专题02 简单事件的概率（基础类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题02简单事件的概率思维导图 【类型覆盖】 类型一、事件的分类 【解惑】下列说法中正确的是（  ） A．“三角形的内角和是”是随机事件 B．“任意两个等边三角形是相似三角形”是必然事件 C．为了解秀江的水质情况，采用全面调查 D．调查本班同学的平均身高，用抽样调查 【融会贯通】 1．下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．明天太阳从东方升起 B．抛掷硬币时，正面朝上 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．掷一次骰子，向上的一面是6点 2．某人同时抛掷4枚硬币，事件“四枚硬币都是正面向上”是 ．（在必然事件、不可能事件、随机事件中选填） 3．下列事件中，必然事件有 ，随机事件有 ，不可能事件有 填序号 随意翻下日历，看到的是星期六；十五的月亮像弯弯的小船；太阳从东方升起；小亮买福利彩票中了一等奖；当时，抛物线与x轴没有交点． 类型二、判断事件发生的可能性大小 【解惑】不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同）．小明每次任意摸出一个球，然后放回，搅匀后再摸．前次都摸到了红球，下列关于第次摸球结果的说法正确的是（    ） A．一定摸到红球 B．摸到红球的可能性大 C．不可能摸到红球 D．摸到三种颜色球的可能性一样大 【融会贯通】 1．在下面（    ）盒子中，摸到红球的可能性最大． A． B． C． D． 2．一个袋中装有3个红球，5个黄球，4个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大． 3．一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的可能性大，则红球至多有 个． 类型三、列举所有可能结果 【解惑】小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（　　　） A．7种 B．6种 C．5种 D．4种 【融会贯通】 1．把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（　　　）种． A．10 B．15 C．20 D．25 2．已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 3．某一公园有4个入口和3个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有 种不同出入路线的可能． 类型四、概率的理解 【解惑】下列事件发生的概率为0的是（    ） A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上． B．今年冬天黑龙江会下雪． C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18． D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域． 【融会贯通】 1．彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（ ） A．买1张这种彩票，不可能中奖 B．买200张这种彩票，可能有2张中奖 C．买100张这种彩票，一定有1张中奖 D．若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖 2．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 3．掷一枚均匀的硬币10次，前九次正面朝上为5次，反面朝上为4次，那么第十次反面朝上的概率是 ． 类型五、判断事件概率大小 【解惑】有三个事件，事件A：若a，b是实数，则；事件B：打开电视正在播广告；事件C：同时掷两枚质地均匀地标有数字1－6的骰子，向上一面的点数之和是为13，则这三个事件的概率，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（   ） A．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次 B．连续抛掷10次不可能都正面朝上 C．抛掷硬币确定谁先发球的规则是公平的 D．连续抛掷2次必有1次正面朝上 2．不透明的布袋里有3个黄球、2个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 ． 3．从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是 ． 类型六、频率与概率关系描述 【解惑】下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【融会贯通】 1．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（    ）． 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 0.923 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断： ①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 2．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是 （填序号） 3．下列说法正确的是 （填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 类型七、求某事件的频率 【解惑】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 2．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 3．每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 类型八、由频率估计概率 【解惑】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【融会贯通】 1．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（    ） A． B． C． D． 2．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333 ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 3．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到）                       这种油菜籽发芽的概率的估计值为 （精确到）． 【一览众山小】 1．小明每天上学要经过某十字路口，该路口红绿灯的设置时间为：红灯，绿灯，黄灯，那么他每次路过此路口，遇到红灯的概率是（    ） A． B． C． D． 2．射击运动员随机射击一次，命中靶心，这个事件是（  ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 3．从 28张 上 面 分 别 写着 王安石诗歌《游钟山》“终日看山不厌山，买山终待老山间． 