27.2.3 切线 课件 2023--2024学年华东师大版九年级数学下册

27.2.3 切线 切线的性质定理与判定定理 下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出. 仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？ 新课导入 工人用砂轮磨一把刀，在接触的一瞬间，擦出的火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？ 都是沿切线方向飞出去的. 做 一 做 如图，画一个圆O及半径OA，经过⊙O的半径OA的外端点A画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？ 直线l是⊙O的切线吗？你能说明理由吗？由此，你能得到什么结论？ 探究新知 切线的判定定理 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判断： 1. 过半径的外端点的直线是圆的切线 （ ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线 （ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 （ ） O r l A O r l A O r l A × × × 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端点；(2)直线与这条半径垂直. 问题：判断一条直线是圆的切线，你现在会哪几种方法？ 有以下三种方法： 1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2.数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. 3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？ 由于l是⊙O的切线，圆心О到直线l的距离等于半径，所以半径OA就是圆心О到直线l的垂线段，即l⊥OA. 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图所示，直线AB经过⊙O上的点A，且AB=OA， ∠OBA = 45°.求证：直线AB是⊙O的切线. 例2 证明：∵AB=OA，∠OBA=45°， ∴∠AOB=∠OBA=45°， ∴∠OAB=90°. 又∵点A在圆上， ∴直线AB是⊙O的切线（切线的判定定理）. 1.试判断下列命题是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举例说明. （1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线； （2）过圆的半径外端的直线一定是这个圆的切线. 解：（1）不正确，如图. （2）不正确，如图. 随堂演练 2.如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证：AC是⊙O的切线. 证明：AB为⊙O的直径， ∴∠BDA=90°， ∴∠B+∠BAD=90°. 而∠B=∠CAD， 故有∠CAD+∠BAD=90°. ∴BA⊥AC. ∴AC为⊙O的切线. 3.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD=∠B=30°，直线BD是⊙O的切线吗？如果是，请给出证明. 解：是.证明如下： ∵∠BAD=30º， ∴∠BOD=60º． 在△ODB中，∠B=30º，∠BOD=60º， ∴∠BDO= 90º，即OD⊥BD. 又∵OD为⊙O的半径， ∴BD是⊙O的切线 4.在⊙O上任取一点A，过点A用三角尺画出O的一条切线. 解：过点A作⊙O切线的步骤： ①连接OA； ②将三角尺中直角的一边与OA重合，直角顶点与点A重合，沿着三角尺中直角的另一直角边作直线l．则直线l就是所要画的⊙O的一条切线．如图． 5.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？ 解：由勾股定理可知：BC= (cm)， ∵ ， ∴CD= (cm). 因此，当半径长为 cm时，AB与⊙C相切. 6.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A. (1)CD与⊙О相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由. (2)若CD与⊙О相切，且∠D=30°， BD=10，求⊙O的半径. (1)解：CD与⊙О相切.证明如下： ∵C点在⊙O上，AB是直径， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°， ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A， ∴∠OCA=∠DCB， ∴∠OCD=90°， ∴CD是⊙O的切线. (2)解：在Rt△OCD中，∠D=30°， ∴∠COD=60°，∴∠A=30°， ∴∠BCD=30°， ∴BC=BD=10，∴AB=20，∴r=10. 切线的判定定理： 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径. 课堂小结 $$