12.3.1 角的平分线的性质-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(人教版)

可渐可栽 12.3角的平分线的性质 第1课时角的平分线的性质 【边学边练】 知识点一角平分线的定义及作法 1.如图，已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB.合理的顺序是 ①作射线OC:②在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE:③分别以点D,E为圆 心，以大于)DE的长为半径作弧，两弧在LAOB内部相交于点C. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③2① 知识点二角平分线的性质 2.（必考题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC, 垂足为E,若BD=3,则DE的长为 () A.3 B C.2 D.6 D D 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACn= 知识点三命题的证明 4.求证：全等三角形的对应角的平分线相等 31 【随堂小测】 1.如图，OP平分∠AOB,E为OA上一点，OE=4,点P到OB的距离是2，则△OPE的 面积为 A.2 B.3 C.4 D.8 第1题图 第2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，以0为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M, 交y轴负半轴于点N,再分别以点M,N为圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧在 第三象限交于点P.若点P的坐标为(a,b),则a与b的数量关系为 () A.a+b=0 B.a+b>O C.a-b=0 D.a-b>0 3.如图，I是△ABC三条角平分线的交点，△AB1的面积记为S1,△AC1的面积记为S2, △BCI的面积记为S,关于S,+S2与S的大小关系，正确的是 ( A.S1+S2=S3 B.S1+S2<S3 C.S1+S2>S3 D.无法确定 第3题图 第4题图 4.如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直，垂足 为A,交CD于点D,若AD=8,则点P到BC的距离是 5.如图，OD平分∠AOB,OA=OB,P是OD上一点，PM⊥BD于点M,PN⊥AD于 点N.求证：PM=PN. 32∴.∠FCA=∠A,∠F=∠FGA. ∴.△ABD≌△A'B'D'(ASA). :E是AC的中点，∴.AE=EC .AD =A'D'. ∠A=∠FCE, 在△AEG和△CEF中 ∠EGA=∠F, LAE CE, ,△AEG≌△CEF(AAS). 【随堂小测】 (2)解：，·△AEG≌△CEF,∴.AG=CF=6. 1.C【解析】如图，过点P作PD⊥OB于点D, AG=3BG,∴.BG=2.∴.AB=8. 作PC⊥OA于点C. ∴，△ABC的周长=AB+AC+BC=28. AB=CD, 8.解：在△ABD和△CDB中，AD=CB, BD DB. ,·OP是∠AOB的平分线，点P到OB的距离 ∴.△ABD≌△CDB(SSS). 是2，∴.PC=PD=2.0E=4, ∴，∠ADE=∠CBF AD CB, ∴Sm=0E·PC=号×4x2=4.故选C 在△ADE和△CBF中， ∠ADE=∠CBF, 2.C【解析】根据作图方法可得点P在第三象 DE BF. 限角平分线上，点P到x轴、y轴的距离相等， ∴.△ADE≌△CBF(SAS). ∴，a-b=0.故选C. ∴∠DAE=∠BCF:∠DAE=∠AEB-3.C【解析】I是△ABC三条角平分线的交 ∠ADE=100°-30°=70°，∴∠BCF=70°. 点，·△ABI的AB边上的高、△ACI的AC边 12.3角的平分线的性质 上的高、△BCI的BC边上的高相等，记为h 第1课时角的平分线的性质 '△ABI的面积记为S1,△ACl的面积记为 【边学边练】 S2,△BCI的面积记为S, 1.C2.A 2.5+5=+ch=(R+ 3.1【解析】如图，过点D作DH⊥AC于点H. :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC, AC)·h,S=2BC·h DE=DH=l.六Sam=2×2×1=l ,AB+AC>BC,.S+S2>S3.故选C. 4.4【解析】如图，过点P作PE⊥BC于点E AB∥CD,PA⊥AB,.PD⊥CD. ·:BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, ∴.PA=PE,PD=PE.∴.PE=PA=PD. 4.解：已知：如图，△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分 PA +PD =AD =8,..PA PD =4. 别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线， .∴.PE=4. 求证：AD=A'D' 证明：，△ABC≌△A'B'C' ∴.∠B=∠B',AB=A'B',∠BAC=∠B'A'C :AD平分∠BAC,A'D平分∠B'A'C', ∴.∠BAD=∠B'A'D 5.证明：.OD平分∠AOB, 127 ∴.∠BOD=∠AOD. 4.A OB=0A, 【随堂小测】 在△OBD和△OAD中， ∠BOD=∠AOD. 1.A【解析】如图，作射线AM.由题意，得MG OD =OD, =MH,MG⊥AB,MH⊥AC.∴.AM平分∠BAC. ∴.△OBD≌△OAD(SAS). 故选A ∴，∠BD0=∠ADO. .PM⊥BD,PN⊥AD,.PM=PN 第2课时角的平分线的判定 【边学边练】 1.证明：DE⊥AB,DF⊥AC, 2.4【解析】如图，加油站可建的地点有4个 ·.△BDE和△CDF是直角三角形 BD CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE =CF, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). .DE DF. 又，DE⊥AB,DF⊥AC, 3.124°【解析】小点0到三边的距离相等， ,AD是△ABC的角平分线 ∴.OB平分∠ABC,OC平分∠ACB. 2.= 3.证明：(1)如图，过点E作EF⊥AD于点F ∠OBC=3∠ABC,L0CB=5∠ACR ∴.∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°- (LABC+∠ACB)=180°-2(I80°-LA) =90+7∠A=90+7×68=1240 ,∠B=90°，AE平分∠BAD 4.证明：在△BDE和△CDE中， .BE EF. BE CE, E是BC的中点， ∠BED=∠CED, .BE CE...CE =EF. DEDE, :∠C=90°，EF⊥AD, ∴.△BDE≌△CDE(SAS). ∴.DE是∠ADC的平分线，即DE平分∠ADC ∴BD=CD AE=AE, (2)在Rt△ABE和Rt△AFE中， :BD⊥AB,CD⊥AC, BE FE. ∴，AD平分∠BAC ∴.RI△ABE≌Rt△AFE(HL). 5.证明：如图，过点D作DN⊥AC于点N, ∴.AB=AF DM⊥AB于点M. 在R△CDE和I△FDE中，CE=FE, DEDE. :△DBF的面积为2BF·DM, ∴.Rt△CDE≌Rt△FDE(HL). ∴.CD=FD. △DCE的面积为2DN·CE. ∴.AB+CD=AF+FD=AD ,·△DCE和△DBF的面积相等， 128