山花落尽山长在，山水空流山自闲． ”这 28 个 字 的 卡 片 (大 小 、 形状完全相 同)中 随机抽 取 一 张，则 这 张 卡 片 上 面 恰好 写着“ 山 ”字 的概率 是（    ） A． B． C． D． 4．九年级班共有学生人，其中男生有人，女生有人．若在此班上任意找一名学生，则找到男生的可能性比找到女生的可能性 ．选填“大”或“小” 5．下列事件：①通常加热到时，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机APP购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于，其中是随机事件的是 ．（只填写序号即可） 6．如表是小甬做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖着地”的概率为 ． 抛掷次数 100 300 500 600 800 900 1000 针尖着的频数 36 120 190 240 312 351 390 针尖着的频率 0.36 0.40 0.38 0.4 0.39 0.39 0.39 7．六一儿童节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成12个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)小明获得奖品的概率是多少？ 8．一个不透明的盒子里装有黑白两种颜色的球若干个（除颜色外都相同），搅匀后从盒子里随机摸出一个球，记录颜色后放回盒子中，不断重复上述过程，试验数据如下表： 摸球的次数 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000 摸到白球的次数 4 7 10 28 45 97 127 252 498 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249 (1)摸到白球的概率是____________．（精确到0.01） (2)下列试验符合（1）中结果的试验是____________（填序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． ③掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上点数“小于3”． ④从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02简单事件的概率思维导图 【类型覆盖】 类型一、事件的分类 【解惑】下列说法中正确的是（  ） A．“三角形的内角和是”是随机事件 B．“任意两个等边三角形是相似三角形”是必然事件 C．为了解秀江的水质情况，采用全面调查 D．调查本班同学的平均身高，用抽样调查 【答案】B 【分析】本题主要考查了必然事件和随机事件、全面调查和抽样调查，熟练掌握相知识是解题关键．根据必然事件和随机事件、全面调查和抽样调查的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. “三角形的内角和是”是必然事件，故原说法不正确，不符合题意； B. “任意两个等边三角形是相似三角形”是必然事件，说法正确，符合题意； C. 为了解秀江的水质情况，采用抽样调查，故原说法不正确，不符合题意； D. 调查本班同学的平均身高，采用全面调查，故原说法不正确，不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．明天太阳从东方升起 B．抛掷硬币时，正面朝上 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．掷一次骰子，向上的一面是6点 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件、不可能事件、必然事件的概念即可作答． 【详解】解：A、太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件，符合题意； B、抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件，不符合题意； C、经过路口，有可能出现红灯，也有可能出现绿灯、黄灯，故遇到红灯是随机事件，不符合题意； D、掷一次骰子，向上的一面是可能是1，2，3，4，5，6点，故向上的一面是6点是随机事件，不符合题意； 故选：A． 2．某人同时抛掷4枚硬币，事件“四枚硬币都是正面向上”是 ．（在必然事件、不可能事件、随机事件中选填） 【答案】随机事件 【分析】本题考查了随机事件，有可能发生也有可能不发生的事是随机事件，据此即可解答． 【详解】解：同时抛掷4枚硬币，事件“四枚硬币都是正面向上”有可能发生也有可能不发生， ∴事件“四枚硬币都是正面向上”是随机事件， 故答案为：随机事件 ． 3．下列事件中，必然事件有 ，随机事件有 ，不可能事件有 填序号 随意翻下日历，看到的是星期六；十五的月亮像弯弯的小船；太阳从东方升起；小亮买福利彩票中了一等奖；当时，抛物线与x轴没有交点． 【答案】 【分析】根据必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生的事件也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件解答即可．本题考查了必然事件的定义，随机事件的定义，不可能事件的定义，理解必然事件、随机事件、不可能事件的定义是解题的关键． 【详解】解：①∵“随意翻下日历，看到的是星期六”翻日历看到的日期是不确定的，有可能是星期六，有可能是其他日期， ∴“随意翻下日历，看到的是星期六”属于随机事件； ②∵“十五的月亮像弯弯的小船”十五的月亮通常是圆的，不可能像弯弯的小船， ∴“十五的月亮像弯弯的小船”是不可能事件； ③∵“太阳从东方升起”这是属于自然规律，一定会发生， ∴“太阳从东方升起”是必然事件； ④∵“小亮买福利彩票中了一等奖”买福利彩票中奖具有随机性，有可能中奖爱那个，有可能不中奖， ∴“小亮买福利彩票中了一等奖”属于随机事件； ⑤∵“当时，抛物线与x轴没有交点”这个是由抛物线的性质决定的， ∴“当时，抛物线与x轴没有交点”属于必然事件． 故答案为：；；. 类型二、判断事件发生的可能性大小 【解惑】不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同）．小明每次任意摸出一个球，然后放回，搅匀后再摸．前次都摸到了红球，下列关于第次摸球结果的说法正确的是（    ） A．一定摸到红球 B．摸到红球的可能性大 C．不可能摸到红球 D．摸到三种颜色球的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题考查了概率，解题的关键是掌握概率的概念，即事件发生的可能性与所有可能性的比值，根据不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同），则摸到三种球的概率相同，即可求解． 【详解】解：不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同）， 摸到三种颜色球的可能性一样大， 故选：D． 【融会贯通】 1．在下面（    ）盒子中，摸到红球的可能性最大． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查可能性大小的判断，不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关． 【详解】解：A选项，摸到红球的可能性； B选项，摸到红球的可能性； C选项，摸到红球的可能性； D选项，摸到红球的可能性0； 根据上面的分析，在上面A盒子中，摸到红球的可能性最大． 