专题03 立方根重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题03 立方根重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若一个正数的两个平方根分别是2m+6和m﹣18，则5m+7的立方根是（    ） A．9 B．3 C．±2 D．﹣9 1．（23-24七年级下·广西河池·期中）立方根与它本身相同的数是（    ） A．0或±1 B．0或1 C．0或－1 D．0 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，则x与y关系是 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 1．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·四川广元·期中）的立方根与的算术平方根之和是 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（22-23七年级下·青海果洛·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）-，则a的值为(   ) A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）是 的立方根． 3．（23-24七年级下·广西钦州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（2023七年级课时练习）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是(　　) A． B． C． D． 1．（2023山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 3．（2023广西南宁·七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． (3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值． 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为（立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为（    ） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（    ）倍． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23七年级下·辽宁盘锦·期末）已知x满足，则 ． 3．（23-24八年级上·北京顺义·期末）下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（2023浙江杭州·七年级期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 1．（2023甘肃武威·七年级校考期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（   ） A．4 B．4或0 C．6或2 D．6 2．（2023四川自贡·七年级统考期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是 ． 3．（2023全国·八年级专题练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数是， B．是的立方根 C．是的平方根 D．一定没有平方根 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）在实数范围内下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）用计算器比较2+1与3.4的大小正确的是(    ) A．2+1=3.4 B．2+1>3.4 C．2+1<3.4 D．不能确定 5．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）＝ ，＝ ． 7．（22-23八年级上·全国·课前预习）0.001的立方根是 ，－是 的立方根． 8．（22-23八年级上·湖南株洲·阶段练习）已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为 ． 9．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ． 10．（2023·山东淄博·一模）运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是 ． 11．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·山东青岛·期末）计算 (1) (2) 13．（23-24七年级下·吉林松原·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 14．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知：的立方根是的算术平方根3． (1)求的值； (2)求的平方根． 15．（22-23七年级下·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料，并完成问题解答： （一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题： (1)解方程： (2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ） A．1    B．    C．    D． （二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (3)解方程： 如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (4)填空题：若，则x的值是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立方根重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若一个正数的两个平方根分别是2m+6和m﹣18，则5m+7的立方根是（    ） A．9 B．3 C．±2 D．﹣9 【答案】B 【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：2m+6+m﹣18＝0， ∴m＝4， ∴5m+7＝27， ∴27的立方根是3， 故选：B． 【点睛】考核知识点：平方根、立方根．理解平方根、立方根的定义和性质是关键． 1．（23-24七年级下·广西河池·期中）立方根与它本身相同的数是（    ） A．0或±1 B．0或1 C．0或－1 D．0 【答案】A 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：0立方根等于是0，1立方根等于是1，-1立方根等于是-1． 立方根与它本身相同的数是0或±1， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，立方根的定义，熟记概念是解题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，则x与y关系是 ． 【答案】x+y=0 【分析】先移项，然后两边同时进行三次方运算，继而可得答案. 【详解】∵， ∴， ∴（）3=（）3， ∴x=-y， ∴x+y=0， 故答案为x+y=0. 【点睛】本题考查了立方根，明确是解题的关键. 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查了利用立方根、平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根解方程即可； （2）利用平方根解方程即可； （3）利用平方根解方程即可； （4）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）； ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的定义及求法逐项判断即可确定正确的选项，解题的关键是掌握立方根的定义的运用，理解：一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 【详解】、的立方根是，原选项错误，不符合题意； 、有立方根为，原选项错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是和，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 1．