专题02 简单事件的概率（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题02简单事件的概率思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据概率公式计算概率 【解惑】如图，A是某公园的进口和出口，B、C、D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从A，B，C，D四个出口中恰好在C出口出来的概率为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．骰子各面上的点数分别是1，2，…，6，抛掷一枚骰子，点数是2倍数的概率是（　　） A． B． C． D．1 2．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是 ． 3．有5个除颜色以外大小触感完全相同的小球装在一个不透明的口袋中，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 . 类型二、已知概率求数量 【解惑】一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 【融会贯通】 1．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则（　　） A．9 B． C． D． 2．有5张扑克牌，牌面朝下，随机抽出一张记下花色后放回，洗牌后再这样抽，经历多次试验后，得到随机抽出一张牌是红桃的频率是0.2，则红桃大约有　 张． 3．一个不透明布袋里有5个红球和若干个白球，两种球除颜色以外没有任何差别，小明从中随机的摸出一个球，放回去后摇晃后又摸一个球，如此摸下去，发现摸到红球的频率稳定在0.333左右，则布袋中的白球约有 个； 类型三、几何概率 【解惑】如图，连接正六边形的对角线，，交对角线于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 2．如图，随机地投放一粒米，米粒落在阴影部分（边界忽略不计）的概率是 ． 3．如图所示，正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 类型四、列举法求概率 【解惑】现把分别写有“我”“爱”“武”“汉”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的盒子并密封起来，随机打乱盒子的顺序，然后在四个盒子的外边也分别写上“我”“爱”“武”“汉”四个字，打开盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况按字的相同个数分等级发放奖品，那么中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．编号为1，2，3，4的四位同学随机地坐到编号为1，2，3，4的四个位置上，其中没有一对编号相同的概率为（ ） A． B． C． D． 2．从，，这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点的坐标记为，若点为，则在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为 ． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中有A，B两个格点，在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使为等腰三角形的概率是 ． 类型五、列表法或树状图法求概率 【解惑】第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，王老师一共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【融会贯通】 1．2024年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市（哈尔滨，南昌，三亚），为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市名字写在颜色、大小和厚度都一样的卡片上，洗匀然后反扑在桌面上，小明先从中抽一张卡片后放回，然后小红又从中抽取一张卡片； (1)小明抽到写有“南昌”的卡片是（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 (2)请用列表或树状图的方法，求出小明和小红都抽中“哈尔滨”城市卡片的概率． 2．春节是我国的传统佳节，深圳是一个很年轻包容的城市，市民来自全国各地．春节期间，小深调查了本年级学生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示广东省内深圳市外．并将调查情况绘制成如下两幅统计图． 请根据以上信息回答： (1)本次参加抽样调查的学生有 人； (2)将两幅不完整的图补充完整； (3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数 ； (4)若有来自A、B、C、D的四位同学，从中抽取两位同学在开学典礼中分享春节见闻，请用树状图或列表法求恰好抽到的同学都来自广东省的概率． 3．西安是中华文明的重要发祥地，其饮食文化也十分丰富多彩．某校要举行“我为家乡美食代言”的宣讲活动，主要介绍西安的特色美食，已知学校给定了4个极具特色的主题：A．羊肉泡馍；B．面；C．肉夹馍；D．凉皮．参加的选手从这四个主题中随机抽取一个进行宣讲，小乐和小阳都参加了这项活动． (1)小乐抽中“C．肉夹馍”主题的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求小乐和小阳抽中不同主题的概率． 类型六、用频率估计概率的综合应用 【解惑】某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 【融会贯通】 1．对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数 10 50 100 150 200 命中次数 4 25 65 90 120 命中率 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？ (3)估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分． 2．某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 3．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 类型七、游戏的公平性 【解惑】在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色的游戏．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除颜色以外其它均相同的4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球的颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则甲获胜；否则乙获胜． (1)用树状图或列表法求出甲获胜的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【融会贯通】 1．在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢． (1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ． (2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平． 