故选：A． 2．一个袋中装有3个红球，5个黄球，4个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大． 【答案】黄 【分析】本题考查等可能事件发生的可能性大小，根据不同颜色的球的个数进行判断即可． 【详解】解：∵每个球除颜色外都相同， ∴任意摸出一球的可能性相同， ∵， ∴摸到黄球的可能性最大； 故答案为：黄． 3．一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的可能性大，则红球至多有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．根据哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可． 【详解】解：一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到白球的可能性大， ∴白球的数量多于红球的数量， ∴红球至多有4个， 故答案为：4． 类型三、列举所有可能结果 【解惑】小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（　　　） A．7种 B．6种 C．5种 D．4种 【答案】B 【分析】利用画树状图分析所有可能情况，有3种不同款式的帽子为A、B、C，第一层，三个分支，有2种不同款式的围巾为D、E，是第二层，在每个分支上再画两个小分支即可知道所有的情形． 【详解】设3种不同款式的帽子为A、B、C，2种不同款式的围巾为D、E， 画树状图为： ， ∴可能出现的组合有6种， 故选择：B． 【点睛】本题考查树状图表示组合问题，掌握树状图的画法与分支以及层次是解题关键． 【融会贯通】 1．把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（　　　）种． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】首先保证放入和编号相同的球数，只需分析剩下的球的不同方法即可． 【详解】解：先放1，2，3的话，那么还剩下4个球，4个球放到3个不同的盒子里，情况有： 0，0，4，分别在1，2，3号盒子中的任意一个中放4个，共3种情况； 0，1，3，分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放3个和1个，共6种情况； 0，2，2，分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放2个，共3种情况； 1，1，2分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放2个和1个，共3种情况； ∴3+6+3+3=15种． 故选：B． 【点睛】本题考查了学生的分析能力．此题与生活实际联系比较密切，解题的关键是要注意仔细分析题目，做到不重不漏． 2．已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 3．某一公园有4个入口和3个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有 种不同出入路线的可能． 【答案】12 【分析】利用树状图表示方法列举出所有的可能即可． 【详解】解：用A、B、C、D表示入口，A1、B1、C1表示出口，如图所示： 小明从进入公园到走出公园，一共有3×4=12种不同出入路线的可能． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了树状图法应用，列举出所有可能是解题关键． 类型四、概率的理解 【解惑】下列事件发生的概率为0的是（    ） A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上． B．今年冬天黑龙江会下雪． C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18． D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的意义，事件的分类，根据只有不可能发生的事件的概率为0进行求解即可． 【详解】解：A、随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上是可能发生的，即该事件事件发生的概率不为0，不符合题意； B、今年冬天黑龙江可能会下雪，即该事件事件发生的概率不为0，不符合题意； C、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和不可能为18，即该事件事件发生的概率为0，符合题意； D、一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针可能停在红色区域，即该事件事件发生的概率不为0，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（ ） A．买1张这种彩票，不可能中奖 B．买200张这种彩票，可能有2张中奖 C．买100张这种彩票，一定有1张中奖 D．若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，解题的关键是正确理解概率的意义． 【详解】解：．买1张这种彩票，可能中奖，故原选项不符合题意； ．买200张这种彩票，可能有2张中奖 ，故原选项符合题意； ．买100张这种彩票，不一定有1张中奖，故原选项不符合题意； ．若100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，故原选项不符合题意； 故选：B． 2．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，事件发生的概率，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意得出恒成立，即可解答． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∵向上一面的点数a、b都是正数， ∴恒成立， ∴有解的概率是1． 故答案为：1． 3．掷一枚均匀的硬币10次，前九次正面朝上为5次，反面朝上为4次，那么第十次反面朝上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率的意义，抛硬币是一个独立的事件，不管前面抛硬币的结果如何 ，下一次抛硬币正反两面朝上的概率是相同，据此可得答案． 【详解】解：掷一枚均匀的硬币10次，前九次正面朝上为5次，反面朝上为4次，但第十次反面朝上和正面朝上的可能相同， ∴第十次反面朝上的概率是， 故答案为：． 类型五、判断事件概率大小 【解惑】有三个事件，事件A：若a，b是实数，则；事件B：打开电视正在播广告；事件C：同时掷两枚质地均匀地标有数字1－6的骰子，向上一面的点数之和是为13，则这三个事件的概率，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的概率即可得． 【详解】解：事件是必然事件，则， 事件是随机事件，则， 事件是不可能事件，则， 因此有， 故选：D． 【点睛】本题考查了必然事件、随机事件和不可能事件的概率，熟记各定义是解题关键． 【融会贯通】 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（   ） A．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次 B．连续抛掷10次不可能都正面朝上 C．