19.1 二次函数（ 二次函数的定义及表示形式）（教学课件）数学北京版九年级上册

19.1二次函数 主讲： 京改版九年级上册 第19章 二次函数与反比例函数 复习导入 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数． 请回忆函数的概念。 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握二次函数的定义； 目标 3 2.掌握二次函数的一般表示形式； 3.掌握根据实际问题列出二次函数的方法。 自学指导 仔细阅读教材P38---P39。用3分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.什么是二次函数？ 2.如何根据实际问题列出相关的函数关系？ 实践 探究新知 交流： 列出下列函数的表达式 1．圆的面积A是它的半径r的函数． 函数表达式： 2．如图所示，利用直角的墙角，用20m长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S（m2）是它的一边长a（m）的函数． 分析： 函数表达式： 另一边长 （m） （20－a） 矩形的面积 = 长×宽 （20－a） a S 3．如图所示，正方形中圆的半径是4cm，其余部分的面积Q（cm2）是正方形边长x（cm）的函数． 分析： 函数表达式： 其余部分的面积 = 正方形的面积-圆的面积 x Q 4．某种药品现价每盒26元，计划两年内每年的降价率都为p，那么，两年后这种药品每盒的价格M（元）是年降价率p 的函数． 分析： 第一年的售价： 函数表达式： 第二年的售价： 元 元，即 元 观察所列出得表达式，它们有什么共同的特点？这些表达式可以用怎样的式子来概括？ 函数表达式： 右边：（1）整式；（2）自变量的最高次数是2次；（3）项数不同 思考：你能类比一次函数的定义，也用一个一般的函数表达 式来概括这四个表达式的结构特征吗？ ，其中x，y 分别表示自变量、因变量， a，b 分别是二次项、一次项的系数，c是常数项． 函数表达式： 思考：对于常数a，b，c 的取值有限制吗？它们可以为0吗？ 二次函数的定义 一般地，我们把形如 的函数叫做二次函数，其中a，b 分别是二次项、一次项的系数，c 是常数项． 思考：在二次函数 　　　　　　　　　中，自变量的取值范围是什么呢？ 由于 　　　　 是整式，故x可以取全体实数，所以自变量的取值范围是全体实数．　　　 知识要点 典型例题 分析：A、分母中含字母，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意； C、y＝2x2-1是二次函数，故此选项符合题意； D、y不是二次函数，故此选项不符合题意． 例 下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x2-1 D． C 典型例题 例 下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． （1）y＝3﹣2x2；（2）y＝x（x﹣1）+1；（3）y＝2x（1﹣x）+2x2． 解：（1）根据二次函数的定义可知y＝3﹣2x2是二次函数，其中a＝﹣2，b＝0，c＝3； （2）∵y＝x（x﹣1）+1＝x2﹣x+1，根据二次函数的定义可知y＝x2﹣x+1是二次函数其中，a＝1，b＝﹣1，c＝1； （3）∵y＝2x（1﹣x）+2x2＝2x﹣2x2+2x2＝2x，没有二次项，∴y＝2x（1﹣x）+2x2不是二次函数． 练一练 下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． （1）y＝3﹣2x2；（2）y＝x（x﹣1）+1；（3）y＝2x（1﹣x）+2x2； （4）y＝（x+3）（3﹣x）． 分析：首先将原方程化简，再根据二次函数的定义解答问题；接下来根据a是二次项系数，b是一次项系数和c是常数项来回答即可． 解：（1）y＝3﹣2x2，是二次函数，其中a＝﹣2，b＝0，c＝3； （2）整理为y＝x2﹣x+1，是二次函数，其中a＝1，b＝﹣1，c＝1； （3）整理为y＝2x，不是二次函数； （4）整理为y＝﹣x2+9，是二次函数，其中a＝﹣1，b＝0，c＝9． 总结 只需判断函数表达式是否可以写成 的形式，即是否满足三个条件：（1）等式右边为整式； （2）自变量的最高次数为2次； （3）二次项的系数不能为0． 1.如何判断一个函数是否为二次函数？ 2.在确定二次函数a，b ，c 的值时应注意什么呢？ （2）最后写出a，b ，c的值，注意不要丢掉负号． （1）先进行观察，再整理为 的形式． 典型例题 分析：周长增大的部分y₁和面积增大的部分y2,分别是两个正方形周长的差和面积的差， 例  已知：如图,一个边长为8 cm的正方形，把它的边长延长x cm后得到一个新的正方形.那么,周长增大的部分y₁(cm)和面积增大的部分y₂(cm²)分别是x(cm)的函数.