． 本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含的式子表示出点是解决本题的关键． 【详解】解：由题意知：点表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为． 因为， 所以， 解得或4 ， ． 故选：C． 【变式3】（23-24七年级上·四川乐山·期末）点、、、在数轴上的位置如图所示，为原点，， ，若点C表示的数为a，则点所表示的数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数以及数轴上两点点的距离，列代数式，根据题意得出，根据，即可求解． 【详解】解：所表示的数为， ， ， ， ， 点所表示的数为． 故选：B． 考点4：数轴上的动点问题 典例4：（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数； (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒． ①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示） ②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 【答案】(1)； (2) (3)， ；或或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的感觉． （1）根据两点表示的数是互为相反数即可得到答案； （2）设点所表示的数为，根据题意列出方程即可得到答案； （3）①根据数轴上的点左加右减的运动规律得到答案； ②分三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：，两点表示的数是互为相反数， 点表示的数是，点表示的数为； （2）解：设点所表示的数为， 根据题意得：， 解得， 故答案为：； （3）解：①运动时间为秒， 点表示的数是，点表示的数为； ②当为中点时，即未出发， ， 当点为中点时，此时， 点表示的数是，点表示的数为， 解得， 当点为中点时，此时， ， 解得． 综上所述，或或． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【详解】（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 【变式3】（23-24七年级上·陕西汉中·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．    (1)当时，点Q到原点O的距离为_______________； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)2或6 【分析】本题考查了动点在数轴上的运动，正确分析题意并分类讨论，是解题的关键． （1）当时，先计算，小于8，则用8减去即可得； （2）当时，点运动的距离大于8，则用点运动的数值减去8即可； （3）当点到原点的距离为4时，分两种情况：向左运动时，向右运动时，分别计算即可． 【详解】（1）解：当时， 点到原点的距离为6； （2）当时，点运动的距离为 点到原点的距离为2； （3）当点到原点的距离为4时， 向左运动时，，则 ； 向右运动时 运动的距离是 运动时间 点到原点的距离为2或6． 考点5：利用数轴来比较有理数的大小 典例5：（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序用“＞”连接起来， ，0，，2.5，， 【答案】数轴见解析， 【分析】此题考查了在数轴上表示数和借助数轴比较大小，画出数轴，把数表示在数轴上，再用“＞”连接起来即可. 【详解】解：，， 数轴如图： 【变式1】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）（1）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数，，，，，． （2）用“”将（1）中的每个数连接起来． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了在数轴上表示数，利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握“数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大”是解题的关键． （1）根据数轴的三要素画出数轴，再把数表示在数轴上即可； （2）根据数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“”号连接起来即可． 【详解】解：（1）如图： ． （2）． 【变式2】（23-24七年级上·河南濮阳·期末）【阅读】 数学学习中我们经常要作分类．例如：学习有理数时，我们可以把有理数这样分类： 【问题解决】 给出下列10个数：，，，，1，，0，，，. (1)请你把这10个数按一定的标准分三类，分类时，给每一类起一个合适的名字，并把符合标准的数填入后面的括号内． 分类一，名字： ________，[                                    ……] 分类二，名字： ________，[                                    ……] 分类三，名字： ________，[                                    ……] (2)把其中数：，，，1，0，表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了对有理数的认识，能按照正负形比较大小是排列关键． （1）可按照正数、负数、零分类． （2）按照正负形即可排列大小． 【详解】（1）分类一：名字：正数，，1，，， 分类二：名字：负数，，，，． 分类三：名字：零，0 （2） 正确表示 由图可知： 【变式3】（23-24七年级上·河南周口·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来 3.5；；；；0.5； 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．把各个数表示在数轴上，根据数轴上表示的数，右边的数总大于左边的数，用“<”连接起来即可． 【详解】解：，， 数轴表示如图：    ∴． 考点6：相反数的定义 典例6：（2024·河南·模拟预测）有理数的相反数是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2024， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·吉林·期末）的相反数是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是6， 故选：A． 【变式2】（20-21七年级上·山东青岛·期末）相反数是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：相反数是． 故选：A． 【变式3】（2024·河北沧州·三模）表示（    ） A．的相反数 B．的倒数 C．的相反数 D．的倒数 【答案】B 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，根据倒数之积为、只有符号不同的两个数叫做互为相反数，得出表示的倒数与相反数，选择符合的答案即可，熟练掌握相反数和倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴表示的倒数，或表示的相反数， 故选：B． 考点7：判断是否互为相反数 典例7：（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：A． 和 不互为相反数，故该选项不符合题意；     B． 和不互为相反数，故该选项不符合题意；     C． 和不互为相反数，故该选项不符合题意；     D． 和互为相反数，故该选项符合题意；     故选：D． 【变式1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．与2 B．与 C．4与 D．