19.2 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象（第2课时 图象特点、变换）（教学课件）数学北京版九年级上册

19.2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象（第2课时） 主讲： 京改版九年级上册 第19章 二次函数与反比例函数 复习导入 函数y=ax2（a≠0）的图象是一条顶点是原点，对称轴是y轴的抛物线．当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．a的绝对值越大开口越小，a的绝对值越小开口越大． b=0时， y=ax2+c（a≠0) c=0时， y=ax2+bx（a≠0) b=0，c=0时， y=ax2（a≠0) 2．在函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，若b=0，或c=0，或b，c同时为0，函数表达式是什么样呢？ 1．复习上次课得学习内容。 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握在y=ax2+b(a≠0)的函数图象的作图方法； 3.了解二次函数的函数图象变换。 目标 3 2.了解y=a(x-h)2+k(a≠0)的作图方法、图象变换、图象特征. 自学指导 仔细阅读教材P42---P46。用3分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.y=ax2+b(a≠0)的函数图象画法、图象特征？ 2.y=a(x-h)2+k(a≠0)的函数图象画法、图象特征？ 实践 探究新知 在同一坐标系中，作出下列函数的图象： （2）y=-2x2+3 （3）y=-2x2-3 （1）y=-2x2 … -2 -1 0 1 2 … y=-2x2 -2 … -8 -2 0 … -8 解：y=-2x2列表 x y=-2x2 连线 （-2，-8） （-1，-2） （0，0） （1，-2） （2，-8） 描点 在同一坐标系中，作出下列函数的图象： （2）y=-2x2+3 （3）y=-2x2-3 （1）y=-2x2 … -2 -1 0 1 2 … x y=-2x2+3 1 … -5 1 3 … -5 y=-2x2+3与y=-2x2-3列表 -5 … -11 -5 -3 … -11 y=-2x2-3 连线 y=-2x2+3 描点 （-2，-5） （-1，1） （0，3） （1，1） （2，-5） 连线 y=-2x2-3 y=-2x2+3 描点 （-2，-11） （-1，-5） （0，-3） （1，-5） （2，-11） 形状是抛物线 1.二次函数y=-2x2+3与y=-2x2-3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？ y=-2x2-3 y=-2x2+3 思考 x 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 向下 向下 y=-2x2+3 y=-2x2-3 y轴 y轴 （0，3） （0，-3） 2.二次函数y=-2x2+3，y=-2x2-3与y=-2x2的图象有哪些相同之处和不同之处? 开口方向相同 对称轴相同 相同之处： y=-2x2 y=-2x2+3 形状相同 y=-2x2-3 （0，-3） （0，0） （0，3） 向下平移3个单位 向上平移3个单位 不同之处： 抛物线y=-2x2+3与y=-2x2 y=-2x2 y=-2x2+3 3.二次函数y=-2x2+3，y=-2x2-3的图象可由y=-2x2的图象平移得到吗？ … -2 -1 0 1 2 … x y=-2x2 -2 … -8 -2 0 … -8 列表 y=-2x2+3 1 … -5 1 3 … -5 结论：函数y=-2x2+3 的图象可由y=-2x2的图象向上平移3个单位长度得到. 抛物线y=-2x2-3与y=-2x2 y=-2x2 y=-2x2-3 … -2 -1 0 1 2 … x y=-2x2 -2 … -8 -2 0 … -8 列表 -5 … -11 -5 -3 … -11 y=-2x2-3 结论：函数y=-2x2-3 的图象可由y=-2x2的图象向下平移3个单位长度得到. 在同一坐标系中，作出二次函数 和 的图象，并指出它们和函数 的图象有怎样的位置关系. 典型例题 函数 的图象可由 的图象向下平移2个单位长度得到. 函数 的图象可由 的图象向上平移5个单位长度得到. （0，-2） （0，0） （0，5） 向上平移，3个单位 向下平移，3个单位 上加 下减 向上平移，5个单位 向下平移，2个单位 归纳总结 向下 y轴 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 抛物线 形状 （0， 3） （0，-3） a的值 c的值 3 -3 y轴 向下 -2 -2 抛物线 抛物线 （0，5） 5 y轴 向上 抛物线 向上 y轴 -2 （0，-2） 知识要点 1.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象可由y=ax2 (a≠0)的图象平移得到. 平移方向 c的符号决定 平移距离 c的绝对值决定 2.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象特征 a＞0，向上 a＜0，向下 y轴 开口方向 对称轴 顶点坐标 抛物线 形状 （0 ，c） 在同一个坐标系内画出下列三个二次函数的图象，并进行观察. （1） （2） （3） 实践 探究新知 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 … … 4 1 0 1 4 9 16 25 36 … … 36 25 16 9 4 1 0 1 4 … 列表： 描点、连线： 你能结合表格的数据和图象，找到三条抛物线各自的对称轴和顶点坐标吗？ 抛物线 对称轴 顶点坐标 y=x2 y=(x+2)2 y=(x-2)2 直线 x = -2 （-2，0） 直线 x = 2 （2，0） y y轴（x = 0） （0，0） 图象特征： 1.对称轴直线 x=h， 顶点坐标(h,0)； 2.当h＜0时，抛物线 可以由 的图象向左平移|h|个单位得到； 3.当h＞0时，抛物线 可以由 的图象向右平移h个单位得到. 知识要点 小贴士：平移前要先明确哪个是原始函数图象，和h的符号. 利用对称轴、顶点或者是图象上的某一个点进行数形结合. 例 在同一平面直角坐标系中，快速画出下面三个二次函数的图象，你准备怎么做？ （1） （2） （3） 典型例题 提示：画出y=-x2的图象后，通过平移可以快速画出图象。 y=2(x-3)2+5 与 y=2(x-3)2-5 的图象和 y=2(x-3)2 的图象间的关系． 