专题02 特殊三角形（中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题02特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形的性质 【解惑】如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，． 3．如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ． 类型二、轴对称中的问题——台球 【解惑】如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【融会贯通】 1．如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A．A 筐 B．B 筐 C．C 筐 D．D 筐 2．如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 3．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 点．     类型三、轴对称中的问题——光线反射 【解惑】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 3．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 类型四、根据等边对等角证明 【解惑】在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【融会贯通】 1．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．以上都不正确 2．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 °． 3．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 类型五、根据三线合一证明 【解惑】如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，平分，垂直平分于点，交的延长线于点，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．    3．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，． (1)若，，则的度数为________； (2)若是的中点，，求证：； (3)若，分别是的中线和角平分线，，求的度数； (4)连接，若， 当是边上的高，且时，则的度数为________； 当不是边上的高时，请判断与之间的数量关系，并加以证明． 类型六、等腰三角形的性质与判定 【解惑】如图，在中，，，于点，于点，交于点，若，则的长为（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 【融会贯通】 1．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 3．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 类型七、等边三角形的判定 【解惑】中，①若，则是等边三角形；②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；③顶角为的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．在中，， ， 则是（     ） A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．已知，，为三边的长，当时，则的形状是 ． 3．如图，已知：和都是等边三角形，点分别是上的点，点是线段延长线上的一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段的中点，连接并延长至使得，交于，连接，求证：是等边三角形． 类型八、用勾股定理求解 【解惑】如图，一张长方形纸片剪去一个角后剩下一个梯形，则这个梯形的周长为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【融会贯通】 1．在中，，，，则斜边上的高是（     ） A． B． C． D． 2．如图，D在的边上，，，，， 则的面积为 ．    3．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 类型九、勾股定理的证明 【解惑】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【融会贯通】 1．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 （填写数字序号即可）． 3．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作交延长线于点F，则 又∵ ∴ 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 类型十、赵爽弦图 【解惑】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【融会贯通】 1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 2．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是 ． 3．阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【一览众山小】 1．下列各组线段，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 4．已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为 ． 5．如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 6．如图 , 在 射 线 上 分 别 截 取 、 ，使 ，连接 ，在、 ，上分别截取 、 ，使 ，连接 ；……依此类推，若， ． 7．如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．． (1)求证：； (2)若，，求和的度数； (3)求证：． 8．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：． 9．如图，已知在中，，是角平分线，过点B作的垂线与的延长线相交于点E，求证：是等腰三角形． 10．已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形的性质 【解惑】如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案． 【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点， ， ， ， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键． 利用轴对称图形的性质得出，，结合图形即可求解． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，， ，， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，． 【答案】36 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明，利用三角形内角和定理构建方程求解即可． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36． 3．如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角问题，掌握直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角性质，会用已知角求余角，利用对称轴证角相等，利用外角关系解决问题是关键．由，，得，根据对称性的性质可得，根据三角形外角的性质得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D，E在上，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 类型二、轴对称中的问题——台球 【解惑】如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴球最后将落入的球袋是4号袋， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 【融会贯通】 1．如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A．A 筐 B．B 筐 C．C 筐 D．D 筐 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出答案． 【详解】由题意，可画出图形如下：    由图可知，球Q最终会落在C筐， 故选：C． 【点睛】本题考查了生活中的轴对称想象，掌握轴对称的性质是解题关键． 2．如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 【答案】673 【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为673． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 3．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 点．     【答案】D 【分析】根据轴对称的性质解答． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：可以瞄准点D击球． 故答案：D． 【点睛】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下，关键是找能使入射角和反射角相等的点． 类型三、轴对称中的问题——光线反射 【解惑】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 【融会贯通】 1．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 2．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 3．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 【答案】65° 【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．根据垂线的性质可得∠CDH+α=90°，根据平行线的性质可得∠AGC=∠CDH，根据入射角等于反射角可得，从而可得夹角的度数． 【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D． ∴∠CDH+α=90°， 根据题意可知：AG∥DF， ∴∠AGC=∠CDH， ， ∴∠CDH=25°， ∴α=65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是掌握平行线的性质、明确法线CG平分∠AGB． 类型四、根据等边对等角证明 【解惑】在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，找到周长取到最小值时P点所在的位置是解题的关键．连接与交于点P，则此时周长取到最小值，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果． 【详解】 解：∵的垂直平分线分别交，于点，M，N， ∴A，C关于对称， 连接与交于点P，则此时的周长取到最小值， ∵，点D是的中点， ∴， ∵垂直平分，点P是上的点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 2．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得出各个角之间的等量关系，最后再利用三角形的内角和定理计算，即可得出答案． 【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 延长至点，使，连接．结合题意可证明，得到，．由，可得，结合，得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． 类型五、根据三线合一证明 【解惑】如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 【融会贯通】 1．如图，平分，垂直平分于点，交的延长线于点，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可判断选项A；根据等腰三角形三线合一性质可判断选项B；根据等腰三角形的性质及三角形外角性质可判断选项C；根据三角形角平分线的定义可判断选项D． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意； ∵不一定是等腰三角形， ∴不能证明，故选项B的结论错误，符合题意； ∵垂直平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故选项C的结论正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2．如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】由等腰三角形的性质得，由，得，根据证明得，，求出的长，进而可求出的面积． 【详解】解：∵点D是等腰的底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的“三线合一”，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 3．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，． (1)若，，则的度数为________； (2)若是的中点，，求证：； (3)若，分别是的中线和角平分线，，求的度数； (4)连接，若， 当是边上的高，且时，则的度数为________； 当不是边上的高时，请判断与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)；，证明见解析 【分析】（1）利用等边对等角可求出，利用三角形的内角和定理可求出，进而可求出； （2）利用三线合一及三角形的内角和定理可证明，根据可证得，于是可证明； （3）利用三线合一可求出，根据等边对等角可得，利用三角形的内角和定理可求出，然后利用角平分线的定义即可求出； （4）利用三线合一可求出，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出，进而可求出；根据等边对等角可知，，利用三角形外角的性质可得，，然后利用各个角之间的关系，通过等量置换即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，是的中点， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：，是的中线， ，， ， ， 是的角平分线， ； （4）解：，理由如下： 是边上的高，且， ，是的平分线， ， ， ， ， 故答案为：； ，证明如下： ，， ，， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质（三线合一，等边对等角），三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键． 类型六、等腰三角形的性质与判定 【解惑】如图，在中，，，于点，于点，交于点，若，则的长为（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由题意得，，根据角度关系可得，进一步判定，得出，进一步得出即可． 本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长与交于点，由题意可推出，依据垂线的定义，角平分线的定义和三角形的内角和定理，可证得为等腰三角形，于是可得，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：如图，延长与交于点， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，垂线的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，正确作出辅助线，构建等腰三角形是解题的关键． 2．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出，再由于点可得出的度数，进而得出的度数，由线段垂直平分线的性质可得出，据此可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． ， ， ， ． ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：40． 3．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 类型七、等边三角形的判定 【解惑】中，①若，则是等边三角形；②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；③顶角为的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：①若，则是等边三角形；正确； ②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；正确； ③顶角为的等腰三角形是等边三角形；正确； ④有两个角都是的三角形，则另一个角也是，故是等边三角形；正确； 故选D． 【融会贯通】 1．在中，， ， 则是（     ） A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，三角形的三个内角的和等于；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 根据三角形内角和定理求出和的度数，判断的形状即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 2．已知，，为三边的长，当时，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系． 【详解】解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 3．