第04讲 二次函数的应用 （6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第04讲 二次函数的应用 （6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点3．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点4．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点5．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点6．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．抛物线与x轴的交点 1．（2023秋•江干区校级月考）抛物线与轴只有一个交点，则　　． 2．（2023秋•浙江期末）已知二次函数，下列说法正确的是　　 A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．函数于轴交点坐标为 D．函数与轴交点坐标为和 3．（2024•西湖区校级二模）在二次函数中， （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标． （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． （3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 题型二．图象法求一元二次方程的近似根 4．（2022秋•洞头区期中）如表是部分二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在　　范围之间． A． B． C． D． 5．（2021秋•临海市期末）如图，二次函数的部分图象与轴的交点为，它的对称轴为直线，则下列结论中：①；②；③；④方程的其中一个根在2，3之间，正确的有 　　（填序号）． 题型三．二次函数与不等式（组） 6．（2024•西湖区三模）已知二次函数为常数）图象上两个不同的点，，，，且．有以下四个结论：①该二次函数图象与轴一定有两个不同的交点；②若一次函数经过点，，则当时，总有；③当时，；④当时，；以上结论中正确的是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 7．（2023秋•上城区校级期中）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是 　　，不等式的解集是 　　． 8．（2024•宁波模拟）已知函数，的图象在同一平面直角坐标系中． （1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值． （2）求这两个函数图象的交点的横坐标． （3）已知当时，，求的取值范围． 题型四．根据实际问题列二次函数关系式 9．（2023秋•瑞安市月考）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具（万只）．设该玩具的月平均增长率为，则与之间的函数表达式是 　　． 10．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数表达式为　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•下城区校级月考）美国圣路易斯市有一座巨大的拱门，这座拱高和底宽都是的不锈钢拱门是美国开发西部的标志性建筑．如果把拱门看作一条抛物线，试建立恰当的平面直角坐标系，并写出与该抛物线相应的函数表达式． 题型五．二次函数的应用 12．（2021秋•沙市区校级期中）飞机着陆后滑行的距离（单位：与滑行的时间（单位：的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来　　 A． B． C． D． 13．（2024•新化县一模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 　　米． 14．（2022秋•鹿城区校级期末）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．分米，点到轴的距离是0.6分米，，两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离． 题型六．二次函数综合题 15．（2022•富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数” 上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 16．（2023秋•义乌市月考）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式 　　； （2）若点在抛物线对称轴上，点在坐标平面内，当点坐标为 　　，点坐标为 　　时，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 17．（2024•瓯海区校级三模）二次函数的图象与轴交于点，，，且． （1）当，且时， ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值； （2）若，求证：． 分层练习 一、单选题 1．（2022九年级上·浙江·专题练习）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2 C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有的函数关系，下列解释正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江台州·期末）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线结构（如图），则a的值最接近于（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·浙江温州·期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过秒时球的高度为米，和满足公式： (表示球弹起时的速度，表示重力系数，取)，则球离地面的最大高度是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（   ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 10．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在菱形中，，点同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为的面积为，则下列图象中能大致反映关于的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）一名男生在一个水平的训练场地里推铅球，铅球飞行高度与距离该男生的水平距离之间满足：，则铅球推出的距离为 ． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽4m，若水面下降1m，则此时水面宽度为 m（结果允许保留根号的形式）． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，．点P在边上，从点A向点C移动；点Q在边上，从点C向点B移动，连结．点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为，线段的长为．当 时，L的最小值为 cm． 15．（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 16．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为 ． 三、解答题 17．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃（墙足够长，篱笆要全部用完）． (1)问为多少米时，矩形的面积为48平方米？ (2)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积． 18．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始，沿着向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，设，同时出发，问：    (1)经过几秒后，的距离最短？ (2)经过几秒后的面积最大？最大面积是多少？ 19．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标； (2)根据图象回答：当取何值时，与？ (3)在该抛物线的对称轴上有一动点，连接和．试问：是否存在的最小值？如有，求出点的坐标． 20．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校足球队在一次训练中，一球员从高米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的函数解析式； (2)当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； (3)球员射门时，若满足，球都越过球门，求的最小值及的最大值． 21．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点B的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线。在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误。运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由 (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），求a的取值范围． 22．（22-23九年级上·浙江台州·期中）现有一瓶洗手液如图1所示．已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点和点，下部分是矩形，且，，点到台面的距离为，如图2所示，若以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，当手按住顶部下压时，洗手液从喷口流出，其路线呈抛物线形，此时喷口距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点． (1)请求出点E的坐标，并求出b，c的值. (2)接洗手液时，当手心距所在直线的水平距离为时，手心距水平台面的高度为多少？ 23．（23-24九年级上·浙江·期中）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 24．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用 （6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点3．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点4．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点5．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点6．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．抛物线与x轴的交点 1．（2023秋•江干区校级月考）抛物线与轴只有一个交点，则　1　． 【分析】抛物线与轴只有一个交点，则该抛物线顶点位于轴上． 【解答】解：抛物线与轴只有一个交点，且该抛物线的顶点坐标为， 顶点位于轴上． ． 解得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，此题隐含的条件是抛物线的顶点位于轴上． 2．（2023秋•浙江期末）已知二次函数，下列说法正确的是　　 A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．函数于轴交点坐标为 D．函数与轴交点坐标为和 【分析】根据二次函数的性质可以判断，；令，求出的值，即可判断；令，解方程求出的值即可判断． 【解答】解：二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 故，选项错误，不符合题意； 令，则， 函数与轴的交点坐标为， 故选项错误，不符合题意； 令，则， 解得，， 函数与轴交点坐标为和， 故选项正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•西湖区校级二模）在二次函数中， （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标． （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． （3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标． （2）依据题意，由△，又对于任意的都有，从而可以判断△的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合，可得，再分类讨论即可得解． 【解答】（1）解：二次函数的图象经过， ， ， 抛物线为， ， 对称轴直线，顶点坐标． （2）证明：△， 二次函数图象与轴总有两个公共点． （3）解：，在二次函数图象上， 对称轴直线， ． ， ， 抛物线过， ，即， ， ，解得，即， 抛物线开口向上， 当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ， ， 当，解得，不合题意舍去， 当，即，解得， 故的取值范围是． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 题型二．图象法求一元二次方程的近似根 4．（2022秋•洞头区期中）如表是部分二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在　　范围之间． A． B． C． D． 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【解答】解：观察表格可知：当时，；当时，， 方程的一个根在范围是． 故选：． 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可． 5．（2021秋•临海市期末）如图，二次函数的部分图象与轴的交点为，它的对称轴为直线，则下列结论中：①；②；③；④方程的其中一个根在2，3之间，正确的有 　①②④　（填序号）． 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可． 【解答】解：二次函数的部分图象与轴的交点为， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故②正确； 由图象可知，当时，， ，故③错误； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，0之间， 与轴的另一个一个交点在2，3之间， 方程的其中一个根在2，3之间，故④正确， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 题型三．二次函数与不等式（组） 6．（2024•西湖区三模）已知二次函数为常数）图象上两个不同的点，，，，且．有以下四个结论：①该二次函数图象与轴一定有两个不同的交点；②若一次函数经过点，，则当时，总有；③当时，；④当时，；以上结论中正确的是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【分析】依据题意，由二次函数为，令，故，从而或，当时，求出，即当时，二次函数图象与轴仅有一个交点，故可判断①；又一次函数经过点，，且，，，，且，从而当时，总有，故可判断②；由题意，当时，对称轴是直线，则，故可判断③；由抛物线开口向上，对称轴是直线，从而当时，随的增大而减小，再结合时，，可得或，进而分类讨论即可判断④． 【解答】解：由题意，二次函数为， 令，故． 或． 当时， ，即当时，二次函数图象与轴仅有一个交点，故①错误． 一次函数经过点，，且，，，，且， 当时，总有，故②正确． 由题意，当时，对称轴是直线， ，故③正确． 抛物线开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小． 又时，， 或． ①当时， ． ②当时， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又， ． ． 综上，，故④错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 7．（2023秋•上城区校级期中）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是 　或　，不等式的解集是 　　． 【分析】根据函数与方程及不等式的关系求解． 【解答】解：当时，，当时，， 二次函数的对称轴为直线． 当时，， 当时，． 方程的解是或． 当时，， 当时，． 当时，随的增大而增大， ． 不等式的解集是或． 故答案为：或；或． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 8．