5与 【答案】A 【分析】此题考查了相反数的知识，将各选项的数化简，根据相反数的定义进行判断是关键． 互为相反数的两数之和为零，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、与2，是互为相反数，故此选项正确； B、与，不是互为相反数，故此选项错误； C、4与不是互为相反数，故此选项错误； D、5与，不是互为相反数，故此选项错误； 故选：A． 【变式2】（21-22七年级上·安徽安庆·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数的定义是解题的关键，相反数的定义：“只有符号不同的两个数叫做相反数”，利用相反数的定义即可得到答案． 【详解】解：A、和不是互为相反数，故此选项不符合题意； B、和互为相反数，故此选项符合题意； C、和不是互为相反数，故此选项不符合题意； D、和不是互为相反数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】（23-24七年级上·山东青岛·期中）下列两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，将各数化简，再根据相反数的定义逐项判断即可，熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”是解此题的关键． 【详解】解：A、，， 和不互为相反数，故此选项错误，不符合题意； B、， 和不互为相反数，故此选项错误，不符合题意； C、， 和互为相反数，故此选项正确，符合题意； D、和不互为相反数，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 考点8：化简多重符号 典例8：（21-22七年级上·广东汕头·期中）下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据多重符号的化简方法化简即可． 【详解】解∶A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意； 故选∶B ． 【变式1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列式子的化简结果等于5的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简多重符号，根据去括号法则解答即可；掌握去括号是括号外是负号，则括号内要变号是解题的关键． 【详解】解：A. ，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意． 故选A． 【变式2】（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列各对数：“①与；②-与-；③-与+；④与”中，互为相反数的有(    ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】分别化简多重符号，进而根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解①与，相等，不合题意； ②-与-，互为相反数，符合题意，； ③-与+，相等，不合题意； ④与，互为相反数，符合题意， ∴互为相反数的有②④，共2对 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【变式3】（2022七年级上·全国·专题练习）在，，，，这些数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】将数列中的数化简，再根据正数、负数的定义解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴在，，，，这些数中，正数有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了化简多重符号，正负数的定义，正确化简各数是解题的关键． 考点9：相反数的应用 典例9：（23-24九年级下·山东烟台·期中）数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 根据相反数的几何意义可知：与互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答． 【详解】解：由题意知： 与互为相反数， ， 解得：． 故选：D． 【变式1】（23-24七年级上·福建福州·期中）若a与6互为相反数，则的值为（  ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据相反数的性质可得，即，再代入求值即可． 【详解】解：∵a与6互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数、解一元一次方程及代数值求值，根据相反数的性质得出是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）如a，b互为相反数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据相反数的定义和有理数乘法和加法运算法则，即可完成解答． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，有理数乘法运算，灵活应用相反数的定义，是解答本题的关键． 【变式3】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如果，那么，两个实数一定是（    ） A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．互为倒数 【答案】C 【分析】由，根据互为相反数的两个数的和等于0，即可求得答案． 【详解】解： ， ，两个实数一定是互为相反数， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算．注意和为0的两个数互为相反数． 同步一遍过 一、单选题 1．2023的相反数是（　　） A．2302 B． C．2023 D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：2023的相反数是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数是相反数． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可． 【详解】的相反数是． 故选：C． 3．，，三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴上的位置判断式子的正负，由数轴可得：，，由此逐项判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，，故①②正确， ，故③正确， ，故④错误， 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：C． 4．的倒数的相反数是（    ） A． B． C． D．2019 【答案】C 【分析】先求的倒数，再求倒数的相反数即可． 【详解】解：的倒数是， 的相反数为， ∴的倒数的相反数是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了倒数和相反数，熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键． 5．如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴1个单位长度是1cm)，刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数轴上两点间的距离的表示方法，列式计算即可． 【详解】解：刻度尺上6.5cm与0cm的距离为6.5cm，刻度尺上0cm对应数轴上的数3， 因此刻度尺上“6.5cm”对应数轴上的数为， 故选B． 【点睛】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握“在数轴上，右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离”． 6．下列说法错误的是（    ） A．