12.2.4 用“HL”证直角三角形全等-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(人教版)

8 第4课时用“HL”证直角三角形全等 【边学边练】 知识点一用“L”判定两个三角形全等 1.如图，∠B=∠E=90°，AB=DE,AC=DF,则△ABC≌△DEF的理由是 A.“SAS” B.“ASA” C.“AAS" D.“HL” 2.如图，已知AC=BD,CE=DF,∠A=∠B=90.若AE=8,BE=2,则EF的 值为 知识点二直角三角形全等判定方法的选用 3.下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是 A.一个锐角和一条斜边分别对应相等 B.两条直角边分别对应相等 C.一条直角边和斜边分别对应相等 D.两个锐角分别对应相等 4.（教材改编题)如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，请你添加一个条件， 使得△ACB≌△BDA.你添加的条件是 （写出一个符合 题意的即可)》 【随堂小测】 1.如图，AB⊥CD,垂足为O.添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌R△BOD的是 A.AC=BD,OA =OB B.AC =BD,OC=OD C.OA=OD,∠A=∠B D.AC=BD,AC∥BD 25 2.如图所示，BC,AE是锐角三角形ABF的高，相交于点D,若AD=BF,AF=7,CF=2, 则BD的长为 ()》 A.2 B.3 C.4 D.5 第2题图 第3题图 3.(易错题)如图，已知AC=AD,∠ACB=∠ADB=90°，则全等三角形共有 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,需增加一个条件： ,可得Rt△ABD≌ Rt△ACD. D 第4题图 第5题图 5.如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子(BC=EF),左边滑梯的高度AC等于 右边滑梯水平方向的长度DF,则∠ABC+∠DFE= 6.(教材改编题)如图，已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE.求 证：△BAE≌△DCF. 7.（核心素养·推理能力)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=5cm,一 条线段PQ=AB,点P,Q分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AD上以每秒2cm 的速度运动，问几秒后△ABC和△APQ全等，为什么？ D 26DC+CE=30cm.∴.两堵木墙之间的距离为 时，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD,故本选项 30cm. 符合题意：D.当AC∥BD时，∠A=∠B,根据 4.①③④【解析】在△ABE和△ACF中， “AAS”可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD,故本 ∠E=∠F,∠B=∠C,AE=AF, 选项不符合题意.故选C ∴.△ABE≌△ACF(AAS).∴.∠EAB=∠FAC 2.B【解析】：BC,AE是锐角三角形ABF的高， ∴.∠EAB-∠BAC=∠FAC-∠BAC. ∴.∠BCF=∠ACD=∠AEF=90°..∠F+ ∴∠1=∠2.∴①正确：没有条件可以证明 ∠CAD=∠F+∠CBF=90°.∴.∠CBF=∠CAD. CD=DN,.②错误；.△ABE≌△ACF, ∠BCF=∠ACD, ∴，AB=AC.在△ACN和△ABM中，∠C= 在△BCF和△ACD中， ∠CBF=∠CAD, ∠B,AC=AB,∠CAN=∠BAM,∴.△ACN≌ BF =AD △ABM(ASA).∴.③正确：△ABE≌△ACF, ∴，△BCF≌△ACD(AAS).∴，CF=CD=2,BC BE=CF,∴，④正确.∴，其中正确的结论有 =AC AF-CF =5...BD BC-CD=5- ①3④. 2=3.故选B. 5.(1)证明：，AD∥EC, 3.C【解析】：∠ACB=∠ADB=90°，AB=AB, ∴.∠A=∠BEC AC=AD,.Rt△ACB≌Rt△ADB(HL). :E是AB的中点， ∴.BC=BD,∠CAB=∠DAB,∠ABC=∠ABD ∴.AE=EB. AC=AD,∠CAE=∠DAE,AE=AE, ·∠AED=∠B, ∴.