（2024•宁波模拟）已知函数，的图象在同一平面直角坐标系中． （1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值． （2）求这两个函数图象的交点的横坐标． （3）已知当时，，求的取值范围． 【分析】（1）将代入，将代入，可求得的值． （2）令，求出的值即可． （3）结合二次函数和一次函数的图象与性质可知，当时，，进而可得，则． 【解答】解：（1）将代入，将代入， 得， 可得． （2）令， 得， 解得，， 这两个函数图象的交点的横坐标为0，1． （3）这两个函数图象的交点的横坐标为0，1，， 当时，， 当时，， ， ． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组，熟练掌握二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 题型四．根据实际问题列二次函数关系式 9．（2023秋•瑞安市月考）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具（万只）．设该玩具的月平均增长率为，则与之间的函数表达式是 　　． 【分析】利用玩具厂9月份生产该玩具的数量玩具厂7月份生产该玩具的数量该玩具的月平均增长率），即可找出与之间的函数表达式． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数表达式是解题的关键． 10．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据剩下部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，得出与的函数关系式即可． 【解答】解：设剩下部分的面积为，则：， 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积大正方形的面积小正方形的面积得出是解题关键． 11．（2022秋•下城区校级月考）美国圣路易斯市有一座巨大的拱门，这座拱高和底宽都是的不锈钢拱门是美国开发西部的标志性建筑．如果把拱门看作一条抛物线，试建立恰当的平面直角坐标系，并写出与该抛物线相应的函数表达式． 【分析】以拱门底部中点为原点，水平面为轴，竖直方向为轴建立坐标系，设抛物线相应的函数表达式：，代入点的坐标，即可得到结论． 【解答】解：如图，以拱门底部中点为原点，水平面为轴，竖直方向为轴建立坐标系， 设抛物线相应的函数表达式：， 该抛物线过点， 解得， 拱桥对应的二次函数解析式为：． 【点评】此题考查二次函数的实际运用，利用待定系数法求函数解析式，建立函数与方程之间的联系是解决问题的关键． 题型五．二次函数的应用 12．（2021秋•沙市区校级期中）飞机着陆后滑行的距离（单位：与滑行的时间（单位：的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来　　 A． B． C． D． 【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时，进而得出答案． 【解答】解：， 函数有最大值， 当（秒， 即飞机着陆后滑行20秒能停下来， 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键． 13．（2024•新化县一模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 　18　米． 【分析】由题可知，、两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，的横坐标减去的横坐标即为的长． 【解答】解：由“在该抛物线上距水面高为8米的点”， 可知， 把代入得： ， 解得， 由两点间距离公式可求出（米． 故答案为：18． 【点评】此题考查的是二次函数的应用，掌握其性质是解决此题的关键． 14．（2022秋•鹿城区校级期末）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．分米，点到轴的距离是0.6分米，，两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离． 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标，根据抛物线的对称性计算出点坐标，利用横坐标之差计算线段长． 【解答】解：（1）根据题意，点，，， 设抛物线解析式为：，将坐标代入解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为：． （2）设直线解析式为，将坐标代入得，，解得， 直线解析式为：， 联立函数解析式：， 解得：，或（不符合题意舍去）， 点坐标为． 抛物线的对称轴是轴，点的坐标为， ． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 题型六．二次函数综合题 15．（2022•富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数” 上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【分析】先根据题意求出，的取值，代入得到，，的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【解答】解：点，是关于的“黄金函数” 上的一对“黄金点”， ，关于原点对称， ，， ，， 代入 得， ， ①②正确， 该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ， ， ，④正确， ， ，， 当时，， ， ， ，③错误． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 16．（2023秋•义乌市月考）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式 　　； （2）若点在抛物线对称轴上，点在坐标平面内，当点坐标为 　　，点坐标为 　　时，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【解答】解：（1）当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； 故答案为：； （2）点在抛物线对称轴上， 设， 以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ， ，， ． 故当点坐标为，点坐标为时，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． 17．（2024•瓯海区校级三模）二次函数的图象与轴交于点，，，且． （1）当，且时， ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值； （2）若，求证：． 【分析】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解； ②当时，随的增大而减小，当时，，当时，，则，即可求解；当时，同理可解； （2）、是一元二次方程的两个根，，，则，即，即可求解． 【解答】（1）解：①当，则抛物线经过点，且， 则，解得： 即、的值分别为2、； ②， 当时，随的增大而减小， 当时，，当时，， 则， 方程无解； 当时，的最小值为，最大值为， 则， 解得：（舍去）或1； （2）证明：，且， ， ， 、是一元二次方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 分层练习 一、单选题 1．（2022九年级上·浙江·专题练习）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2 C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2 【答案】C 【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答． 【详解】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x， 由题意可得： y关于x的函数表达式是：y=6（1+x）2， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．当这种商品的售价减低元时，每个的销售利润为元，销售量为个，利用总利润每个的销售利润销售量，即可找出关于的函数关系式，此题得解． 【详解】解：当这种商品的售价减低元时，每个的销售利润为元，销售量为个， 根据题意得：． 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有的函数关系，下列解释正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根与，即时所用的时间， ∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是1s或3s，故A不符合题意； ， ∴对称轴直线为：，最大值为20，故D不符合题意； 时，，此时小球继续下降，故B不符合题意； ∵当时，，， ， ∴小球从飞出到落地要用4s，故C符合题意． 