2．渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．      (1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 度． (2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人． (3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：现有 4 张卡片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？ 3．有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子中装有2个白球和1个红球，乙袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别． (1)从甲袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是 ； (2)小明和小亮两人将甲、乙两个袋子中的球混合在一起，摸出白球小明获胜，摸出红球小亮获胜，这个游戏公平吗，说明理由． 类型八、概率在转盘抽奖中的应用 【解惑】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【融会贯通】 1．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 2．如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，奖金依次为100、50、20元． （1）分别计算获一、二、三等奖的概率． （2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？    3．某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【一览众山小】 1．某校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了名学生，结果如下表所示，则参加绘画兴趣小组的频率是（　　） 兴趣小组 书法 绘画 舞蹈 其他 参加人数 A． B． C． D． 2．十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的；下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”和“兔”的概率是（    ）          A． B． C． D． 3．如图，将 A、B、C、D四种农作物种在甲、乙、丙、丁四块田地里(中间有一口井)，每块田地只能种一种农作物，则A、B两种农作物位置相邻的概率是（      ） A． B． C． D． 4．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 5．已知是中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ． 6．游泳是中考体育必考项目之一，男子100米满分是144秒，女子100米满分是151秒，在一次中学生100米游泳测试中，选取了100人进行测试，其中男女学生各50人，男女分组进行测试，每组10人．随机抽取了男女各一组学生的成绩进行分析，数据如下：每个学生的成绩统计表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生成绩（秒） 146 141 139 143 a 140 142 142 139 143 女生成绩（秒） 150 154 155 149 150 149 148 153 154 151 根据以上信息解答下列问题： (1)填空，a为该组男生成绩的中位数，则__________； (2)应用你所学的统计，计算该100名学生中大约有多少人会取得满分成绩； (3)若从以上两组中各派2名成绩最好的学生进行抽签，由抽签决定谁去参加比赛，则刚好抽到一男一女的概率是多少？请用表格法或树状图表示． 7．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动小明所在班级成绩全部合格，他将自己班级学生的成绩（用表示）分为四组：组（），组（），组（），组（），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为_______°； (3)把每组中各个学生的成绩用这组数据的中间值（如组：的中间值为）来代替，试估计该班的平均成绩； (4)学校要从该班中成绩为满分且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 8．为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：，. ，，，，，，，，，，， 整理数据：甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别                          甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： (1) ______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度：本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）； (2)在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）； (3)甲校有名学生都参加此次测试，如果成绩达到分（分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． (4)成绩达到90分以上为优秀，若从甲校获得优秀的两名同学（记为A、B）和乙校获得优秀的两名同学（记为C、D）中抽取两名同学参加全市现场比赛，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两名同学甲校、乙校各一名同学的概率． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02简单事件的概率思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据概率公式计算概率 【解惑】如图，A是某公园的进口和出口，B、C、D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从A，B，C，D四个出口中恰好在C出口出来的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出所有等可能结果，从所有结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查了概率公式，找到所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． 【详解】解：从口进入，出口有A、、、四种情况，其中从口出的只有1种结果， 从A、、、四个出口中恰好在出口出来的概率为， 故选：B． 【融会贯通】 1．骰子各面上的点数分别是1，2，…，6，抛掷一枚骰子，点数是2倍数的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵抛掷一枚骰子，共有6种等可能的结果，偶数有3种， ∴点数是偶数的概率． 故选A． 2．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式求概率．根据概率公式即可求解． 【详解】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中奇数有1，3，5共3种结果， ∴朝上的面的点数为奇数的概率是． 