专题02 特殊三角形（基础类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题02特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形的认识 【解惑】下列图形中，是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“大雪”“白露”“芒种”“立春”，其中是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．下列五种图形：①线段  ②角  ③平行四边形  ④正方形  ⑤等腰三角形，是轴对称图形的有 ．（填序号） 3．下列图形是轴对称图形的是 （填序号）． 类型二、定理与证明 【解惑】下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 【融会贯通】 1．下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 2．如图所示，，那么 ，依据是 ． 3．（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 类型三、两个斜边的一半——30°对应边 【解惑】如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【融会贯通】 1．如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 2．如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点、、连接、若，则的长为 ． 3．如图，中，，，是边上的高．若，则CD＝ 类型四、两个斜边的一半——斜中定理 【解惑】如图，已知中，，平分，点为的中点，则 ．    【融会贯通】 1．如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则 ． 3．如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 类型五、勾股数 【解惑】下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【融会贯通】 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 2．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 3．能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为 ． 类型六、等边对等角 【解惑】如图，在中，，D为边上一点，E点在边上，，若，则（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，数学课上，老师在黑板上画出了一个，要求学生们只用无刻度直尺和圆规比较与的大小，以下是同学们给出的4种做法，根据作图痕迹，其中错误的是（    ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 2．等腰三角形有一个角是，则另两个角的度数是 ． 3．如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 类型七、三线合一 【解惑】如图，在中，，D为中点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，中，，，垂足为，，交于点，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．3.5 2．如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ． 3．如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 类型八、等腰三角形的性质 【解惑】如图，是等边的边上的中线，以点D为圆心，长为半径画弧交的延长线于E，则（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是的两个内角平分线的交点，且，，若的周长是，则的长为（　　）． A． B． C． D． 2．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 3．如图，在中，， ，D是边上的一点，连接并延长到点E，连接、，平分交于点F． (1)若，，求； (2)已知，，求证：． 类型九、等边三角形的性质 【解惑】如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【融会贯通】 1．如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 3．如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 类型十、全等的性质(HL) 【解惑】如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．6 【融会贯通】 1．如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，点在一块直角三角板上（其中，于点，于点，若，则 度． 3．如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 【一览众山小】 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（  ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是 ． 5．如图，一扇卷闸门用一块宽，长的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起 高． 6．如图，已知在中，点D为斜边的中点，，则 ． 7．如图，在中，点在上，且，，求的度数． 8．如图，在中，，过点作，平分交AD于点D，交于点．试说明：． 9．已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求的长． 10．如图，在中，，、是边上的点，且．求证：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形的认识 【解惑】下列图形中，是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、C、D均不能找到一条直线，使A、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、C、D不是轴对称图形，不符合题意； B能找到一条直线，使B沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B是轴对称图形，符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“大雪”“白露”“芒种”“立春”，其中是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 2．下列五种图形：①线段  ②角  ③平行四边形  ④正方形  ⑤等腰三角形，是轴对称图形的有 ．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】该题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：线段、角、正方形、等腰三角形是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形． 故是轴对称图形的有①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 3．下列图形是轴对称图形的是 （填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】解：③、④、⑤图形沿着某一条直线对折后两部分可以完全重合， 故答案为：③④⑤ 【点睛】考查了轴对称图形的定义，解题关键是利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）进行判断. 类型二、定理与证明 【解惑】下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：A、点A到点B的距离是，不是定义，不符合题意； B、两直线平行，同位角相等是定理，不是定义，不符合题意； C、直角都相等，不是定义，不符合题意； D、两边相等的三角形是等腰三角形，是定义，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【答案】C 【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键. 【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意； 定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意； 对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意； 要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意； 故选：C 2．如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 3．（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， . 【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可； （2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短． 故答案为垂线段最短． （2）根据题意，当时， 有：（SSS）， 所依据的数学公理是SSS； 故答案为 ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理. 类型三、两个斜边的一半——30°对应边 【解惑】如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】解∶∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过作于点，      ∵，平分， ∴， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为3， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出，进而求出的长，利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故选A． 2．如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点、、连接、若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，，求得，即可求出答案． 【详解】解：， ， 线段的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ，， ， 故答案为：4． 3．如图，中，，，是边上的高．若，则CD＝ 【答案】5 【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求出长．本题考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键． 【详解】解：，， ， 是边上的高， ， ， ， 故答案为：5． 类型四、两个斜边的一半——斜中定理 【解惑】如图，已知中，，平分，点为的中点，则 ．    【答案】/4厘米 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 根据等腰三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：，平分， ， ， 点为的中点， ， 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，求出，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示：    等腰直角三角形中，为边上中点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：B． 2．如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则 ． 【答案】40° 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和与外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握等边对等角以及三角形的内角和与外角的性质是解题的关键． 如图：连接，根据斜边上的中线的性质得到，根据三角形的外角得到，再根据等边对等角进行求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据题意可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点，， ∴． 