故选：C． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．先求出点A和点B的坐标，则设该抛物线解析式为，再求出点D的坐标，将其代入，求出a的值，得出函数解析式，最后求出当时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设该抛物线解析式为， ∵，， ∴，则， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 5．（23-24九年级上·浙江台州·期末）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线结构（如图），则a的值最接近于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得a的值，即可判断． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，双塔底部所在直线为x轴，过最高点C且垂直于x轴所在直线为y轴，则抛物线顶点为； ∵双塔底部为跨度约62米， ∴， 把A、B、C三点坐标分别代入中， 得：，解得： ∴，而接近， 故选：A． 6．（22-23九年级上·浙江温州·期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解． 【详解】解：如图： 根据题意，得， 设抛物线解析式为， 把点代入得：， 解得：， 所以抛物线解析式为， 当时，即， 解得： 或（舍去）， 又， 所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． 7．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过秒时球的高度为米，和满足公式： (表示球弹起时的速度，表示重力系数，取)，则球离地面的最大高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 由题意知，，由，求最值即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴当时，， 故选：A． 8．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由可得到点坐标为，点坐标为，把它们代入解析式解得，即可判断②；由得出，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④． 【详解】解：抛物线的顶点 在第一象限， ， ，故①正确； ， 点坐标为，点坐标为， 把代入得， ，故②正确； ，， ， 设，， ∵开口向下，对称轴在y轴右边， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ，故③正确； ∵，， ，故④正确； 故选：D． 9．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（   ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积关于的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，然后分别令和，解方程求出，取在取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为， ； 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小亮说法正确． 故选：B． 10．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在菱形中，，点同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为的面积为，则下列图象中能大致反映关于的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题中的函数图象的判断，涉及菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、一次函数二次函数的图象，分类讨论求得函数的解析式是解答的关键．先证明，均为等边三角形，再分、、三种情况，分别画出对应图形，利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求得y与x的函数关系式，结合一次函数、二次函数的图象特征逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，均为等边三角形， ∴，， 由题意，， 当时，点P在，点Q在上，如图，过P作于E， 由题意，，， 在中，， ∴，则， ∴，故D选项不正确； 当时，点P在上，点Q在上，如图，过Q作于F， 由题意，，， 在中，， ∴，则， ∴，故B选项不正确； 当时，点P、Q均在上，如图，过A作于G， 由题意，，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴，故选项C不正确， 综上，选项A正确，符合题意， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）一名男生在一个水平的训练场地里推铅球，铅球飞行高度与距离该男生的水平距离之间满足：，则铅球推出的距离为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，当时，解方程即可求解，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 【详解】解：当时，， 解得：，（舍去）， 铅球推出的距离为， 故答案为：10． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽4m，若水面下降1m，则此时水面宽度为 m（结果允许保留根号的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了自建坐标系求解拱形桥问题，根据题意建立适当的平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题即可求解，熟练掌握二次函数的解析式求函数值是解题的关键． 【详解】解：如图： 以拱顶到水面的距离为3米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 根据题意设二次函数解析式为： 把代入，得 解得 ∴二次函数解析式为：， ∴当时， 解得． ∴水面的宽度为． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元． 【答案】 10240 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时， y 有最大值，为10240， 答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：，10240． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，．点P在边上，从点A向点C移动；点Q在边上，从点C向点B移动，连结．点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为，线段的长为．当 时，L的最小值为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及二次函数的应用，当运动时间为时，， 则．利用勾股定理可得出，利用二次函数的性质可求出的最小值，再结合L为正值，即可得出：当时，L取得最小值，最小值为． 【详解】解：当运动时间为时，， ． ， ，即， ，且， 随t的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值， 又为正值， ∴当时，L取得最小值，最小值为． 故答案为：2；． 15．（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．设，则，，设矩形养殖场的总面积是，根据题意得：，由二次函数性质求最值即可． 【详解】如图， 设， ∵分成两个面积为的矩形， ∴，， 设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为， ， 根据题意得：， ， 当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 16．