专题02 特殊三角形（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题02特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、折叠问题 【解惑】如图，长方形纸片折叠后，A与重合，与重合，折痕为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 2．起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条沿折叠，使点A落在点的位置上，与交于点F（如图2）．第二步将纸条沿折叠，使点B，C分别落在直线的右侧点，的位置上（如图3）．若，，则 ． 3．如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 ． 类型二、两圆一线画等腰三角形 【解惑】如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【融会贯通】 1．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有 个． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，在直线BC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个． 类型三、两线一圆画直角三角形 【解惑】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【融会贯通】 1．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 2．同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个． 3．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 类型四、勾股定理证明线段平方关系 【解惑】如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是 ． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，将 沿着水平方向向右平移，得到，则阴影部分的周长为 ． 2．如图，已知，在射线上分别取点、，使，连结，在、上分别取点、，使，连结按此规律继续下去，记，，则 ． 3．在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 类型五、无刻度尺作图 【解惑】如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【融会贯通】 1．在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． (1)如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； (2)如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，请直接写出的长度． 2．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 3．按要求作图：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹，过程线用虚线构图，结果线用实线构图．    (1)如图1，等边的顶点、在正方形网格的格点上，是的中点，作出边的高线． (2)如图2，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中画出一个角，使点或点是这个角的顶点，且为这个角的一边． 类型六、轴对称图形的新定义 【解惑】如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)在图（1）中，在射线上画点，使 (2)在图（2）中，在射线上画点，使； (3)在图（3）中，画的平分线． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，点 P 在AC 上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，先画，再在上画点H，使，然后在上画点Q，使； (2)在图2中，先画的中线，再在上画点F，使． 3．定义：在一个三角形中，若有一个内角的度数是另一个内角的一半，则称该三角形为“半角三角形”。如图，在四边形ABCD中，，∠C=72°，点E在CD上，将△BCE沿BE翻折，点C正好落在AD上点F处，若BF⊥AD，则△EDF是“半角三角形”吗？请说明理由． 类型七、等边三角形的手拉手全等 【解惑】如图，在中，，D，E分别是上的动点，将沿折叠． (1)当点B与点C重合时，如图1．若，则的周长为 ． (2)定义：若在三角形中，其中一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为“倍边三角形”．当点B与点A重合时，如图2．若，则是倍边三角形吗？请说明理由． 【融会贯通】 1．阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 2．把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，图①是其中的一种方法．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．    (1)请你在图②、图③中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； (2)在中，，和是的三分线，点D在边上，点E在边上，且，设，试画出示意图，并求出x所有可能的值． 3．综合与探究 在中，，过点A作． (1)如图1，求证：是等边三角形． (2)如图2，当点D在线段上（不与点A，B重合）时，连接，以为边在上方作等边，连接，求证：． (3)如图3，当点D在的延长线上时，连接，以为边在右边作等边，连接，作关于直线对称的图形，连接，已知，求的长． 类型八、等腰三角形与直角三角形的动点问题 【解惑】如图，与为等边三角形，连接，，中点为M，中点为N，连接，，，求证：为等边三角形． 【融会贯通】 1．如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接． (1)求证：． (2)当平分时，若，求的度数． (3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示） 2．如图，为等边三角形，点D，E分别是边，上的点．连接，交于点H． (1)如图1，点M是延长线上一点，连接，，若，，，求的值； (2)如图2，点F是的角平分线上一点，连接，，，满足．若，求证：． 3．如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 类型九、勾股定理中的爬行最短 【解惑】如图1，中，于D，且，若．    (1)求和的长； (2)如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）． ①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值； ②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点D从点A以的速度向点C运动，同时点E从点C以的速度向点B运动，运动时间为． (1)当t= 时，为等边三角形；（直接写结果） (2)当t为何值时，为直角三角形？ 2．如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．    (1)把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． (2)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 3．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），蚂蚁怎样走路线最短？最短路线长是多少？ 类型十、勾股定理的新定义 【解惑】如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【融会贯通】 1．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 2．【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 3．定义：如图，点M，N把线段分割成，，，若以，，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)已知M，N把线段分割成，，，若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【一览众山小】 1．如图所示，在中，，根据图中尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，依据尺规作图的痕迹，可求得的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，连接，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 5．