专题02 特殊三角形之几何最值篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题02特殊三角形之几何最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(最小) 【解惑】如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【融会贯通】 1．如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（    ） A．9 B．6 C．5 D．4 2．已知点A、点B在直线上，．若动点P在直线外，且到直线的距离为3，则的最小值为 ． 3．如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，，且P为上的动点，连接，，则的最小值为 ． 类型二、三点共线(最大) 【解惑】如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【融会贯通】 1．如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（    ） A．160 B．150 C．140 D．130 2．如图，点A、B在直线l的同侧，已知于C，于D，且，点P为直线l上一动点，则的最大值为 ． 3．如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为 ．    类型三、两动一定 【解惑】已知，都是等边的中线，点为上一动点，，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．6 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 2．如图，中，，，点，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 3．如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为 ． 类型四、周长最小——将军饮马 【解惑】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【融会贯通】 1．如图，在中，，，垂直平分，若是的中点，是上动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，于点D，垂直平分，交于点，点是上一动点，则的周长的最小值是 ． 3．如图所示，中，，是的垂直平分线，P是上的一个动点，D是中点．如果面积为20，，则周长最小值为 ． 类型五、周长最小——双对称 【解惑】已知，在内有一定点P，点M，N分别是上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　）    A．1.5 B．3 C．2 D．2.5 【融会贯通】 1．如图，四边形中，，点M、N分别是边上的动点，，当的周长最小值时，则的度数是（　　） A．124° B．68° C．60° D．56° 2．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 3．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，． （1）则周长是否存在最小值？ （用“存在”或“不存在”填空） （2）如果存在，请直接写出周长的最小值．如果不存在，请说明理由． 类型六、两定两动 【解惑】如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，,OA=OB=6，点C,D分别为线段OA,OB上的动点（C,D不与A,B重合），则AD+CD+BC的最小值为（  ） A．4 B．6 C． D． 2．如图，点M、N分别在边上，且，，点P、Q分别在边上，则当取最小值时， ．    3．如图,，点分别在上，且，点分别在上运动，则的最小值为 ． 类型七、面积最大 【解惑】在中，，，点D是线段上一动点，作射线，点B关于的对称点为，直线与相交于点E，连接，下面结论正确的个数是（    ） ①线段； ②当时，的面积是8； ③随着点D的移动，的角度不变； ④线段的长度最大值是8．    A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，中，垂直的角平分线于为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ）    A．18 B．16 C．15 D．12 2．如图，在四边形中，平分，，，当面积取得最大值时， ．    3．如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 类型八、手拉手最值 【解惑】如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 【融会贯通】 1．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（　　） A．5 B．2 C．2 D．1 2．如图，在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 3．如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    类型九、四点共线(最小) 【解惑】如图，，在的同侧，，，，M为的中点．若，则长的最大值是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【融会贯通】 1．如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为 3．如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ． 类型十、其他最值 【解惑】如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，点为直角边的中点，点为形内的一个动点，点为的中点，若，，，当取得最小值时，的度数为（    ）．    A． B． C． D． 2．如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 3．如图，是等边三角形，点D是边的中点，，点P，Q是上的两个动点，且．若于点H，则的最小值为 【一览众山小】 1．如图，在中，，平分交于点，，，点是线段上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．10 D．12 2．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 3．如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．17 C．18 D．20 4．如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 5．如图，已知中，，，高，P为线段上一动点，点为线段上一动点．则的最小值为 ． 6．如图，等腰中，为底边上的中点，，的面积为，分别是线段上的动点，且，则最小值是 ． 7．在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点，使与互为补角，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当，时，试说明与的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交于点，若，，点分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值． 8．（1）如图1，等腰中，，点P为边上(不与端点重合)一动点，以为一边在右侧作，使得，． ①与之间的数量关系是___________； ②猜想，，之间的数量关系并证明； （2）如图2，为直角，其他条件同（1），若，在点P移动过程中，四边形周长是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请简要说明理由．    