专题强化01：一元二次方程的解法归纳（5大题型）-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化01：一元二次方程的解法归纳 【题型归纳】 题型一：配方法 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解一元二次方程，步骤如下：①，②，③，④即，．其中开始错误的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 3．（24-25九年级上·全国）用配方法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型二：公式法 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型三：因式分解法 7．（2024·河南洛阳·一模）方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 8．（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程： (1)(2)． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型四: 换元法解一元二次方程 10．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 11．（2023·广东湛江·模拟预测）若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·云南昆明·期中）阅读下面的材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 综上所述，原方程的解为，，，． (1)根据材料解方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 题型五：合适的方法解方程 13．（23-24九年级上·四川南充·期末）解方程： (1)；(2)；(3)． 14．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 15．（23-24九年级下·山东济宁）解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 【专题强化】 一、单选题 16．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·宁夏银川·模拟预测）在数、、和中，是方程的根的为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 21．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 二、填空题 22．（23-24九年级上·四川广安·期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为 ． 23．（2024·河南南阳·模拟预测）方程的根为 ． 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）用适当的正数填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 25．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若实数，满足，求的值为 ． 三、解答题 26．（23-24九年级上·四川达州·期末）解方程： (1)．(2)． 27．（24-25九年级上·全国）用因式分解法解下列方程： (1) ；(2) ；(3)． 28．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3)． 29．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）解方程： (1)；(2)． 30．（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 31．（20-21九年级上·河北邯郸·阶段练习）请用指定方法解下列一元二次方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） 32．（23-24九年级上·河北保定）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 33．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）解下列方程： (1)；(2)；(3)（用配方法）；(4)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：一元二次方程的解法归纳 【题型归纳】 题型一：配方法 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解一元二次方程，步骤如下：①，②，③，④即，．其中开始错误的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先两边乘以4，再开方，移项，合并同类项得出解并判断即可． 【详解】解：， 两边乘以4，得， 开方，得， 即， ∴． 其中开始错误得步骤是③． 故选：C． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 题型二：公式法 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 5．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 题型三：因式分解法 7．（2024·河南洛阳·一模）方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键；根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ； 故选：C． 8．（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据解一元一次方程的方法即可求解； （2）移项得，再提取公因式，最后根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴，； （2）解： ， ∴或， ∴，． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)， 【详解】（1）解：，，， ，； （2）原方程可化为， ，或，； （3），，； （4）原方程可化为，或，，． 题型四: 换元法解一元二次方程 10．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 11．（2023·广东湛江·模拟预测）若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法，熟悉换元法的解题步骤是解题关键．用换元法即可求解即可． 【详解】解：∵方程（b，c是常数）的解是， ∴方程的解是或， 解得：． 故选：A． 12．（23-24九年级上·云南昆明·期中）阅读下面的材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 综上所述，原方程的解为，，，． (1)根据材料解方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)原方程的解为， (2)的值为7 【分析】本题考查了换元法，直接开平方法解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握换元法，直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． （1）设，则原方程可化为，解得，．然后求的值即可； （2）令，则原方程可化为，计算求解可得的值，即的值，然后根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，无实数根； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为，． （2）解：令，则原方程可化为， ， 解得，即． ∴． ∴的值为7． 题型五：合适的方法解方程 13．（23-24九年级上·四川南充·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）将方程进行整理，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． 14．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解的方法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可； 【详解】（1）解：， 化简得， 解得：； （2）解：， 化简得， 配方得， 解得：； （3）解： 移项得， 化简得， 故或， 解得：； （4）解： 配方得， 即， 故或， 解得：． 15．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)，(3)无解(4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法是解题的关键； （1）直接利用因式分解法即可求解； （2）左边先展开，再利用配方法求解即可； （3）利用公式法求解； （4）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：，，所以； （2）解：；展开，得：，   配方，得，即， 两边开平方根，得：，所以，； （3）解：，∵， ∴，所以原方程无实数根； （4）解：，即，或，所以． 【专题强化】 一、单选题 16．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 先移项、然后再给等式两边同时加上16，然后再化简即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：A． 17．（2024·宁夏银川·模拟预测）在数、、和中，是方程的根的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解及其解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， 故选：B． 18．（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． 19．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，先根据已知方程和方程的解，从而得到方程中的相当于第1个方程中的x，从而得到和，解方程即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中，， ，， ，， 故选：C． 21．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得； 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故的值为6； ∴． 故选：A． 二、填空题 22．（23-24九年级上·四川广安·期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，再将两边都加上一次项系数一半得平方，配成完全平方式，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 23．（2024·河南南阳·模拟预测）方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法进行计算是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 故答案为：， 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）用适当的正数填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 4 2 8 4 / / 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：4，2； （2）， 故答案为：8，4； （3）， 故答案为：； （4） 故答案为：，． 25．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若实数，满足，求的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ， ， ， 或， 或， ， ，即， 故答案为：3 三、解答题 26．（23-24九年级上·四川达州·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法：配方法，公式法，因式分解法，直接开方法，是解答本题的关键． （1）利用因式分解法求解方程即可； （2）利用公式法求解方程即可． 【详解】（1）解：，即， ， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 27．（24-25九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1) ； (2) ； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是银题的关键． （1）先将方程化简，再用因式分解法求解即可； （2）先将方程变形为，再用因式分解法求解； （3）用平方差公式分解，即可求解； 【详解】（1）解：原方程可化为． 移项，得． 因式分解，得． 于是得或， ∴，． （2）解：原方程可化为． 因式分解，得， 即． 于是得或， ∴ ． （3）解：因式分解，得， 即． 于是得或， ∴， 28．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)原方程没有实数根 (3)， 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴原方程没有实数根； （3）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴． ∴， ∴， ． 29．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴； （2） 或， ∴． 30．（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 31．（20-21九年级上·河北邯郸·阶段练习）请用指定方法解下列一元二次方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案； （2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案； （3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∴， ， ，． （2）方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：，； （3） 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题． 32．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】（1）利用配方法解方程； （2）利用直接开平方法解方程； （3）利用因式分解法解方程； （4）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：移项得，， 配方得，， 即， ， 解得； （2）解：两边开方得：， 解得：； （3）解：因式分解得：， 解得：； （4）解：移项得：， 提公因式得：， 化简得：， 解得：； 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 33．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）解下列方程： (1)；(2)；(3)（用配方法）；(4)． 【答案】(1)(2)(3)，(4)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴或， ∴； （3）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （4）， ∴， ∴或， ∴，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$