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 如图1，在筝形中，． (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内找一点，连接，使折线将筝形的面积二等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，在中，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请将图形补充完整，并求的长．（画出草图即可） 6．【定义】三角形的三边长分别记作，，，如果，那么就称该三角形为“准勾股三角形”． 【应用】 (1)求证：等边三角形不是“准勾股三角形”； (2)若“准勾股三角形”是直角三角形，且，求的值； (3)如图，在中，是边的垂直平分线，延长至点，使得，连接．求证：为“准勾股三角形”． 7．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 8．如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． (1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 9．（1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 10．图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、折叠问题 【解惑】如图，长方形纸片折叠后，A与重合，与重合，折痕为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的计算以及翻折变换，平行线的性质，注意翻折前后不变的边和角，是解此题的关键．根据折叠得出，，根据，求出，根据平行线的性质得出即可答案． 【详解】解：根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵长方形中， ∴， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 2．起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条沿折叠，使点A落在点的位置上，与交于点F（如图2）．第二步将纸条沿折叠，使点B，C分别落在直线的右侧点，的位置上（如图3）．若，，则 ． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键． 由长方形的性质及平行线的性质可证得，由长方形的性质，轴对称的性质及平行线的性质可证得，然后根据的内角和等于即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据轴对称的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 故答案为：． 3．如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 证明，得，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二、两圆一线画等腰三角形 【解惑】如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时， ∴直线m上存在4个点C，使为等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义． 【融会贯通】 1．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可． 【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线， ∴当P在l上时满足PA=PB， 作BC的中垂线交l于，满足； 作BP=BC与l交于、两点，满足，； 作CP=BC与l交于、两点，满足，； 满足题意的点P共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键． 2．如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有 个． 【答案】8 【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可． 【详解】解：如图， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB=AM）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM=BA）． ③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA=MB），交直线BC于点M8； ∴符合条件的点有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，在直线BC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个． 【答案】4 【分析】根据题意，画出相应的图形，可以确定点P的个数． 【详解】解：如图，以点A为圆心，AB长为半径交直线BC于点B和点P1， 以点B为圆心，BA长为半径交直线BC于点P2和P3， 线段AB垂直平分线与直线BC的交点记为点P4， 故符合题意的点P有4个， 故答案为4． 【点睛】本题考查等腰直角三角形、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用分类思想画出相应的图形得出问题的答案． 类型三、两线一圆画直角三角形 【解惑】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【融会贯通】 1．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G. 因而共有6个满足条件的顶点. 故选D. 2．同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个． 【答案】8 【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或； 【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图： （2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图； 符合要求的C点有8个； 故答案是8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键． 3．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 类型四、勾股定理证明线段平方关系 【解惑】如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，准确分析证明是解题的关键．过点D作，证明得出，，证明，得出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出答案即可． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：48． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，将 沿着水平方向向右平移，得到，则阴影部分的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 利用勾股定理求出，再利用平移变换的性质，可得结论． 【详解】解：在中，， 将 沿着水平方向向右平移，得到， ∴， ， 阴影部分的周长． 故答案为：16． 2．如图，已知，在射线上分别取点、，使，连结，在、上分别取点、，使，连结按此规律继续下去，记，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查等腰三角形性质和三角形内角和定理，数字规律的探索，设，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得，即可求得，同理可求得，即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案． 【详解】解：设， 则， ， 设， 则①，②， 得：， ， ， 故答案为：． 3．在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）依题意得和均为等腰直角三角形，则，证和全等得，，则，然后在中由勾股定理可得出，，之间的数量关系； （2）连接，，过断作交的延长线于，依题意得和均为等边三角形，则，同理可证和全等得，，则，进而得，，由此可求出，，设，则，，根据等边三角形性质得是线段的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理求出即可得的长． 