9．类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． 10．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02特殊三角形之几何最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(最小) 【解惑】如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接，过点作于点．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点与点重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出最后利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点． ∵为中点，， ∴点与点重合， 垂直平分线段， ， ， ， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（    ） A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解：如图，连接， ∵正的边长为 3，与关于直线l对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时， 故选B 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键． 2．已知点A、点B在直线上，．若动点P在直线外，且到直线的距离为3，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键. 先推出点在平行于直线，且到直线的距离为的直线上，作点关于直线的对称点 ，连接，推出的最小值为，再利用勾股定理求出即可解决问题. 【详解】解：∵点在直线外，且到直线的距离为， ∴点在平行于直线，且到直线的距离为的直线上， 如图， 作点关于直线的对称点连接 则 ， 的最小值为 在中, , ∴由勾股定理，得 ∴的最小值为. 故答案为: . 3．如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，，且P为上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握对称求线段和最小值的方法是解题的关键． 连接，由，根据即可求得的最小值． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∴， ∵是边上的高，E为的中点， ∴，且E为的中点， ∴， 当C，P，E三点共线时，最小， 根据等边三角形三边上的高相等，可得， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 类型二、三点共线(最大) 【解惑】如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（    ） A．160 B．150 C．140 D．130 【答案】A 【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线， ∵，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 即PA+PB的最小值是； 如图所示，延长AB交MN于点， ∵，， ∴当点P运动到点时，最大， 过点B作，则， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， 即， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系． 2．如图，点A、B在直线l的同侧，已知于C，于D，且，点P为直线l上一动点，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，三角形三边的关系，，连接，由得到当A、B、P三点共线时，有最大值，最大值为的长；如图所示，过点B作于E，根据平行线间间距相等得到，则，利用勾股定理得到，则的最大值为5． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴当A、B、P三点共线时，有最大值，最大值为的长， 如图所示，过点B作于E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为5， 故答案为：5． 3．如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】作A关于直线对称点C，连接并延长，交直线于P点，根据轴对称的性质可求得点C的坐标，推得点P的位置，根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：作A关于直线对称点C，如图：    ∴， ∵， ∴C的坐标为； 即直线上任意一点到点A和点C的距离都相等， 连接并延长，交直线于P点，此时，即取得最大值， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，两点间的距离公式，推得点的位置是解题的关键． 类型三、两动一定 【解惑】已知，都是等边的中线，点为上一动点，，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得出、关于对称，再根据两点之间线段最短进行求解． 【详解】解：，都是等边的中线， 、关于对称， ， 故选：D 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式．过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 2．如图，中，，，点，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、含度角的直角三角形等知识点，作点关于的对称点，连接，作交于点，当时，有最小值，据此即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：    则， ∴， ∵点E是上的动点， ∴时，有最小值 ∵， ∴ 故答案为： 3．如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形三线合一可得为的垂直平分线，即得，进而得，即可得的最小值即为垂线段的长，利用三角形面积求出即可求解，得出的最小值为垂线段的长是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的最小值即为垂线段的长， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型四、周长最小——将军饮马 【解惑】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，垂直平分，若是的中点，是上动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，，由是等腰三角形，是的中点，故，再根据勾股定理求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，， ∵， ，是的中点， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴点关于直线的对称点为点，， ∴，当C、G、F共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：． 2．如图，在中，于点D，垂直平分，交于点，点是上一动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质以及轴对称的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵于点D， ∴，即，即, ∵垂直平分， ∴， ∴,即是的最小值为8， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 3．