△ACE≌△ADE(SAS).:BC=BD,∠CBE= ∴△AED≌△EBC(ASA) ∠DBE,BE=BE,∴.△BCE≌△BDE(SAS). (2)解：.'△AED≌△EBC, ∴，共有3对全等三角形.故选C .AD EC. 4.BD=CD(或AB=AC或∠B=∠C或∠BAD= 又AD∥EC, ∠CAD) ∴.∠ADE=∠CED. 5.90【解析】.AC⊥AB,∴.∠BAC=90 DE ED. DE⊥DF,∴.∠EDF=9O ,∴.△ADE≌△CED(SAS). ∴，∠BAC=∠EDF=90°. ∴.AE=CD ·AB=6,E是AB的中点， 在R△ABC和R△DEF中，AC=DF, [BC EF, .CD=AE=AB=3. ∴，Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). .∠ACB=∠DFE. 第4课时 用“HL”证直角三角形全等 .∠ABC+∠ACB=90°， 【边学边练】 ∴.∠ABC+∠DFE=90 1.D2.63.D 6.证明：：AE⊥BD,CF⊥BD,∴.∠AEB=∠CFD 4.AC=BD(答案不唯一) =9O°.BF=DE,∴.BF+EF=DE+EF,即 【随堂小测】 BE=DF.在Rt△BAE和Rt△DCF中， L.C【解析】A当AC=BD,OA=OB时，根据 [AB=CD, “HL”可以判定R:△AOC≌Rt△BOD,故本选 BE DF, 项不符合题意：B.当AC=BD,OC=OD时，根 ∴.Rt△BAE≌Rt△DCF(HL). 据“HL”可以判定Rt△AOC≌RL△BOD,故本7.解：设1秒后△ABC和△APQ全等，则AQ=21. 选项不符合题意；C.当OA=OD,∠A=∠B 当AQ=AC时，在Rt△APQ和R△CBA中， 124 [PQ=BA, 3.解：(1)△ABD和△ACE全等.理由如下： LAQ=CA, ∠B=∠C. ∴.R△APQ≌Rt△CBA(HΠ). 在△ABD和△ACE中， ∠A=∠A, ∴.21=10，解得1=5： AD =AE, 当AQ=BC时，在Rt△APQ和Rt△CAB中， ∴，△ABD≌△ACE(AAS). [PQ=AB, (2)B0和C0相等.理由如下： AQ=CB. .·△ABD≌△ACE. ∴.AB=AC ,∴.Rt△APQ≌△Rt△CAB(HL). AE =AD. ∴.2t=5,解得1=2.5. ∴.AB-AE=AC-AD,即BE=CD ∴，2.5秒或5秒后△ABC和△APQ全等， ∠BOE=∠COD. 小专题1全等三角形的基本模型 在△BOE和△COD中， ∠B=∠C, L.证明：：AB=CD,÷AB+BC=CD+BC,即AC BE CD, =BD.DE∥AF,∴.∠A=∠D. .△BOE≌△COD(AAS). AF DE, ∴.B0=CO. 在△AFC和△DEB中， ∠A=∠D, 4.证明：，AE和BD相交于点O, AC=DB, ∴.∠AOD=∠BOE. ∴.△AFC≌△DEB(SAS) 在△AOD和△BOE中， 在图2和图3中结论依然成立.理由如下： ∠A=∠B,.∠BE0=∠2 在图2中，：DE∥AF,,∠A=∠D. 又∠1=∠2，∴.∠1=∠BE0. AC DB. ,:∠I+∠AED=∠BEO+∠AED, 在△AFC和△DEB中 ∠ACF=∠DBE, ∴.∠AEC=∠BED. ∠A=∠D, r∠A=∠B, ∴，△AFC≌△DEB(ASA) 在△AEC和△BED中，AE=BE, 在图3中，AB=CD L∠AEC=∠BED, ∴，AB-BC=CD-BC,即AC=DB. ∴.△AEC≌△BED(ASA). :AF∥DE,∴.∠A=∠D. 5.证明：(1)BE⊥CD AF DE, ∴.∠BEC=∠DEA=90° 在△AFC和△DEB中， ∠A=∠D, EC EA, LAC DB, 在△BEC和△DEA中， ∠BEC=∠DEA. .△AFC≌△DEB(SAS). BE DE, 2.解：△BCE≌△BDE.理由如下： ∴.△BEC≌△DEA(SAS). AC =AD, (2).△BEC≌△DEA,∴.∠B=∠D. 在△ACB和△ADB中 ∠CAB=∠DAB. :∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF, AB =AB, ∴.∠BAF+∠B=90 ,∴.△ACB≌△ADB(SAS). ∴.∠AFB=180°-（∠BAF+∠B)=90 ∴.BC=BD,∠ABC=∠ABD. .DF⊥BC BC BD 6.解：△ADE≌△CAB.理由如下： 在△BCE和△BDE中，∠EBC=∠EBD, ,∠CED+∠B=180°，∠CED+∠DEA=180°， BEBE, ∴，∠B=∠DEA. ∴.△BCE≌△BDE(SAS). AD∥BC,∴.∠ACB=∠DAE. 125