【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下： 当时，则， ，， 和均为等腰直角三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即； （2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示： 当时，， ，， 和均为等边三角形， ， 同理可证：， ，， ， ， ， 在中，，， ，由勾股定理得：， 设，则， ，， ， ， 为等边三角形，， 是线段的垂直平分线， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 类型五、无刻度尺作图 【解惑】如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 【融会贯通】 1．在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． (1)如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； (2)如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，请直接写出的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求解； （2）①由勾股定理可求，由可证，可得，，由勾股定理可得，即可求解； ②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：是中点，， ， 中， ； （2）解：①证明：如图，延长至点，使，连接，，， ， 中，， ， ，， ， ，， ， ，即， 中，， ， ； ②解：当点在线段上时， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，延长至点，使，连接，，，   中，， 又， ， ，，， ，， ， ， ， ， 中，， ， ． ， ． 综上所述：的长度为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 2．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）证明：由（2）得：， ， ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．按要求作图：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹，过程线用虚线构图，结果线用实线构图．    (1)如图1，等边的顶点、在正方形网格的格点上，是的中点，作出边的高线． (2)如图2，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中画出一个角，使点或点是这个角的顶点，且为这个角的一边． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握等边三角形以及等腰直角三角形的性质是解题关键． （1）直接利用网格结合等边三角形的性质得出的位置； （2）利用等腰直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）如图所示：即为所求；    （2）如图所示：或即为所求作．      类型六、轴对称图形的新定义 【解惑】如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质， （1）在图中取格点并连接对应的线段，即可得到三角形的全等，结合其性质即可知，连接即可； （2）根据网格可知，在上取格点长为5，即可得到等腰三角形，利用网格即可找到等腰三角形底边的中点，连接即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)在图（1）中，在射线上画点，使 (2)在图（2）中，在射线上画点，使； (3)在图（3）中，画的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作出的垂直平分线交于点C即为所求；根据垂直平分线的性质得到，进而得到； （2）连接交于点D即为所求；根据同角的余角相等即可证明； （3）取格点E，连接即为所求；过点E作，首先利用勾股定理求出，然后利用等面积法得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，点C即为所求；    ∵垂直平分 ∴ ∴； （2）如图所示，点D即为所求；    由网格的特点可得， ∴ ∵ ∴； （3）如图所示，即为所求； 过点E作    ∵，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴平分． 【点睛】此题考查了格点作图，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，点 P 在AC 上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，先画，再在上画点H，使，然后在上画点Q，使； (2)在图2中，先画的中线，再在上画点F，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查格点作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质． （1）根据平行四边形的性质，取格点D，连接，使得，再连接，然后连接，交于点，连接并延长交于点H，则得出，连接交于M，连接并延长交于点Q，连接，则，即为所求； （2）取格点，连接交于点E，则的中点E；再取格点，连接，交于点F，可得，连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，，点E即为所求； （2）解：点E，点F即为所求． 3．定义：在一个三角形中，若有一个内角的度数是另一个内角的一半，则称该三角形为“半角三角形”。如图，在四边形ABCD中，，∠C=72°，点E在CD上，将△BCE沿BE翻折，点C正好落在AD上点F处，若BF⊥AD，则△EDF是“半角三角形”吗？请说明理由． 【答案】是“半角三角形”，理由见解析 【分析】本题考查三角形的内角和和翻折的性质，根据题意分别求出三角形的各个内角的度数，结合“半角三角形”的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折到， ∴， ∵， ∴, 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“半角三角形”． 类型七、等边三角形的手拉手全等 【解惑】如图，在中，，D，E分别是上的动点，将沿折叠． (1)当点B与点C重合时，如图1．若，则的周长为 ． (2)定义：若在三角形中，其中一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为“倍边三角形”．当点B与点A重合时，如图2．若，则是倍边三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)16 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和判定及含30度角的直角三角形，正确理解题意是解题的关键． （1）将的周长转化为求与的和即可． （2）证明，求出即可． 【详解】（1）解：如图1中， 由折叠可得， ∴的周长． 故答案为：16． （2）解：如图2中， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是倍边三角形． 【融会贯通】 1．阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 2．把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，图①是其中的一种方法．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．    (1)请你在图②、图③中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； (2)在中，，和是的三分线，点D在边上，点E在边上，且，设，试画出示意图，并求出x所有可能的值． 【答案】(1)见解析 (2)x所有可能的值为20、40 【分析】（1）一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为和，再以分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法， （2）先确定D点，再分和两种情况求解即可． 【详解】（1）如图，    （2）当时，如图④，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 由， 得，此时．    当时，如图⑤，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 由△ABC的内角和为，得，此时． 综上所述，x所有可能的值为20或40． 3．综合与探究 在中，，过点A作． (1)如图1，求证：是等边三角形． (2)如图2，当点D在线段上（不与点A，B重合）时，连接，以为边在上方作等边，连接，求证：． (3)如图3，当点D在的延长线上时，连接，以为边在右边作等边，连接，作关于直线对称的图形，连接，已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得证； （2）证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ． ， 是等边三角形． （2）证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ． （3）解：由（2）同理可证：， ，． 