第1章 二次函数 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第1章 二次函数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章（二次函数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．把二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（　　） A． B． C． D． 4．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 5．如图所示，二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　 A． B． C． D． 7．若二次函数图象的顶点坐标为，则在图中，反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．直线和抛物线都经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 9．已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） x A． B． C． D． 10．如图是二次函数图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④；⑤；⑥若两点在二次函数图象上，则，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．抛物线 是二次函数，则m= ． 12．函数的图象如图所示，那么 0．（填“”，“”，或“”） 13．二次函数图象上部分点的坐标满足如表： x … 0 … y … m … 那么m的值为 ． 14．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 15．在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 16．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．已知函数． (1)当为何值时，是关于的二次函数？ (2)当为何值时，是关于的一次函数？ 18．已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． (1)试确定的值； (2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 19．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根水管，它喷出的水柱向各个方向沿形状相同的抛物线向外喷水，水流喷出的的高度y（单位米）与水面距离x(单位米）之间的函数解析式为，求喷水池的半径至少是多少？ 20．如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 21．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线M：经过点，点不与点重合． (1)求点，的坐标； (2)求，的值； (3)平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 22．某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表： 销售价格x（元/千克） 2 4 10 市场需求量q/（百千克） 12 10 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克 (1)求q与x的函数关系式； (2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围； (3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克． ①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润售价成本） 23．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章（二次函数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，直接利用二次函数解析式的一般形式进行分析得出答案． 【详解】解：A、，是一次函数，故此选项不符合题意； B、，是二次函数，故此选项符合题意； C、，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 3．把二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律即可得到打答案. 【详解】把二次函数的图象向右平移1个单位得到，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是， 故选：A 4．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐选项判断即可． 【详解】解： ， 时，y的值随x值得增大而增大；A不正确； 当时，y有最大值，最大值为0，B正确； 当时，y的值随x值得增大而增大； 当时，y的值随x值的增大而减小，C不正确；D不正确； 故选：B． 5．如图所示，二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 6．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可． 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，    ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 7．若二次函数图象的顶点坐标为，则在图中，反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与反比例函数图象的综合应用，先求解，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵当时，， ∴过， ∴对应的图象是， 故选D 8．直线和抛物线都经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数交点解不等式，掌握一次函数、二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意作图，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图， ∵直线和抛物线都经过点， ∴根据图象可知，不等式的解集为或； 故选：D． 9．已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） x A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，是解本题的方法． 本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解．利用夹逼思想求一元二次方程的近似解．根据表格当时，；当时，，即的一个根在2和3之间． 【详解】解：由可得：， 根据表内数据，可以发现： 的值随着x的增大而增大， 且：当时，；当时，； ∴一元二次方程的其中一个解x的范围是， 故选：D． 10．如图是二次函数图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④；⑤；⑥若两点在二次函数图象上，则，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据函数的性质，根据对称轴，增减性，抛物线与x轴的交点，数形结合思想计算判断即可． 本题考查了抛物线图象综合，熟练掌握对称轴，增减性，抛物线与x轴的交点，数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y交正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴；， 故①正确，②错误； 根据数形结合，看出，当时，， ∴，故③正确； 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， 故， ∴，故④错误； ∵两点均在二次函数图象上， 且， ∵抛物线开口向下， ∴点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∴，故⑥错误； ∵根据数形结合，看出，当时，， 故， ∵对称轴为直线， ∴时，，， ∴， ∴， 解得，故⑤错误； 故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．抛物线 是二次函数，则m= ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的定义，形如“(a、b、c是常数，且)”的函数就是二次函数，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值． 【详解】解：∵抛物线 是二次函数， ∴ ， ∴ ， 故答案为：3． 12．函数的图象如图所示，那么 0．