抛掷硬币确定谁先发球的规则是公平的 D．连续抛掷2次必有1次正面朝上 【答案】C 【分析】根据概率的意义逐一判断即可得． 【详解】A. 大量反复抛掷每100次出现正面朝上接近50次，此选项错误； B. 连续抛掷10次可能都正面朝上，但可能性较小，此选项错误； C. 通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的，此选项正确； D. 连续抛掷2次可能有1次正面朝上，此选项错误. 故选C 【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 2．不透明的布袋里有3个黄球、2个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 ． 【答案】/0.2 【分析】根据题意可得小球的总数和红球的个数，由概率公式计算可得答案； 【详解】解：∵10个球除颜色外都相同， ∴每个球被拿到的概率相等， 红球被摸到的概率是， 故答案为： 【点睛】本题考查古典概率模型的计算，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是 ． 【答案】③抽到梅花． 【分析】根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】∵一副扑克牌有54张，王牌有2张，抽到王牌的可能性是； Q牌有4张，抽到Q牌的可能性是； 梅花有13张，抽到梅花牌的可能性是； ∴概率最大的是抽到梅花； 故答案为③抽到梅花． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 类型六、频率与概率关系描述 【解惑】下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题关键．理解用频率估计概率，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故该选项说法错误，不符合题意； B．根据在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5，故该选项说法正确，符合题意； C．试验50000次正面朝上的频率不一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5，故该选项说法错误，不符合题意； D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数不一定等于2500，故该选项说法错误，不符合题意． 故选B． 【融会贯通】 1．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（    ）． 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 0.923 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断： ①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可． 【详解】解：①当移植的树数是3500时，表格记录成活数率是0.915，且树苗成活的频率总在0.900附近摆动，这种树苗成活的概率不一定高于0.890，故错误； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确； ④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是 （填序号） 【答案】① 【分析】根据表中信息，当随着小麦种子粒数的增加，小麦的发芽率越来越稳定，可以用频率估计概率． 【详解】解：①随着试验次数的增加，从第500粒开始，此种小麦种子发芽的频率分别是0.952、0.951、0.95、0.95总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95，故正确； ②当试验种子数为500粒时，发芽频数是476，此时小麦种子发芽的频率是0.952，不能说明小麦种子发芽的概率就是0.952，此推断错误； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率不一定是0.951，此推断错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 3．下列说法正确的是 （填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【答案】③ 【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可； 【详解】①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，不是准确值； ③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51，此说法正确； ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是必然事件，此说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了概率的意义以及概率与频率的区别，正确区分他们是解题的关键． 类型七、求某事件的频率 【解惑】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【融会贯通】 1．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 2．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 3．每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，随着抽取球数目的增加，频率值都在常数的附近摆动，由此能求出任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率．其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950 随着抽取球数目的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数的附近摆动， ∴任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为． 答案为：． 类型八、由频率估计概率 【解惑】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】B 【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：；故此选项符合题意． C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 2．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333 ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了概率的知识，熟练应用根据频率估计概率是解题的关键．根据图中信息得出，实验结果在附近波动，即其概率，判断各项中的概率即可． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上得概率为，不符合题意； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为，符合题意； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为，符合题意； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； 故答案为：②③． 