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了非负数的性质和立方根，根据二次根式的被开方数和偶次方为非负数，得到相应的关系式求出、的值，然后代入求解，最后求数的立方根即可，正确运用非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：． 2．（22-23七年级下·四川广元·期中）的立方根与的算术平方根之和是 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根，立方根的定义，即可求得答案． 【详解】解：的立方根为，的算术平方根为， 的立方根与的算术平方根之和为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了算术平方根，立方根的定义，解题的关键是熟记定义． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查利用立方根解方程，掌握立方根的定义是解题的关键． （1）根据先移项，系数化为，然后利用立方根的概念求解； （2）先利用立方根的求解，然后解一元一次方程即可； （3）先系数化为，然后开立方即可求解； （4）根据先移项，系数化为，然后利用立方根的概念求解． 【详解】（1）解： 解得：； （2） 解得； （3） 解得； （4） 解得． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（22-23七年级下·青海果洛·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义判断答案． 【详解】 故选B． 【点睛】本题考查立方根的定义，熟知立方根的定义是解题的关键 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）-，则a的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解. 【详解】∵=-, ∴a=-. 故选B. 【点睛】考查了根式的化简，解题关键是运用了. 2．（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）是 的立方根． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是的立方根， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知：若，则，x叫做a的立方根． 3．（23-24七年级下·广西钦州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程， （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可； 理解和掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（2023七年级课时练习）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当被开立方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位．由此即可得出答案． 【详解】A．=，由题意不能得出其近似值； B．，由题意不能得出其近似值； C．，由题意不能得出其近似值； D．≈－1.710×10－1=－0.1710． 故选D． 【点睛】本题考查了立方根的知识，并考查了学生的转化思想，需要利用已知数据来表示未知数据；也要掌握：当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位． 1．（2023山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，则，结合已知条件，即可得出答案． 【详解】解：， ， 则． 故选：D． 【点睛】此题考查了立方根的性质，结合题意观察小数点的移动规律，发现被开方数的小数点移动3位，其立方根就相应移动1位． 2．（2023黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 【答案】（n为不小于2的整数） 【分析】分析被开方数的变换规律即可求得 【详解】解：1、观察4个等式左边根号内分数的特点： ①整数部分与分数部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5， ②整数部分与分数部分的分母有下列关系：， 2、观察四个等式右边的立方根前的倍数正好是等式左边被开方数的整数部分，立方根里的分数正好是左边被开方数的分数部分，所以其中的规律可以表示为（n为不小于2的整数） 故答案为：（n为不小于2的整数）． 【点睛】本题考查了立方根的规律探究，分析被开方数的变换规律是解题关键． 3．（2023广西南宁·七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． (3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（或互为相反数） (3)9 【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可； （2）观察规律若，则； （3）按照规律计算出和的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律， 若，则， 故答案为：（或a，b互为相反数）； （3）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键． 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为（立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为（    ） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 【答案】C 【分析】设底面边长为x分米，则高为分米，根据长方体体积公式列出方程，求出的值即可． 【详解】解：设底面边长为x分米，则高为分米，根据题意得， ， ， 解得， 所以底面边长为4分米， 故选：C 【点睛】本题主要考查了立方根的实际应用，正确列出方程是解答本题的关键． 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（    ）倍． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据正方体的体积公式解答． 【详解】解：设原来正方体的棱长为a，则原来正方体的体积为， 由题意可得现在正方体的体积为， ∵， ∴现在正方体的棱长为3a， 故选：B． 【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及正方体的体积计算方法是解题关键． 2．（22-23七年级下·辽宁盘锦·期末）已知x满足，则 ． 【答案】 【分析】根据立方根计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根的应用，熟练掌握求立方根是解题的关键． 3．（23-24八年级上·北京顺义·期末）下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 【答案】(1)； (2)①；②；③当，；当时，；当， 【分析】本题考查了立方根的定义； （1）根据立方根定义直接计算即可； （2）观察表格得到规律，①被开方数扩大1000倍，，立方根扩大10倍；②立方根扩大10倍，则被开方数扩大1000倍；③根据表格规律进行分类讨论即可． 由定义推导并找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，； （2）①与比较，被开方数扩大到1000倍， 立方根扩大到10倍 故答案为： ； ②立方根从边长，扩大到10倍， 被开方数扩大到倍 故答案为：； ③由题意得： 当， 当时， 当， 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（2023浙江杭州·七年级期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 1．（2023甘肃武威·七年级校考期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（   ） A．4 B．4或0 C．6或2 D．6 【答案】B 【分析】由a是的平方根可得a=±2，由b是的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值． 【详解】∵a是的平方根， ∴a=±2， ∵b是的立方根， ∴b=2， ∴a+b=2+2=4或a+b=-2+2=0． 故选B． 【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关键． 2．（2023四川自贡·七年级统考期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是 ． 