与关于直线对称，是等边三角形， ，是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ． ， ∴设，则， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 所以的长为． 类型八、等腰三角形与直角三角形的动点问题 【解惑】如图，与为等边三角形，连接，，中点为M，中点为N，连接，，，求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，由等边三角形的性质可得出，，，再证明，由全等三角形的性质可得出，，由线段的中点得出，再证明，再由全等三角形的性质得出，，再根据角的和差关系可得出，即可得出为等边三角形． 【详解】证明∵与为等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵中点为M，中点为N， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 即， ∴为等边三角形． 【融会贯通】 1．如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接． (1)求证：． (2)当平分时，若，求的度数． (3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）先证，再由证即可； （2）证是等边三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由三角形内角和定理即可得出结论 （3）由等腰三角形的性质得到，再由全等三角形的性质得到，求出，然后由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明， ∴ 在和中 ； （2）由(1)可知，， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴在中，； （3），， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形判定以及性质是解题的关键． 2．如图，为等边三角形，点D，E分别是边，上的点．连接，交于点H． (1)如图1，点M是延长线上一点，连接，，若，，，求的值； (2)如图2，点F是的角平分线上一点，连接，，，满足．若，求证：． 【答案】(1)5 (2)证明过程见详解 【分析】（1）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，即可求解； （2）作于M，于N，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ，， ， ，，， 是等边三角形， ， ， . （2）证明：作于M，的延长线于N， 均为直角三角形， 平分， ， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 3．如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)，； (2)t的值为或； (3)不会变化， 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形内角和定理及外角的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由等边三角形的性质可得厘米，设点P的运动时间为，则厘米，厘米，再表示出的长度即可； （2）由题意可知，厘米，厘米，厘米，当是直角三角形时，分两种情况讨论：和，根据30度角所对的直角边等于斜边一半列方程，求出t的值即可； （3）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米， 设点P的运动时间为， 由题意可知，厘米，厘米， 厘米， 故答案为：，； （2）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米，， 设点P的运动时间为， 则厘米，厘米，厘米， 当是直角三角形时， 若，则， ， ， 解得：； 若，则， ， ， 解得：， 综上可知，当是直角三角形时，t的值为或； （3）解：不会变化，理由如下： 是等边三角形， ，， 点P、Q分别从顶点A、B以相同速度同时出发，沿线段、运动， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的外角， ， 即不会变化，度数为． 类型九、勾股定理中的爬行最短 【解惑】如图1，中，于D，且，若．    (1)求和的长； (2)如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）． ①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值； ②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②9或10或 【分析】（1）设，则，，利用三角形的面积构造关于x的方程，可求出、、，然后利用勾股定理求出即可； （2）①由是以点A为顶点的等腰三角形，得出，则可列出关于t的方程，解方程即可； ②利用等边对等角、余角的性质、等角对等边可得出，由可判断点M不在上，当点M在时，分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则，， ∵， ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知：①∵是以点A为顶点的等腰三角形， ∴， 即， ∴； ②∵， ∴， 又， ∴，， ∴， ∴ ∴， 当点M在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点M运动到点D，不构成三角形 当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则，    ∴； 如果，则点M运动到点A， ∴； 如果， 过点E作于F，如图3所示： ∵， ∴， 在中，； ∵，， ∴ 则在中，， ∴． 综上所述，符合要求的t值为9或10或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余角的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点D从点A以的速度向点C运动，同时点E从点C以的速度向点B运动，运动时间为． (1)当t= 时，为等边三角形；（直接写结果） (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1)1 (2)或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，熟练掌握度角的直角三角形的边角关系是解题的关键. （1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值； （2）分两种情况讨论: ①当为直角时, ②当为直角时，分别利用度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出的值. 【详解】（1）解：根据题意可得,， ∵， ∴, ∵, 为等边三角形, ∴,即, 解得：, ∴当为时, 为等边三角形； （2）①当为直角时, , ，即 解得； ②当为直角时, , ∴即 解得. ∴当为 或时,为直角三角形. 2．如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．    (1)把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． (2)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1) (2)为等腰三角形时，的值为5或或8 (3)为或10 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，连接，    在中，，，， 则， 沿着过点的直线折叠，点与点重合， 是的垂直平分线， ， 在中，，即， 解得：， ； （2）解：当时，； 当时，由（1）可知，， ； 当时，， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （3）解：当点在上时，如图2，   ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图3， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； ∴为或10时满足条件． 3．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），蚂蚁怎样走路线最短？最短路线长是多少？ 【答案】线路（1）最短，为5 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键． 分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案． 