3．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到）                       这种油菜籽发芽的概率的估计值为 （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值进行求解即可． 【详解】解：由表格可知，随着试验次数的增加，这种油菜籽发芽的频率稳定在附近， ∴这种油菜籽发芽的概率的估计值为， 故答案为：． 【一览众山小】 1．小明每天上学要经过某十字路口，该路口红绿灯的设置时间为：红灯，绿灯，黄灯，那么他每次路过此路口，遇到红灯的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率为． 【详解】解：遇到红灯的概率为：， 故选B． 2．射击运动员随机射击一次，命中靶心，这个事件是（  ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件，又称随机事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案． 【详解】解：射击运动员随机射击一次，可能命中靶心，也可能不命中靶心，故该事件是随机事件， 故选：C． 3．从 28张 上 面 分 别 写着 王安石诗歌《游钟山》“终日看山不厌山，买山终待老山间． 山花落尽山长在，山水空流山自闲． ”这 28 个 字 的 卡 片 (大 小 、 形状完全相 同)中 随机抽 取 一 张，则 这 张 卡 片 上 面 恰好 写着“ 山 ”字 的概率 是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率公式，利用概率公式直接求解即可．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵这28张卡片中写着“山”字的有8张， ∴这28个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，这张卡片上面恰好写着“山”字的概率是． 故选：D． 4．九年级班共有学生人，其中男生有人，女生有人．若在此班上任意找一名学生，则找到男生的可能性比找到女生的可能性 ．选填“大”或“小” 【答案】大 【分析】根据题意计算出九年级班男生人数所占比例，女生人数所占比例，比较男生与女生概率的大小解答即可．本题考查了概率的定义及概率的计算方法，理解概率的定义是解题的关键． 【详解】解：∵九年级班共有学生人，其中男生有人，女生有人， ∴在此班上任意找一名学生，找到男生的概率是，找到女生的概率是， ∵， ∴找到男生的可能性比女生的可能性大， 故答案为大． 5．下列事件：①通常加热到时，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机APP购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于，其中是随机事件的是 ．（只填写序号即可） 【答案】② 【分析】本题考查了事件的分类； 根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义进行判断即可． 【详解】解：①“通常加热到时，水沸腾”是必然事件； ②“人们外出旅游时，使用手机APP购买景点门票”是随机事件； ③“在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于”是不可能事件． 故答案为：②． 6．如表是小甬做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖着地”的概率为 ． 抛掷次数 100 300 500 600 800 900 1000 针尖着的频数 36 120 190 240 312 351 390 针尖着的频率 0.36 0.40 0.38 0.4 0.39 0.39 0.39 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到附近， 所以可估计“钉尖着地”的概率为， 故答案为：． 7．六一儿童节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成12个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)小明获得奖品的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解几何概率问题，弄清楚几何概率的线段长、面积及体积情况，熟记简单概率公式是解决问题的关键． （1）根据概率公式进行计算； （2）根据概率公式进行计算． 【详解】（1）解：∵中性笔对应转盘上黄色区域，转盘停止后，指针正好对准黄色区域，小明就可以获得童话书，而转盘被平均分成12份，而黄色区域有2份， ∴小明获得中性笔的概率是：； （2）解：∵转盘被平均分成12份，获奖对应的区域有红色区域1份，黄色区域2份，绿色区域2份， ∴小明获得奖品的概率是：． 8．一个不透明的盒子里装有黑白两种颜色的球若干个（除颜色外都相同），搅匀后从盒子里随机摸出一个球，记录颜色后放回盒子中，不断重复上述过程，试验数据如下表： 摸球的次数 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000 摸到白球的次数 4 7 10 28 45 97 127 252 498 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249 (1)摸到白球的概率是____________．（精确到0.01） (2)下列试验符合（1）中结果的试验是____________（填序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． ③掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上点数“小于3”． ④从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． 【答案】(1)0.25， (2)②④ 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是解决问题的关键． （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.25，由此得出答案； （2）根据概率公式求出各自的概率，然后与（1）比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：大量重复实验下，摸到白球的频率稳定在0.25附近，0.25即概率的估计值； 故摸到白球的概率的估计值是0.25； 故答案为：0.25． （2）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率是； ②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率是； ③掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”的概率是； ④从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”概率是． 综上所述，符合（1）中结果的试验最有可能的是②④， 6 学科网（北京）股份有限公司 $$