故答案为：8 类型五、勾股数 【解惑】下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 2．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 3．能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为 ． 【答案】     【分析】本题主要考查了勾股数问题，数字类的规律探索，观察可知当最小的数为奇数时，其可表示为，则第二小的数可以表示为，最大的数表示为，据此可得答案． 【详解】解：由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． ……， 以此类推可得，由勾股数，，有， 故答案为：    ． 类型六、等边对等角 【解惑】如图，在中，，D为边上一点，E点在边上，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和三角形外角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 根据三角形外角的定义得出，，再根据等腰三角形的性质得出，即可得出，即可求解； 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图所示，数学课上，老师在黑板上画出了一个，要求学生们只用无刻度直尺和圆规比较与的大小，以下是同学们给出的4种做法，根据作图痕迹，其中错误的是（    ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．方法一：由作法得：，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可判断；方法二：由作法得：，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可判断；方法三：由作法得：，再由等腰三角形的性质，可判断；方法四：由作法得：垂直平分，再由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可判断． 【详解】解：方法一：由作法得：， ∴， ∵ ∴，故方法一正确； 方法二：由作法得：， ∴， ∵， ∴，故方法二正确； 方法三：由作法得：， ∴， 根据题中条件，无法得到与的大小，故方法三错误； 方法四：由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故方法四正确； 故选∶C 2．等腰三角形有一个角是，则另两个角的度数是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理，是解决问题的关键． 先根据等腰三角形中必有两个角相等和三角形内角和为，得出两个底角不能为，从而求得另两个角的度数． 【详解】∵三角形内角和为， ∴不能为底角， ∴剩下两个角为底角，且它们之和为：， ∴． ∴另两个角的度数为：，． 故答案为：，． 3．如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， 是等腰三角形，分情况讨论： ①时，， ∴， 此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ∴； ③时，， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 类型七、三线合一 【解惑】如图，在中，，D为中点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形“三线合一”的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，，是的中点， ∴是的角平分线， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，中，，，垂足为，，交于点，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的性质．根据等腰三角形的性质，平行线的性质解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 3．如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 类型八、等腰三角形的性质 【解惑】如图，是等边的边上的中线，以点D为圆心，长为半径画弧交的延长线于E，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握三线合一的性质是解题关键．根据等边三角形的性质，得到，，根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形，是边上的中线， ，， 由作法可知，， ， 是的外角， ， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，是的两个内角平分线的交点，且，，若的周长是，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，等量代换得到，再根据等角对等边可得，同理可得，然后求出的周长． 【详解】解：是的两个内角平分线的交点， ， ， ， ， ， 同理可得， 的周长， 的周长是， ． 故选：D． 2．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 3．如图，在中，， ，D是边上的一点，连接并延长到点E，连接、，平分交于点F． (1)若，，求； (2)已知，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质， （1）根据角平分线的定义得，等腰三角形的性质，结合三角形外角解答即可； （2）根据全等三角形的性质判定与性质先证明，然后证明即可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 类型九、等边三角形的性质 【解惑】如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键． 如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【融会贯通】 1．如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键． 根据等边三角形性质可得，，，根据等腰直角三角形性质可得，，，得到，根据等腰三角形性质可得，． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点Q作的延长线的垂线于点，根据等边三角形性质和对顶角的性质可得，再根据，，可证得，从而证得，得到，，从而求得等边三角形的边长，再根据等边三角形的性质即可解题． 【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 3．如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，旋转性质，对顶角，三角形外角性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． （1）根据等边三角形性质推出，求出，根据证即可； （2）根据等边三角形性质推出，根据三角形外角性质推出，求出的度数，根据对顶角相等求出即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中 ， ． （2）证明：如图，与交于点G， ， ， ， ， ， ， ． 类型十、全等的性质(HL) 【解惑】如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线和作垂线的尺规作法，角平分线性质定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；由作法得平分，垂直，由角平分线性质定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，，即可求解；理解作法，掌握相关的判定方法及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：由作法得： 平分， 垂直， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．如图所示，点在一块直角三角板上（其中，于点，于点，若，则 度． 【答案】15 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法是解题的关键．根据，，可知，从而可证，根据全等三角形的性质可得，即可求出的度数． 【详解】解： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：15． 3．如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形对应角相等，对应边相等． （1）根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，通过证明，得出，再进行分类讨论：当点M在点E左边时，当点M在点E右边时； （2）根据全等的性质得出，，再进行分类讨论即可：当点M在点E右边时，当点M在点E左边时，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 当点M在点E左边时，， 当点M在点E右边时，， 综上：或． （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点M在点E右边时，∵， ∴，即； 当点M在点E左边时，∵，， ∴， 综上：或． 【一览众山小】 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键． 根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）对四个选项进行分析． 【详解】解：观察图形，只有选项D的图形，能够找到一条直线，使图形对折后能够完全重合，是轴对称图形． 故选：D． 2．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线，等腰三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定．根据角平分线的定义，则，；根据平行线的性质可证得，，然后根据等角对等边，则，，最后根据三角形的周长，即可． 【详解】∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的两个底角相等解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 4．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形． 根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等 ①当腰为时：三角形的周长为：； ②当腰为时：三角形的周长为：； 故答案为：或． 5．如图，一扇卷闸门用一块宽，长的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起 高． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意，找出题中的隐藏条件，将实际问题运用数学思想进行解答是解题的关键． 用长方形木板的对角线可将卷闸门撑起的最高，可用勾股定理将长方形的对角线的长求出． 【详解】解：根据勾股定理，长方形对角线的长， 用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起， 故答案为：． 6．如图，已知在中，点D为斜边的中点，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，点D为斜边的中点， ∴． 故答案是：4． 7．如图，在中，点在上，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 8．如图，在中，，过点作，平分交AD于点D，交于点．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同角或等角的余角相等、直角三角形两锐角互余． 根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； 9．已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，得出，再利用勾股定理即可得出答案． 此题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键是根据证明． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ． 在中，， ， 即， ． 10．如图，在中，，、是边上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由“”可证，可得． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$