求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中a,b,c的值. 解：根据题意，得 y₁=4(x+8)-4×8. 整理，得 y₁=4x. 它是形如y=kx(k=0)的函数，所以它是正比例函数根据题意，得 y₂=(x+8)²-8². 整理，得 y₂=x²+16x. 如图，将一根长30cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15 练一练 B 解：∵铁丝的长度为30cm，且弯成的长方形的一边长为x cm， ∴与该边相邻的一边长为（15﹣x）cm． 根据题意得：y＝x（15﹣x）， 即y＝﹣x2+15x． 总结 自变量的取值范围 表达式有意义 符合实际意义 如果一个函数表达式是由实际问题得到的，那么在确定此函数自变量的取值范围时应注意什么呢？ 知识要点 例 张大叔要围成一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用总长为60m的篱笆恰好围成的鸡场，如图所示，设AB边的长为x m，长方形ABCD的面积为S m2，求S与x关系式及x的取值范围．  解：S＝x（60-2x） ＝-2x2+60x ∵0＜60-2x≤35， ∴12.5≤x＜30． 典型例题 基础检测 1.下列函数中，如果是二次函数，请把它化为一般式并指出相应的a、b、c的值． （1）y（x﹣1）（x+3）； （2）y＝x（2x）+13； （3）y＝3（x2+2）﹣3（1﹣x）2； （4）y＝（2x+3）（3x﹣4）﹣x（4x+1）． 解：（1）函数关系式可化简为：y（x﹣1）（x+3）（x2+2x﹣3）x2+x，y是x的二次函数，其中a、b、c的值分别是，1，； （2）函数关系式可化简为：y＝x（2x）+13＝2x2x+13， y是x的二次函数，其中a、b、c的值分别是2，，13； 1.下列函数中，如果是二次函数，请把它化为一般式并指出相应的a、b、c的值． （1）y（x﹣1）（x+3）； （2）y＝x（2x）+13； （3）y＝3（x2+2）﹣3（1﹣x）2； （4）y＝（2x+3）（3x﹣4）﹣x（4x+1）． 解：（3）函数关系式可化简为：y＝3（x2+2）﹣3（1﹣x）2 ＝3x2+6﹣3+6x﹣3x2＝6x+3，y不是x的二次函数； （4）函数关系式可化简为：y＝（2x+3）（3x﹣4）﹣x（4x+1） ＝6x2+x﹣12﹣4x2﹣x＝2x2﹣12， y是x的二次函数，其中a、b、c的值分别是2，0，﹣12． 2.用40cm的绳子围成一个矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（　　） A．y＝x2 B．y＝﹣x2+40x C．y＝﹣x2+20x D．y＝﹣x2+20 解：∵矩形一边长为xcm，周长为40cm， ∴另一边长为20﹣x（cm）， ∴矩形的面积y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x， C 分析:先根据矩形一边长为xcm，周长为40cm得出另一边长为20﹣x（cm），再根据矩形的面积公式可得答案． 一展身手 1.一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝240（1﹣2x） B．y＝240（1+2x） C．y＝240（1﹣x）2 D．y＝240（1+x）2 C 2.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝x2 B．y＝1﹣x2 C．y＝x2﹣1 D．y＝1﹣2x B 2.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ C 1.某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（　　） A．y＝10（1+x）3 B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2 C．y＝10+10x+x2 D．y＝10（1+x）2 B 解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年二月份新产品的研发资金为10（1+x）万元，三月份新产品的研发资金为10（1+x）2万元． 根据题意得：y＝10+10（1+x）+10（1+x）2． 挑战自我  解：（1）由题意得y＝x（32-2x）＝-2x2+32x；  （2）∵32-2x＞x， ∴x， 又∵门宽是2m， ∴x≥2， ∴2≤x． 2.如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为x m． （1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围． 课堂小结 二次函数 1.二次函数的概念； 2.根据实际问题列二次函数关系式。 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$