故答案为：． 3．有5个除颜色以外大小触感完全相同的小球装在一个不透明的口袋中，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 . 【答案】 【分析】利用红球的个数球的总个数可得红球的概率. 此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比. 【详解】解：∵一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球， ∴摸到红球的概率是. 故答案为：. 类型二、已知概率求数量 【解惑】一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查随机事件与概率以及概率的应用，运用概率公式即可计算. 【详解】解：口袋中小球的总数为：个， 故选C. 【融会贯通】 1．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则（　　） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单的概率计算，解分式方程．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故选：A． 2．有5张扑克牌，牌面朝下，随机抽出一张记下花色后放回，洗牌后再这样抽，经历多次试验后，得到随机抽出一张牌是红桃的频率是0.2，则红桃大约有　 张． 【答案】1 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，根据概率的频率定义可知，由于抽到红桃的概率为0.2，根据概率公式即可求出红桃的张数． 【详解】解：设红桃大约有x张， 根据题意有：， 解得：， 故答案为：1． 3．一个不透明布袋里有5个红球和若干个白球，两种球除颜色以外没有任何差别，小明从中随机的摸出一个球，放回去后摇晃后又摸一个球，如此摸下去，发现摸到红球的频率稳定在0.333左右，则布袋中的白球约有 个； 【答案】10 【分析】本题主要考查利用频率估计概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解即可． 【详解】解：设布袋中白球有个， 由题意可得：， 解得：， 布袋中白球可能有10个． 故答案为：10． 类型三、几何概率 【解惑】如图，连接正六边形的对角线，，交对角线于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查几何概率的知识，根据阴影部分面积占正六边形面积的比例得出概率是解题的关键，将对角线和的中点连接，设的面积为a，则正六边形的面积为，阴影的面积为，利用几何概率即可求得答案． 【详解】解：作如图所示连接， 设的面积为a，则正六边形的面积为，阴影的面积为， 那么，一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是． 故选∶D． 【融会贯通】 1．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据几何概率的求法：小球落在4号地砖上的概率就是4号地砖的面积与总面积的比值． 【详解】解：如图， 由“七巧板”地砖的特点设，，， ∴4号地砖的面积为，整个正方形的面积为， ∴小球停在4号地砖上的概率是， 故选D 2．如图，随机地投放一粒米，米粒落在阴影部分（边界忽略不计）的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．直接表示出图中阴影部分的面积所占分率，进而得出落在阴影部分的概率． 【详解】解：由轴对称的性质可得： 故米粒落在图中阴影部分的概率是， 故答案为：． 3．如图所示，正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】求出图形和阴影的面积，再根据概率公式计算即可．本题考查了概率公式，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等 ∴， ∴ ∴ 即 ， ， 设正方形的面积为，阴影的面积为， 则图形的面积为， 这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 类型四、列举法求概率 【解惑】现把分别写有“我”“爱”“武”“汉”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的盒子并密封起来，随机打乱盒子的顺序，然后在四个盒子的外边也分别写上“我”“爱”“武”“汉”四个字，打开盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况按字的相同个数分等级发放奖品，那么中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用列举法求概率．正确得出失败情况的总数是解答本题的关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意得出总的情况数和失败的情况数，即可得出至少有一个盒子与里面的卡片上写的字相同的情况数，再利用概率公式即可计算出中奖概率． 【详解】解：设“我”、“爱”、“武”、“汉“四个字对应的字母为、、、，则所有的可能性为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，则都不相同的可能有：、、、、、、、、，故嘉宾中奖的概率为：． 故选：C． 【融会贯通】 1．编号为1，2，3，4的四位同学随机地坐到编号为1，2，3，4的四个位置上，其中没有一对编号相同的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列举法求概率．找出总情况数及所有所求情况数即可求解．理解并掌握概率所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键． 【详解】以表示编号为a，b，c，d的同学依次坐在第1，2，3，4这四个位置上．共 有以下24种坐法． 没有一对编号相同的情况有9种： ，， ， ，，，， ，．所以所求概率为, 故选： D． 2．从，，这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点的坐标记为，若点为，则在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求概率、一次函数的图像，正确找出当直线经过第二象限时，点的所有符合条件的坐标是解题关键． 【详解】解：由题意得：点的坐标共有种：，，，，，， 点为， 直线经过第二象限，点的坐标有，，，，共四种情况； 在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为， 故答案为：． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中有A，B两个格点，在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使为等腰三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何图形中的概率计算，解决此题的关键是：正确找出恰好能使为等腰三角形的点． 按照题意分别找出点C所在的位置：当时，符合条件的点C有3个；当时，符合条件的点C有1个；当时，符合条件的点C有1个；当根据概率公式求出概率． 【详解】解：如图， 可以找到5个恰能使为等腰三角形的点， 概率为：， 故答案为：． 类型五、列表法或树状图法求概率 【解惑】第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，王老师一共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图； （1）用条形统计图中B类别的人数除以扇形统计图中B的百分比可得共调查的学生人数． （2）求出A类别中女生的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）本次调查中，王老师一共调查了（名）． 