如图所示，中，，是的垂直平分线，P是上的一个动点，D是中点．如果面积为20，，则周长最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、P、D三点共线时，最小，即为．连接，，是的垂直平分线，得出，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，两点之间线段最短，得出当A、P、D三点共线时，最小，且最小值为的长，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵D是中点，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、P、D三点共线时，最小，且最小值为的长， ∵，D是中点， ∴， ∵， ∴， 解得：, ∴周长的最小值为． 故答案为：． 类型五、周长最小——双对称 【解惑】已知，在内有一定点P，点M，N分别是上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　）    A．1.5 B．3 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案． 【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，当四点共线时的周长最小，    连接， ∵P、D关于对称， ∴， 同理， ∴， ∵P、D关于对称， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴ 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，四边形中，，点M、N分别是边上的动点，，当的周长最小值时，则的度数是（　　） A．124° B．68° C．60° D．56° 【答案】B 【分析】延长到E使，延长到F，使，连接，则当E、N、M、F四点共线时最小，即此时的周长最小，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【详解】解：延长到E使，延长到F，使，连接 ∵， ∴，， ∴的周长， 故当E、N、M、F四点共线时最小，即此时的周长最小， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得． 【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N， 则，， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6.5． 故答案为：6.5． 3．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，． （1）则周长是否存在最小值？ （用“存在”或“不存在”填空） （2）如果存在，请直接写出周长的最小值．如果不存在，请说明理由． 【答案】 存在 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． （1）周长是存在最小值； （2）分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，由对称的性质证出是等边三角形，求得的长，即可求得的周长的最小值． 【详解】解：（1）周长是存在最小值； 故答案为：存在； （2）分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等边三角形， ． 的周长的最小值， 故答案为：． 类型六、两定两动 【解惑】如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出. 【详解】解：∵，平分， ∴， 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 则，，，，， ∴，，，， 当在一条直线上，且时，取最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键. 【融会贯通】 1．如图，,OA=OB=6，点C,D分别为线段OA,OB上的动点（C,D不与A,B重合），则AD+CD+BC的最小值为（  ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】作A关于ON的对称点A'， 作B关于OM的对称点B'，连接A'B'交ON、OM于C、D， ，此时AD+CD+BC最小，再连接O B'，O A'，可得△O A' B'为等边三角形，则最小值为6. 【详解】如图所示，作A关于ON的对称点A'， 作B关于OM的对称点B'，连接A'B'交ON、OM于C、D， ，此时AD+CD+BC最小值为A' B'，连接O B'，O A'， 由轴对称可知，O B'=OB=6，O A'=OA=6，∠B'OC=∠COD=∠A'OD=20°， ∠B'O A'=60°，而O B'= O A'，∴△O A' B'为等边三角形，∴A' B'=6，即AD+CD+BC的最小值为6，故选B. 【点睛】本题考查轴对称和等边三角形的判定，作轴对称点，画出最小值的图形是本题的关键. 2．如图，点M、N分别在边上，且，，点P、Q分别在边上，则当取最小值时， ．    【答案】20 【分析】作M关于的对称点，作N关于的对称点，连接，即为的最小值；证出为等边三角形，为等边三角形，得出，即为的面积． 【详解】解：作M关于的对称点，作N关于的对称点，如图所示： 连接，    则， 即为的最小值． 根据轴对称的定义可知：，， ∴为等边三角形，为等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，属于填空题中的压轴题，通过轴对称变换找到取最小值时P，Q的位置是解题的关键． 3．如图,，点分别在上，且，点分别在上运动，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案． 【详解】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′==10． 故答案为10． 【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键． 类型七、面积最大 【解惑】在中，，，点D是线段上一动点，作射线，点B关于的对称点为，直线与相交于点E，连接，下面结论正确的个数是（    ） ①线段； ②当时，的面积是8； ③随着点D的移动，的角度不变； ④线段的长度最大值是8．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由点B关于的对称点为，则垂直平分，即可判断①；证明是等腰三角形，又由，则，即可得到的面积，即可判断②；求出，即可判断③；连接，设与相交于点H，证得垂直平分，，则，证明是等边三角形，则，在中，，即，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵点B关于的对称点为， ∴垂直平分， ∴， 故①正确； ∴是等腰三角形， ∴当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是， 故②正确； ∵是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 即随着点D的移动，的角度不变；故③正确； 连接，设与相交于点H，    ∵点B关于的对称点为， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 即， 故④不正确， 综上可知，正确结论是①②③， 故选：C 【点睛】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，中，垂直的角平分线于为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ）    A．18 B．16 C．15 D．12 【答案】A 【分析】延长交的延长线于点H．设交于点O．通过证明，，得出， 则当时，的面积最大，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点H．