一个数与1相乘仍得这个数 B．两数商为0，则被除数一定为0 C．一个数与相乘得这个数的相反数 D．互为倒数的两个数相除商为1 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法，除法，以及相反数、倒数的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 一个数与1相乘仍得这个数，故该选项正确，不符合题意； B. 两数商为0，则被除数一定为0，故该选项正确，不符合题意； C. 一个数与相乘得这个数的相反数，故该选项正确，不符合题意； D. 互为倒数的两个数相乘积为1，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，以及相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 8．下列四个说法中，正确的是（    ） A．数轴是一条规定了原点、正方向的直线 B．整数和分数统称为有理数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．两数相加，同号得正，异号得负 【答案】B 【分析】根据数轴、有理数、相反数以及有理数运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A．数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，故该说法错误，不符合题意； B．整数和分数统称为有理数，说法正确，符合题意； C．只有符号不同的两个数互为相反数，故该说法错误，不符合题意； D．两数相乘，同号得正，异号得负，故该说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴、有理数、相反数以及有理数运算法则等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 9．如图，数轴上，点A、B、C、D表示的数分别a、b、c、d．若，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据可得原点在点中间，且靠近点，再根据有理数的加减法与乘法运算、绝对值的意义逐项判断即可得． 【详解】解：， 原点在点中间，且靠近点， ，且． A、，此项错误； B、，此项错误； C、由得：，所以，此项错误； D、由得：，由得：，所以，此项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法与乘法运算、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 10．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（    ） A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab 【答案】B 【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负． 【详解】解：∵， ∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边， ∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数， ，但是的符号不能确定，故A错误； 若b和c都是负数，则，若b是负数，c是正数，且，则，故B正确； 若a和c都是负数，则，若a是正数，c是负数，且，则，故C错误； 若b是负数，c是正数，则，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的正负． 二、填空题 11．有理数的相反数是 ． 【答案】6 【分析】直接根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：有理数的相反数是6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 12．数轴上点表示的数是点表示的数是，则线段的中点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，熟练掌握中点公式是解答本题的关键．根据中点表示的数是两端点表示数和的平均数列式求解即可． 【详解】解：中点表示 ． 故答案为：． 13．数轴上A、B两点间的距离为5，点A表示的数为3，则点B表示的数为 ． 【答案】8或-2 【分析】根据数轴的特点即可分类讨论求解． 【详解】当点B在点A的右侧，则点B表示的数为3+5=8； 当点B在点A的左侧，则点B表示的数为3-5=-2； 故答案为：8或-2． 【点睛】此题主要考查数轴上表示的数，解题的关键是熟知数轴的特点． 14．如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】0或10或20 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是要读懂题目的意思，利用分论讨论的思想求解．分，，，进行讨论求解即可． 【详解】解：， ①当，则，则点C所表示的数为； ②当，则，则点C所表示的数为； ③当，则，则点C所表示的数为； 综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20， 故答案为：0或10或20． 15．若m，n互为相反数，p，q互为倒数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】直接利用互为相反数以及互为倒数的定义代入，结合有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵m，n互为相反数，p，q互为倒数， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确掌握相关定义是解题关键． 16．有理数、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 根据a、b、c在数轴上的位置，进行绝对值的化简，然后合并． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，D和B两点虽然分别在原点的左边和右边，它们与原点的距离相同吗？ 【答案】相同，它们到原点的距离都是3 【解析】略 18．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则求（a+b）2021 -(cd)2022值． 【答案】－1 【分析】根据题意求得、，代入，根据乘方运算求解即可． 【详解】解：根据题意得a+b=0、cd=1， 【点睛】此题考查了相反数和倒数的性质，以及有理数乘方的运算，解题的关键是掌握有理数的有关性质以及相关运算法则． 19．把数，，，，，在数轴上表示出来，然后用“”把它们连接起来． 【答案】；数轴见解析． 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． 【详解】解：，，， 将各个数表示在数轴上，如图所示： 用“”把它们连接起来为：． 20．（1）请你画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：﹣2.5，，﹣1，0，3； （2）按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来 　 　． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先根据数轴的三要素画出标准的数轴，然后依次表示出各点即可； （2）结合数轴上右边的数大于左边的数，顺次连接表示即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2）∵数轴上右边的数大于左边的数， ∴按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查在数轴上表示有理数，以及利用数轴比较有理数的大小，理解数轴的定义与性质，掌握数轴的三要素是解题关键． 21．