故答案为：20． （2）由题意得，A类别的人数为（人）， ∴A类别中女生的人数为（人）， 补全条形统计图如图1所示． （3）列表如下： 男 女 男 （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，女） 共有6种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有3种， ∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为． 【融会贯通】 1．2024年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市（哈尔滨，南昌，三亚），为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市名字写在颜色、大小和厚度都一样的卡片上，洗匀然后反扑在桌面上，小明先从中抽一张卡片后放回，然后小红又从中抽取一张卡片； (1)小明抽到写有“南昌”的卡片是（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 (2)请用列表或树状图的方法，求出小明和小红都抽中“哈尔滨”城市卡片的概率． 【答案】(1)B； (2)． 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率， （1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可； （2）分别使用树状图法或列表法将小明和小红抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次抽中A城市“哈尔滨”卡片的抽取结果，即可算出概率． 【详解】（1）解：从三张卡片中抽取一张卡片，抽到写有“南昌”的卡片是随机事件，故选B． （2）三个旅游城市哈尔滨，南昌，三亚分别记为A、B、C，根据题意，画出树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中满足小明和小红都抽中A城市“哈尔滨”卡片的结果有1种， 所以，小明和小红都抽中A城市“哈尔滨”卡片的概率为． 2．春节是我国的传统佳节，深圳是一个很年轻包容的城市，市民来自全国各地．春节期间，小深调查了本年级学生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示广东省内深圳市外．并将调查情况绘制成如下两幅统计图． 请根据以上信息回答： (1)本次参加抽样调查的学生有 人； (2)将两幅不完整的图补充完整； (3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数 ； (4)若有来自A、B、C、D的四位同学，从中抽取两位同学在开学典礼中分享春节见闻，请用树状图或列表法求恰好抽到的同学都来自广东省的概率． 【答案】(1)600 (2)补全图见解析 (3) (4) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得答案． （2）分别求出C类的人数、扇形统计图中A，C的百分比，补全条形统计图和扇形统计图即可． （3）用乘以C的百分比，即可得出答案． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到的同学都来自广东省的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次参加抽样调查的学生有（人）． 故答案为：600． （2）C类的人数为（人）． 扇形统计图中A的百分比为， C的百分比为． 补全条形统计图和扇形统计图如图所示． （3）扇形统计图中C所对圆心角的度数为． 故答案为：． （4）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的同学都来自广东省的结果有：，，共2种， ∴恰好抽到的同学都来自广东省的概率为． 3．西安是中华文明的重要发祥地，其饮食文化也十分丰富多彩．某校要举行“我为家乡美食代言”的宣讲活动，主要介绍西安的特色美食，已知学校给定了4个极具特色的主题：A．羊肉泡馍；B．面；C．肉夹馍；D．凉皮．参加的选手从这四个主题中随机抽取一个进行宣讲，小乐和小阳都参加了这项活动． (1)小乐抽中“C．肉夹馍”主题的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求小乐和小阳抽中不同主题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小乐和小阳抽中不同主题的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵共有：A．羊肉泡馍；B．面；C．肉夹馍；D．凉皮4个主题， ∴小乐抽中“C．肉夹馍”的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小乐和小阳抽中不同主题的结果有12种， ∴所求概率为． 类型六、用频率估计概率的综合应用 【解惑】某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 【答案】(1)0.9 (2)8100棵 【分析】本题考查了由频率估计概率，正确得出这种玉米种子发芽的概率是解此题的关键． （1）由统计图即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为0.9附近，故估计这种玉米种子发芽的概率是0.9； （2）解：由题意得：（棵）， ∴种10000粒该种玉米种子大约可得到棵玉米秧苗． 【融会贯通】 1．对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数 10 50 100 150 200 命中次数 4 25 65 90 120 命中率 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？ (3)估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分． 【答案】(1)；；； (2) (3)54分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的m除以n即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率约为； （3）根据（2） 的估计得到投篮30次命中次，然后用18乘以3即可． 【详解】（1）解：投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率分别为： ；；；； （2）解：由表格数据知，当投篮次数逐渐增加时，命中率稳定在附近，所以估计这个运动员3分球投篮． （3）解：由（2）的结论可知这个运动员投篮30次，命中的次数约为（次），约能得到（分）． 2．某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 【答案】(1)； (2)这个运动员投篮命中率的概率是； (3)36分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的n除以m即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率的概率； （3）根据（2） 的估计得到投篮24次命中次，然后用12乘以3即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）解：这个运动员投篮命中率的概率是； （3）解：这个运动员3分球投篮24次大约命中（次）， ∴这个运动员3分球投篮24次的得分大约为（分）． 