设交于点O．    ∵， ∴， ∴，°， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 2．如图，在四边形中，平分，，，当面积取得最大值时， ．    【答案】8 【分析】延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，即此时面积取得最大值，故，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，    ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∴当最大时，的面积最大， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，即的面积最大， ∴， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，勾股定理，以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键． 3．如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 【答案】 18 【分析】作于点，由，，，得，，由，，得，因为垂线段最短，所以的最小值为3，则的最小值为18；再证明，则，，所以，则，可知当时，面积的最大，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， ， 的最小值为3， 当时，， 的最小值为18； ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 当时，， 故答案为：18，． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，证明是解题的关键． 类型八、手拉手最值 【解惑】如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 【答案】D 【分析】延长，交于点，可证，得出，，则，当时，最大为20，即最大为10． 本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键． 【详解】解：如图：延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即； ， ， 当时，最大， 即最大． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（　　） A．5 B．2 C．2 D．1 【答案】A 【分析】在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK．由△DAK≌△CAB，推出DK=BC=2，因为DK+KB≥BD，DK=2，KB=AB=3，所以当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5． 【详解】如图，在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK． 则AK=AB=BK=3，∠KAB=60°， ∴∠DAC=∠KAB， ∴∠DAK=∠CAB， 在△DAK和△CAB中， ， ∴△DAK≌△CAB（SAS）， ∴DK=BC=2， ∵DK+KB≥BD，DK=2，KB=AB=3， ∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5． 故选A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 2．如图，在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理，解题的关键是把绕着点D顺时针旋转到的位置，连接，，构造，即得到，再根据三边关系解题即可． 【详解】解：把绕着点D顺时针旋转到的位置，连接， 则，， ∴为等边三角形. ∵且， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可． 【详解】如图，连接，    ∵在中，，，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴要的面积最大，则的面积最小即可， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则当最小时，的面积最小， 当时，最小，此时， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 类型九、四点共线(最小) 【解惑】如图，，在的同侧，，，，M为的中点．若，则长的最大值是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接、、、、，证明为等边三角形，即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接、、、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴的最大值为14， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点． ， ， ， ， ， 为等边三角形 ， 的最大值为， 故选：D．    【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题 2．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为 【答案】10 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，等边三角形的判定及性质，证明等边三角形是解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，如图所示： 是边的中点， ， 点，点关于对称， ，， ， ， ，， ． 同理可证：，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当、、、共线时的值最大，最大值为10． 故答案为：10． 3．如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠可求出，利用勾股定理可求出，由，知当D、F、H、C四点共线时，最大，即可求解． 【详解】解：如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、F、H、C四点共线时，最大，最大值为， 即的最大值是12． 故答案为：12． 类型十、其他最值 【解惑】如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点的位置．如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，求出此时． 【详解】解：如图1，作，且，连接，连接， 是等边三角形，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 当为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，点为直角边的中点，点为形内的一个动点，点为的中点，若，，，当取得最小值时，的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，证明可得，从而可判断当点，，共线时最短，然后证明是等腰直角三角形即可． 【详解】如图，取的中点，连接，    ∵，点为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，共线时最短． 如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【分析】由等腰中，，可得，由平分，可得，如图，作，使，连接，则，证明，则，，，可知当三点共线时，最小，即，证明是等边三角形，则，进而可求． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， 如图，作，使，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，是等边三角形，点D是边的中点，，点P，Q是上的两个动点，且．若于点H，则的最小值为 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，三角形的三边关系，轴对称的性质，解题的关键是能正确作出辅助线， 根据等边三角形的性质可把转化为，转化为，再根据三角形的三边关系可得，则当最小时，最小，即可求解； 【详解】解：连接，过点Q作于点E，连接交于点F，连接，如图所示， 是等边三角形，点D是边的中点， ， 当最小时，最小， 时，即E为中点时，最小， 是等边三角形，， 时，最小， 的最小值为6， 故答案为：6 【一览众山小】 1．如图，在中，，平分交于点，，，点是线段上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键．过点作于点，则的最小值是的长，根据角平分线的性质定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则的最小值是的长， ∵，平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值是． 故选：B 2．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段沿着射线折叠得到，可得，求解，当共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵线段沿着射线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 当共线时， ，此时周长最短； ∴， ∴； 故选C 3．如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．17 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短距离问题，等腰三角形的性质，根据点A与点C关于对称，即可得出，当点P与点E重合时，，此时△PBC的周长最小，根据含30度角的直角三角形的性质求出即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴周长的最小值为：， 故选：A． 4．如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作于， 由垂线段最短可知，此时最小， 由勾股定理得，， ，即， 解得，， 故答案为：． 5．如图，已知中，，，高，P为线段上一动点，点为线段上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质及将军饮马的最值模型，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； 连接，由题意易得是的垂直平分线，，要求的最小值即为的最小值，然后根据点到直线的距离垂线段最短即可进行求解． 【详解】解：连接，过点A作，垂足为G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，当C、P、D、H共线时取等号， ∵， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 6．如图，等腰中，为底边上的中点，，的面积为，分别是线段上的动点，且，则最小值是 ． 【答案】 【分析】本题综合考查全等三角形，勾股定理，过作且使得，接、、，证明，得出，，则的最小值时线段的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】过作且使得，接、、， 等腰中，为底边上的中点， ，的面积为， ，， 在中， ， ， 又， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，最小， 的最小值时线段的长， ，，， ∴ 故答案为：． 7．在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点，使与互为补角，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当，时，试说明与的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交于点，若，，点分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出答案； （2）是等边三角形，得出，证明得出，从而推出，即可得证； （3）将沿对称至，沿对称至，且、分别在、上，连接，此时与和交点即为所求、，此时的周长最小，且、两点重合，此时的周长的最小值即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及轴对称的性质证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∵，，平分， ∴垂直平分，， 如图，将沿对称至，沿对称至，且、分别在、上，连接，此时与和交点即为所求、，此时的周长最小，且、两点重合，此时的周长的最小值即为的长度， 由对称的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 此时，过点作交于， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， 由（2）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8．（1）如图1，等腰中，，点P为边上(不与端点重合)一动点，以为一边在右侧作，使得，． ①与之间的数量关系是___________； ②猜想，，之间的数量关系并证明； （2）如图2，为直角，其他条件同（1），若，在点P移动过程中，四边形周长是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请简要说明理由．    【答案】（1）①，②，见解析；（2）10 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线段最短和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，掌握这个“手拉手”模型是解题的关键． （1）①先得出，再证明得到，从而证明，继而得到；②利用得到，从而证明； （2）由（1）②可知，得到四边形的周长，利用垂线段最短、三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的最小值，从而得解． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； ②，理由如下： 由①知，， ∴， ∵， ∴； （2）存在最小值，最小值为10． 由（1）②可知， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长， ∴如图所示，当时，最小时，四边形的周长最小，    ∵为直角， ∴当点P为的中点，时，此时有最小值，且， ∴四边形的周长存在最小值，最小值为：． 9．类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（1）证，得，，利用线段的和差即可得解； （2）证明，得，，从而即可得解； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证； ②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 10．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】（1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：①过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角性是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$