把，0，，表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接． (1)在数轴上把它们表示出来： (2)用“<”号连接：______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，数轴的应用，能将各数在数轴上表示是解此题的关键． （1）在数轴上表示各数即可； （2）利用数轴比较大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 【详解】（1）解：在数轴上表示各数如下， （2）由数轴上的点所表示的数，右边的总是大于左边的可得． 故答案为：． 22．如图，图中数轴的单位长度为1．    (1)如果点A，B表示的数互为相反数，请在图①中标出原点O的位置，并指出点C表示的数是多少； (2)如果点D，B表示的数互为相反数，请在图②中标出原点O的位置，并指出点C，D表示的数分别是多少． 【答案】(1)见解析，点表示的数是 (2)见解析，点C表示的数是0.5，点D表示的数是 【分析】（1）根据点A，B表示的数互为相反数，得出原点在线段的中点上，然后得出点C表示的数即可； （2）根据点D，B表示的数互为相反数，得出原点在线段的中点上，然后得出点C、D表示的数即可． 【详解】（1）解：原点的位置如图①所示．点表示的数是．    （2）解：原点O的位置如图②所示．点C表示的数是0.5，点D表示的数是．    【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，解题的关键是数形结合，熟练掌握相反数的定义． 23．如图．点A、C、B在数轴上表示的数分别是，1、5．动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿A→B→A运动．回到点A时停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿C→B向终点B运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P到达点B时，点Q表示的数为___________； (2)当时，求点P、Q之间的距离； (3)当点P沿A→B运动时，用含t的式子表示点P、Q之间的距离； (4)当点P沿B→A运动时，若点P、B之间的距离是2，直接写出点Q、B之间的距离． 【答案】(1)3 (2)1 (3) (4)1.5 【分析】（1）先计算运动时间后算出Q的运动长度即可． （2）算出P和Q表示的数即可． （3）利用行程问题表示出P和Q两点表示的数即可． （4）先算出运送时间，再算出距离即可． 【详解】（1）解：点P的运动时间为：秒， 故点Q的运动长度为，表示的数为3． （2）解：当时，点P表示的数是， 点Q表示的数是，所以点P、Q之间的距离是1． （3）解：当点P沿A→B运动时，若点P、Q重合前，则点Q表示的数大于点P表示的数，所以，所以点P、Q之间的距离为； 当点P、Q重合时，点P、Q之间的距离是0；当点P超过点Q时，则点P表示的数大于点Q表示的数，所以，所以点P、Q之间的距离为． （4）解：当点P沿B→A运动时，若点P、B之间的距离是2时，运动时间为：秒，则点Q的运动长度为：秒，． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点，利用行程问题解数轴动点问题是解题的关键． 24．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是___________； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则数轴的原点O对应直尺上的刻度为___________，此时p的值为___________； (3)若点C，O之间的距离为4，求p的值； (4)该数轴的单位长度不变，在（2）的基础上移动原点O． ①将原点沿数轴向左移动1厘米，p的值为___________，再将原点O向左移动1厘米，p的值为___________； ②猜想原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会如何变化． 【答案】(1) (2)， (3)2或 (4)①；②原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会增加3 【分析】（1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点表示是的数为，点表示的数为，由，得出点表示的数是，根据有理数的加法即可求解； （3）分点在得到左边和右边两种情况讨论即可求解； （4）①将原点沿数轴向左移动1厘米，则点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是，根据有理数的加法进行计算即可求解；同理计算再将原点O向左移动1厘米，p的值； ②根据原点O沿着数轴每向左移动1厘米，点对应的数都加1，即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10， ∴， ∵点A所表示的数是，则点C所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10， ∴ ∵点A，B所表示的数互为相反数， 则点表示是的数为，点表示的数为， ∵，∴点表示的数是， 则数轴的原点O对应直尺上的刻度为， ∵A，B，C所表示的数的和是p ∴ 故答案为：， （3）∵点C，O之间的距离为4，点对着直尺上的刻度10， ①当在点的左边时，点对着直尺上的刻度6，则C点表示的数为4， ∵， 此时点表示的数为，点表示的数为2， ∴ ②当在点的右边时，点对着直尺上的刻度14，则C点表示的数为 ∵ 此时点表示的数为，点表示的数为， ∴， 综上所述，的值为2或； （4）由（2）可知原点对应的刻度为5, 点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是， ①将原点沿数轴向左移动1厘米，则点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是， ∴， 再将原点O向左移动1厘米，则点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是， ∴， ②猜想原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值增加3． ∵原点O沿着数轴每向左移动1厘米，点对应的数都加1， ∴的值增加3． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加法运算，数形结合是解题的关键． 25．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题： 如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度； (2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s） ①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)m＝4，n＝5 (2)①；②6s或11s 【分析】（1）根据非负数的性质可得答案； （2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可． 【详解】（1）解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0， ∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0， ∴a＝﹣5，b＝﹣1 ∴m＝-1-（-5）=4 又因为c＝3，d＝8 ∴n＝8-3=5 ∴m和n的长度分别为4和5； （2）解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3． ∴t＝s， 故答案是：； ②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4， 设t秒重叠2个单位长度， 可得4t＝3t+4+2， 解得t＝6， m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13， 可得4t＝3t+13﹣2， 解得t＝11， 综上t＝6s或11s． 【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$