实践 探究新知 x 0 1 2 3 4 5 6 y=2(x-3)2 18 8 2 0 2 8 18 y=2(x-3)2+5 23 13 7 5 7 13 23 y=2(x-3)2-5 13 3 -3 -5 -3 3 13 二次函数 y=2(x-3)2+5的图象可以看做二次函数 y=2(x-3)2的图象向上平移5个单位得到的； 二次函数 y=2(x-3)2-5的图象可以看做二次函数 y=2(x-3)2的图象向下平移5个单位得到的． (3，5) (3，-5) x=3 (3，0) y=2(x-3)2+5 与 y=2(x+3)2-5 的图象和 y=2x2 的图象间的关系． x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x2 18 8 2 0 2 8 18 x 0 1 2 3 4 5 6 y=2(x-3)2+5 23 13 7 5 7 13 23 二次函数 y=2(x-3)2+5的图象可以看做二次函数 y=2x2的图象经过向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到的一条抛物线； 开口向上； 对称轴x=3，顶点坐标是（3，5） y=2(x-3)2+5 与 y=2(x+3)2-5 的图象和 y=2x2 的图象间的关系． x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x2 18 8 2 0 2 8 18 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 y=2(x+3)2-5 13 3 -3 -5 -3 3 13 二次函数 y=2(x-3)2+5的图象也可以看做二次函数 y=2x2的图象经过向上平移5个单位，再向右平移3个单位得到的一条抛物线． 1.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下. 一般地，二次函数 y=a(x-h)2+k的图象可以看做二次函数 y=ax2的图象经过向左（或右）、向上（或下）平移而得到的一条抛物线，它有如下特点： y=a(x-h)2+k y=ax2 2.抛物线的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）. 知识要点 左（或右）、上（或下）平移 左或右平移 y=ax2 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax2+k 上或下平移 上或下平移 左或右平移 知识要点 例 已知二次函数 （1）指出它的图象可以看做是函数 的图象经过怎样的变换而得到的； （2）指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）求出图象与坐标轴的交点坐标，并画出它的示意图． 典型例题 解：（1）它可以看做是 的图象向右平移1个单位，再向上平移8个单位而得到的． （2）抛物线的开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，8）． （3） 解：在 中，令y=0,得 解得，x1=-3，x2=5. 所以抛物线与x轴的交点有两个，它们的坐标分别为（-3，0）和（5，0）． （3） 解：在 中，令x=0，得 所以抛物线与y轴的交点坐标为（0， ）． -3 5 7.5 一般与特殊的关系 当k=0 ，h=0 ，y=ax2 y=a(x-h)2+k 当k=0 ， y=a(x-h)2 当h=0 ， y=ax2+k 顶点式 知识要点 y=a(x-h)2+k图象的特征 开口方向 当a>0时，开口向上 当a<0时，开口向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，k） 基础检测 1.将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（　　） A．y＝2x2+3 B．y＝2x2-3 C．y＝2（x-3）2 D．y＝2（x+3）2 B 2.不画图直接填空： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2 向上 直线x=-3 ( -3 ，0 ) 直线x=1 直线x=3 向下 向下 ( 1，0 ) ( 3，0) 3.将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　 ． 分析：将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：y＝2（x+3-2）2+4-5，即y＝2（x+1）2-1， y＝2（x+1）2-1　 一展身手 1.平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 C 2．若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图象，经过平移后可与y＝-（x+3）2的图象完全重合，则a、b、c的值可能为（　　） A．a＝1，b＝0，c＝-2 B．a＝2，b＝6，c＝0 C．a＝-1，b＝-3，c＝0 D．a＝-2，b＝-3，c＝-2 分析：∵二次函数y＝a（x+b）2+c的图象，经过平移后可与y＝-（x+3）2的图象完全重合， ∴a＝-1． C 挑战自我 1.把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y（x+1）2﹣1的图象． （1）试确定a、h、k的值； （2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标． 分析：（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数y（x+1）2﹣1的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值； （2）根据二次函数的图象特点求解． 解：（1）二次函数y（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1），把点（﹣1，﹣1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，﹣5），所以原二次函数的解析式为y（x﹣1）2﹣5， 所以a，h＝1，k＝﹣5； （2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y（x﹣1）2﹣5的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣5）． 课堂小结 二次函数 图象 1.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象画法、特征 3.一般地，二次函数 y=a(x-h)2+k的图象可以看做二次函数 y=ax2的图象经过向左（或右）、向上（或下）平移而得到的一条抛物线. 2.二次函数y=a(x-h)2+k (a≠0)图象画法、特征 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$