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据开口方向和与y轴交点的位置可得a、c的符号，进而可得答案． 【详解】解：∵函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故答案为：； 13．二次函数图象上部分点的坐标满足如表： x … 0 … y … m … 那么m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性解答即可． 【详解】解：∵、时的函数值都是，相等， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵和关于直线对称， ∴， 故答案为：． 14．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 15．在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与到x轴的距离相等，可知C为顶点，，对称轴为直线，得到在x轴的上方， ，C到的距离为4，根据的面积为4，得到，设，，得到，即得． 【详解】∵抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点， ∴轴，作图如下， ∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等， ∴C为顶点，，对称轴为直线， ∴C在x轴下方，到x轴的距离为2， ∴在x轴的上方，到x轴的距离为2， ∴， ∴C到的距离为：， ∵， ∴， 设点A在点B的左边，则，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与坐标、二次函数的性质等知识点，根据平面直角坐标系找到各点坐标是解题关键． 先根据矩形的性质可得，，，再根据一次函数的性质可设点的坐标为，从而可得，然后利用两点之间的距离公式可得，最后利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：在矩形中，，点是的中点， ，，， ，，， 直线的函数解析式为， 设点的坐标为， 点是上一动点， ， 点是的中点， ， 由两点之间的距离公式可得： ， 由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为：， 因此，的最小值为， 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．已知函数． (1)当为何值时，是关于的二次函数？ (2)当为何值时，是关于的一次函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误． （1）根据二次函数的定义得出，即可得出； （2）根据一次函数的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 18．已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． (1)试确定的值； (2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据平移的性质，平移改变了函数图像的顶点，二次项系数不变，由此即可求解； （2）由（1）可求出二次函数的图像，根据系数的特点即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为， ∴原二次函数的解析式为， ∴，，． （2）解：由（1）可知，二次函数，即， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的变换，掌握平移的性质，二次函数顶点式的含义是解题的关键． 19．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根水管，它喷出的水柱向各个方向沿形状相同的抛物线向外喷水，水流喷出的的高度y（单位米）与水面距离x(单位米）之间的函数解析式为，求喷水池的半径至少是多少？ 【答案】喷水池的半径至少是3米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求得二次函数图象与x轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：令，由解得（舍去），， ∴喷水池的半径至少是3米． 20．如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）根据图象求出对称轴即可求解； （2）求出当时，的最大值和最小值即可求解； （3）求出时的的值，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得： 函数的对称轴为：直线 ∵抛物线开口向上， ∴当时，随x的增大而减小； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：； （3）解：由图象可知，当时，； 再由对称性可知，当时，； ∴当时，或． 故答案为：或． 21．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线M：经过点，点不与点重合． (1)求点，的坐标； (2)求，的值； (3)平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，涉及平移的性质，二次函数的图象性质等，解题的关键是根据的平移性质求出和的值． （1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得，； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，列式求得，，然后得到抛物线解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）在中，令得：， ， 令得：， ； （2）解：设，设抛物线的解析式为：， 抛物线经过点， 将代入得：， ， ，即  ， 将  代入， 整理得：， ，； （3） 解：如图： 轴，点在轴上， 设，，则点纵坐标为， 点，分别平移至点，， 点，点向下平移的距离相同， ， 解得：， 由（2）知  ， ， 抛物线的函数解析式为：， 将代入可得：， 抛物线的函数解析式为：或． 22．某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表： 销售价格x（元/千克） 2 4 10 市场需求量q/（百千克） 12 10 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克 (1)求q与x的函数关系式； (2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围； (3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克． ①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润售价成本） 【答案】(1) (2) (3)① ；② 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解析式是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）由题意可得，进而得出x的取值范围； （3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；②利用二次函数的增减性得出答案即可． 【详解】（1）解：设（k，b为常数且），当时，，当时，，代入解析式得：， 解得： ， ∴q与x的函数关系式为：． （2）解：当产量小于或等于市场需求量时，有， ， 解得：， 又， ∴； （3）解：①当产量大于市场需求量时，可得，由题意得：厂家获得的利润是： ； ②∵当时，y随x的增加而增加． 又∵产量大于市场需求量时，有， ∴当 时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加． 23．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将、、代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，则，，设，则，，由，可求，即，待定系数法求直线的解析式为；联立，计算求解即可；如图1，由轴，可知，关于对称轴对称，由，可得与重合，由，可知对称轴为直线，则，可求，进而可求； （3）如图2，由题意知，、两直线的距离为2，设，，则，，，，，，可求，根据，求解即可，由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、、代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，    ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， 或， ∴； 如图1， ∵轴， ∴，关于对称轴对称， 又∵， ∴与重合， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图2，    由题意知，、两直线的距离为2， 设，，则，， ∴，，，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$