【答案】8 【分析】利用算术平方根、立方根的定义求出的值，代入进行计算即可． 【详解】解：的算术平方根是2，的立方根是， ，， 解得：，， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 3．（2023全国·八年级专题练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查开平方（求平方根），开立方（求立方根），根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项计算，即可判断． 【详解】解：A、，A计算错误，不符合题意； B、，B计算错误，不符合题意； C、，C计算错误，不符合题意； D、，D计算正确，符合题意； 故答案为：D． 2．（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数是， B．是的立方根 C．是的平方根 D．一定没有平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根、立方根，解题的关键是理解和掌握平方根和立方根的定义．据此分析即可． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是，，原说法不正确，故此选项不符合题意； B．是的立方根，原说法不正确，故此选项不符合题意； C．是的平方根，原说法正确，故此选项符合题意； D．当时，，此时有平方根，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）在实数范围内下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义判断A；根据有理数乘方的意义判断B；根据算术平方根的意义判断C；根据立方根的性质判断D． 【详解】解：A．若|a|＝|b|，则a＝±b，故本选项判断错误，不符合题意； B．若a2＞b2，则|a|＞|b|，故本选项判断错误，不符合题意； C．若，则a＝|b|，即故本选项判断错误，不符合题意； D．若，则a＝b，故本选项判断正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的乘方、立方根与算术平方根，掌握定义与性质是解题的关键． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）用计算器比较2+1与3.4的大小正确的是(    ) A．2+1=3.4 B．2+1>3.4 C．2+1<3.4 D．不能确定 【答案】B 【详解】试题分析：用计算器计算可得：＋1≈4.5＞3.4， 即＋1＞3.4． 故选B． 点睛：本题主要考查了利用计算器求数的开方，此题主要采用了求近似值来比较两个无理数的大小． 5．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键． 先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可． 【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）＝ ，＝ ． 【答案】 / 【分析】用立方根的定义和性质解答，立方根的定义是如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，立方根的性质有和． 【详解】解：，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了求立方根，解决问题的关键是熟练掌握立方根的定义和性质． 7．（22-23八年级上·全国·课前预习）0.001的立方根是 ，－是 的立方根． 【答案】 0.1 【解析】略 8．（22-23八年级上·湖南株洲·阶段练习）已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】根据的算术平方根是6，的立方根是5，可得方程组，①+②再化简得到的值，然后求平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的算术平方根是6，的立方根是5 ∴ ∴①+②： ∴=16 ∴的平方根为 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，平方根和立方根是解题关键．易错点：正数有两个平方根，不能只写一个平方根． 9．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ． 【答案】3 【分析】设这种容器的半径为，根据题目所给体积公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种容器的半径为， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了立方根的应用，解题的关键是根据题意列出方程，熟练掌握立方根的定义，根据立方根的定义解该方程． 10．（2023·山东淄博·一模）运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是 ． 【答案】7； 【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值． 【详解】根据题意可知计算式子为： 【点睛】掌握计算器的各个按键所表示的意义是解决本题的关键． 11．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或， (2) 【分析】此题考查了根据平方根和立方根的意义解方程，根据平方根和立方根的意义得到一元一次方程，解方程即可． （1）根据平方根的意义得到或，解一元一次方程即可； （2）根据立方根的意义得到，解一元一次方程即可． 【详解】（1） 根据算术平方根的意义得到，， ∴或， 解得或， （2） 根据立方根的意义得到， 解得 12．（23-24七年级上·山东青岛·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)1； (2)； 【分析】本题考查根式的混合运算，根据，，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（23-24七年级下·吉林松原·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义可得方程组，解方程组即可求解； （）由，可得，求的平方根即可求解； 本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，根据立方根、算术平方根的定义求出的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， 即， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴的平方根是． 14．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知：的立方根是的算术平方根3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根与平方根的运用，涉及立方根和平方根的定义、算术平方根定义、立方根与平方根的运算、解方程和代数式求值等知识，熟记立方根与平方根的运算是解决问题的关键． （1）根据立方根与算术平方根运算列方程求解即可得到答案； （2）将的值代入代数式求值，再由平方根运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是的算术平方根3， ，解得； （2）解：将代入得到， 的平方根是， 的平方根． 15．（22-23七年级下·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料，并完成问题解答： （一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题： (1)解方程： (2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ） A．1    B．    C．    D． （二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (3)解方程： 如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (4)填空题：若，则x的值是________． 【答案】(1) (2)D (3) (4)或 【分析】（1）利用平方根解方程即可； （2）根据被开方数大于等于零，得出，即进行判断即可； （3）根据立方根的定义解方程即可； （4）根据得出，即，解关于x的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：要使式子有意义，则， ∴， ∵， ∴a的取值可以是，故D正确． 故选：D． （3）解：∵， ∴， 即， 解得：． （4）解：∵， ∴， 即， 解得：，． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$