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，由菱形的性质得，，由二次函数的性质得直线是抛物线的对称轴，由得，即可求解；掌握菱形的性质和二次函数的性质，由性质得到直线是抛物线的对称轴是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于， 当时，， ， 四边形是菱形， ， ， 轴， 轴， ， ， 直线是抛物线的对称轴， 抛物线 ， ， ， ， 解得：； 故答案：． 三、解答题 17．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃（墙足够长，篱笆要全部用完）． (1)问为多少米时，矩形的面积为48平方米？ (2)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积． 【答案】(1)3或4 (2)40平方米 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键． （1）根据为，就为，利用长方形的面积公式，列出方程，解方程即可； （2）设花圃的面积为S平方米，根据长方形的面积公式列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：为3米或4米时，矩形的面积为48平方米； （2）解：设花圃的面积为S平方米， 则， ∵， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为40， 答：围成花圃的最大面积为40平方米， 18．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始，沿着向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，设，同时出发，问：    (1)经过几秒后，的距离最短？ (2)经过几秒后的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)经过秒，P、Q的距离最短，最短为cm． (2)经过3秒，的面积最大，最大值是9． 【分析】（1）设运动时间为x秒，根据勾股定理求出的表达式，再利用二次函数的性质求出最小值即可； （2）根据，当时，即可取得最大值． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒， 则，， ∵， ∴， ∴ ； ∴当时，最短，最短为， ∴经过秒，P、Q的距离最短，最短为cm． （2）∵ ∴当时，取得最大值9， ∴经过3秒，的面积最大，最大值是9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． 19．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标； (2)根据图象回答：当取何值时，与？ (3)在该抛物线的对称轴上有一动点，连接和．试问：是否存在的最小值？如有，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)当时， (3)有， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）观察图象得：当时，，即可； （3）作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线 可得方程组 ，解得：， 所以函数表达式为 ，                    当时，， 解得； 另一个交点B的坐标为； （2）解∶观察图象得：当时，； （3）解: 如图，作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点． 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数式为， ∵抛物线对称轴为直线， 当时，， 即点． 20．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校足球队在一次训练中，一球员从高米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的函数解析式； (2)当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； (3)球员射门时，若满足，球都越过球门，求的最小值及的最大值． 【答案】(1) (2)足球能射入球门，理由见解析 (3)的最小值，的最大值 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再把原点坐标代入解析式中进行求解即可； （2）求出时y的值，判断即可； （3）分别求出时x的值即可知其越过球门时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】（1）解：设抛物线函数解析式 将代入中得：，解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：足球能射入球门，理由如下： 当时， ∵ ∴足球能射入球门． （3）解： 当时， 解得：，， ∴当满足时，一定能满足球越过球门， ∴的最小值，的最大值． 21．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点B的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线。在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误。运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由 (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图象与性质、根据计算做决策及求参数范围等，读懂题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式，令得出点B的坐标为； （2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，将代入解析式得，根据，确定该运动员此次跳水失误了； （3）根据题意得到点，当抛物线过点M和点N时，分情况求出a值，进而根据点D在之间得出． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， ∴抛物线的解析式为； 令，则， 解得：（舍去），， ∴入水处B点的坐标为； （2）解：当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为， 将代入解析式得， ∵， ∴该运动员此次跳水失误了； （3）解：∵，点E的坐标为， ∴点M，N的坐标分别为， ∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为， 且顶点C 距水面4米，经过点， ∴当抛物线过点M时，， ∴即 ∴， 把代入，得， 解得； 同理，当抛物线过点时，， 则， 解得，， 由点D在之间得a的取值范围为． 22．（22-23九年级上·浙江台州·期中）现有一瓶洗手液如图1所示．已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点和点，下部分是矩形，且，，点到台面的距离为，如图2所示，若以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，当手按住顶部下压时，洗手液从喷口流出，其路线呈抛物线形，此时喷口距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点． (1)请求出点E的坐标，并求出b，c的值. (2)接洗手液时，当手心距所在直线的水平距离为时，手心距水平台面的高度为多少？ 【答案】(1)，的值是1，的值是18 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． （1）由图可得的坐标，再根据待定系数法可得与的值； （2）把代入解析式可得答案． 【详解】（1）由题意得，，， 代入可得， 解得：， ， 答：，的值是1，的值是18； （2），， ， 把代入关系式为， 答：手心距水平台面的高度为． 23．（23-24九年级上·浙江·期中）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， ，解得：． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：①由题意可得， ∴w与x的函数关系式为． ②， ∵且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵在对称轴左侧，即时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）． 答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 24．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$