【详解】解：有三种展开方式， 如图（1），，所以． 如图（2），． 如图（3）， 因为， 所以，路线（1）最短，最短路线是5． 类型十、勾股定理的新定义 【解惑】如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 【融会贯通】 1．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．将容器侧面展开，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是． 2．【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 3．定义：如图，点M，N把线段分割成，，，若以，，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)已知M，N把线段分割成，，，若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)的长为5或3 【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论． （1）直接计算两条短边的平方和是否等于长边的平方即可； （2）分两种情况进行讨论：当为最大线段时，当为最大线段时，分别计算即可． 【详解】（1）不是，理由如下： ，，， ， 以，，为边的三角形不是一个直角三角形， 点M，N不是线段的勾股分割点； （2）设，则， ①当为最大线段时，根据题意得，，即， 解得， ②当为最大线段时，根据题意得，，即， 解得， 综上所述，的长为5或3． 【一览众山小】 1．如图所示，在中，，根据图中尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，由作图可知，平分，垂直平分，根据角平分线和中垂线的定义，结合三角形的内角和定理，以及30度所对的直角边是斜边的一半，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选D． 2．如图，在矩形中，依据尺规作图的痕迹，可求得的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 先根据矩形的性质得出，故可得出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再由是线段的垂直平分线得出的度数，根据直角三角形两锐角互余得出的度数，进而根据对顶角相等可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵由作法可知，是的平分线，垂直平分线段， ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 3．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，连接，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，，接着利用三角形内角和定理得到，然后利用可计算出的度数．本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，角的和差关系，等腰三角形的性质掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 故选：． 4．定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键． （1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， （2）解：如图：以在上找一点使得，再作，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 5．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 如图1，在筝形中，． (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内找一点，连接，使折线将筝形的面积二等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，在中，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请将图形补充完整，并求的长．（画出草图即可） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，1或 【分析】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质、勾股定理，理解题中筝形定义，运用分类讨论求解是解答的关键． （1）作出的中点，连接根据三角形的中线性质，折线将筝形面积两等分； （2）分情况画出图形，利用筝形性质和全等三角形的判定与性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点为所求．    （2）解：由勾股定理，得 分两种情况： 补充图2如图所示 如图2， 四边形为筝形， ． ， ． ． ； 如图3， 四边形为筝形， ， ． ． ． 在中，设， 则． 由得． 解得，即． 综上，当四边形为筝形时，的长为1或． 6．【定义】三角形的三边长分别记作，，，如果，那么就称该三角形为“准勾股三角形”． 【应用】 (1)求证：等边三角形不是“准勾股三角形”； (2)若“准勾股三角形”是直角三角形，且，求的值； (3)如图，在中，是边的垂直平分线，延长至点，使得，连接．求证：为“准勾股三角形”． 【答案】(1)见解析 (2)1或2 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义、等边三角形、勾股定理，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“准勾股三角形”的定义，以及等边三角形的性质：三边相等，代入化简，即可作答． （2）先由“准勾股三角形”的定义，得出，再结合勾股定理得出或或，分别与列出方程组，进行逐个计算，即可作答． （3）先由垂直平分线得，结合线段之间的关系得出，，，然后在中，或中，运用勾股定理列式，再化简得，对比“准勾股三角形”的定义，即可作答． 【详解】（1）证明：三角形是等边三角形， ． ， 等边三角形不是“准勾股三角形”． （2）解：是“准勾股三角形”， ． ， ． 是直角三角形， 或或， 即或或． 由解得； 由得（不合题意，舍去）； 由得，解得． 的值为1或2． （3）证明：是边的垂直平分线， ． 设，，， 则，，， ． 在中，， 在中，， ， ， 为“准勾股三角形”． 7．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，根据折叠的性质可得，，，利用勾股定理列式求出，从而求出，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】∵将直角边沿直线折叠， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 8．如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． (1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形 【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形； （2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可， 本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； 由题意得，当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形； （2）解；∵运动时间为， ∴， ∴， 如图1所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2所示，当时， 同理可得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形． 9．（1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 【答案】（1）（2）8（3）6 【分析】（1）易证得，即可得到，从而求得． （2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：在和，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1，过作的延长线于E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8； （3）解：如图2，过作于，过作的延长线于， 面积为且的长为6， ∴， 解得，， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ， ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 10．图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$