如图，已知：和都是等边三角形，点分别是上的点，点是线段延长线上的一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段的中点，连接并延长至使得，交于，连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，根据线段的和差关系，即可得出结论； （3）连接，证明，进而证明，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵为等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 类型八、用勾股定理求解 【解惑】如图，一张长方形纸片剪去一个角后剩下一个梯形，则这个梯形的周长为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出的长，进一步求出梯形的周长即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴， ∴， ∴这个梯形的周长为； 故选B． 【融会贯通】 1．在中，，，，则斜边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求得斜边的长，然后根据三角形的面积即可求得斜边上的高． 【详解】解：根据勾股定理，斜边， ， 又斜边上的高， 斜边上的高， 故选：． 2．如图，D在的边上，，，，， 则的面积为 ．    【答案】36 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，如图，过作于，过作于，先求解，再利用等面积法求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 类型九、勾股定理的证明 【解惑】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即，故C选项错误，符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 2．素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 （填写数字序号即可）． 【答案】①②③④ 【分析】根据各部分图形的面积和差系导出a、b、c三者关系进行判断便可． 【详解】解：①由图形可知，， 整理得， 故①符合题意； ②由图形可知，， 整理得， 故②符合题意； ③由下图知，， 整理得， 故③符合题意； ④由下图知，， 即， ∴， ∴， 由的面积公式得， 整理得， 故④符合题意； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的证明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面积公式是解决此题的关键． 3．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作交延长线于点F，则 又∵ ∴ 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则．    ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型十、赵爽弦图 【解惑】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．根据题意得出，，再根据，即可得出结果． 【详解】解：大正方形的面积是61，小正方形的面积是1， ，， ， ， ， ， （负值舍去）， 故选：A． 【融会贯通】 1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了运用勾股定理解决问题，根据已知得出用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键．根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ，故， ， 所以， 故选：B 2．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，由图可知四边形是正方形，里面的小四边形也为正方形且边长为，再利用勾股定理求解． 【详解】解：由图可知四边形是正方形， 里面的小四边形也为正方形且边长为， 那么对角线， ，， 所以， 故答案为：． 3．阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了勾股定理，以弦图为背景的计算题，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：根据正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，列式，化简即可作答； 任务二：结合，化简得出，再代入直角三角形的面积公式进行计算，即可作答． 任务三：先运用勾股定理计算，再运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：任务一：正方形的面积，且正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积， ， 整理得． 任务二：， ， ， ， 的面积． 任务三：∵在中，， ． 是边上的高， ， ， ． 【一览众山小】 1．下列各组线段，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用．根据勾股定理逆定理分别计算并判断． 【详解】解：A、∵，∴，，不能组成直角三角形； B、∵，∴，，不能组成直角三角形； C、∵，∴，，不能组成直角三角形； D、，∴，，能组成直角三角形； 故选：D． 2．如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确判断平分，利用等腰三角形三线合一求解即可； 根据作图过程可得，平分，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解，根据作图过程可知，平分， ， ， 在中， ． 故选：B． 3．如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，结合垂直平分线的性质，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵边的垂直平分线交于 ∴ ∵的周长 ∴的周长 故选：A 4．已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故答案为：17． 5．如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟记折叠的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质求出，根据折叠的性质求出，根据平角定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折后，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图 , 在 射 线 上 分 别 截 取 、 ，使 ，连接 ，在、 ，上分别截取 、 ，使 ，连接 ；……依此类推，若， ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的外角的度数，得到分母为2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键． 根据等腰三角形两底角相等用α表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 同理， ， … ∴， ∴ ． 故答案为． 7．如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．． (1)求证：； (2)若，，求和的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】题目主要考查角平分线的计算及三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． （1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据角平分析及等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可求解； （3）根据三角形内角和定理得出，，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． 在中，． 在中，． （3）证明：在中， ． 在中， ． ∴． 8．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得，再由得，由此可得的度数； （2）根等腰三角形的性质得，再根据得，由此得，然后根据等腰三角形的判定进而得出结论． 【详解】（1）解：，于点D， ， ， ， ； （2）证明：，于点D， ， ， ， ， ． 9．如图，已知在中，，是角平分线，过点B作的垂线与的延长线相交于点E，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角的余角相等，对顶角相等，推出，进而得到，即可得证． 【详解】∵在中，， 又∵， ∴， ∵中，， 又∵是的平分线，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 10．已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用截长补短法构造全等三角形，是解题的关键： （1）证明，得到，利用角的和差关系，进行求解即可； （2）延长至点，使，先证明，再证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点，使， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$