3．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【答案】(1) (2) (3)③④ 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． 类型七、游戏的公平性 【解惑】在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色的游戏．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除颜色以外其它均相同的4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球的颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则甲获胜；否则乙获胜． (1)用树状图或列表法求出甲获胜的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意先画出树状图，得出一共有12种情况，两个小球的颜色恰好能配成紫色的有8种情况，即可求出甲获胜的概率； （2）求出乙获胜的概率，再与甲比较即可． 【详解】（1）解：由题意，列表格得： 甲 乙 红1 红2 蓝1 蓝2 红1 （红1，红2） （红1，蓝1） （红1，蓝2） 红2 （红2，红1） （红2，蓝1） （红2，蓝2） 蓝1 （蓝1，红1） （蓝1，红2） （蓝1，蓝2） 蓝2 （蓝2，红1） （蓝2，红2） （蓝2，蓝1） ∵共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲获胜的有8种， ∴甲获胜的概率是：； （2）不公平，理由如下： 由（1）知， ∵， ∴这个游戏不公平． 【融会贯通】 1．在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢． (1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ． (2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平． 【答案】(1)随机， (2)此游戏对三人是公平的 【分析】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法． （1）根据题意在表格内列举出所有情形，找出所有等可能的情况数，得出投掷两次，底面数字和为5的情况即可求解； （2）根据题意列出表格，分别求出三人获胜得概率，比较即可得到游戏公平与否． 【详解】（1）解：投掷1次，底面数字出现3是随机事件； 列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 从上表可知，共有12种等可能的情况，投掷两次，底面数字和为5的情况有4种， 故投掷两次，底面数字和为5的概率为， 故答案为：随机，； （2）由（1）可知，两次投掷所得底面数字的和小于5的情况有4种，则小明赢的概率为， 两次投掷所得底面数字的和等于5的情况有4种，则小红赢的概率为， 两次投掷所得底面数字的和大于5的情况有4种，则小刚赢的概率为， 故此游戏对三人是公平的． 2．渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．      (1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 度． (2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人． (3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：现有 4 张卡片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？ 【答案】(1)72 (2)7500 (3)这种方法不公平，理由见解析 【分析】（1）用“其他”种类人数除以“其他”种类人数所占百分比即可求出本次调查抽取的人数；用“漫画”种类人数除以本次调查抽取的人数乘即可求出“漫画”所在扇形的圆心角度数； （2）用25000乘“科普常识”所占的百分比，即可求出该市农村25000名学生中喜爱“科普常识”的小学生人数； （3）列表得出所有可能的情况数，找到符合抽得的数字之和是5的倍数的情况数，是3的倍数的情况数，再分别除以总情况数，即可求出数字之和是5的倍数的概率，数字之和是3的倍数的概率，进而比较求解即可． 【详解】（1）解：（人） “漫画”所在扇形的圆心角为； （2）解：估计喜爱“科普常识”的小学生约有（人）； （3）解：列表如下： 两数之和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 ∴共有16种等可能的结果，其中抽得的数字之和是5的倍数的有4种，是3的倍数的有5种， ∴则书给小丽的概率是，给小芳的概率是 ∵ 答：这种方法不公平． 【点睛】本题考查了结合扇形统计图和条形统计图获取相关信息，包括利用样本百分比估计总体数量，根据树状图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 3．有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子中装有2个白球和1个红球，乙袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别． (1)从甲袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是 ； (2)小明和小亮两人将甲、乙两个袋子中的球混合在一起，摸出白球小明获胜，摸出红球小亮获胜，这个游戏公平吗，说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性： （1）用红球数除以球的总数即可得到答案 ； （2）依据概率计算公式分别求出摸出红球和摸出白球的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵甲袋子中装有2个白球和1个红球，且每个球被摸出的概率相同， ∴从甲袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是， 故答案为：； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 由题意得，摸出红球的概率为， 摸出红球的概率为， ∵， ∴小明获胜的概率大于小亮获胜的概率， ∴这个游戏不公平． 类型八、概率在转盘抽奖中的应用 【解惑】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 【融会贯通】 1．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）把其中3个扇形标A即可． 【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同， ∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是； （2）∵每个展馆都有被选中的机会， ∴先将每个展馆都填在一个区域内， 又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大， ∴剩下的两个区域都填上即可， 如图所示： 指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 2．如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，奖金依次为100、50、20元． （1）分别计算获一、二、三等奖的概率． （2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？    【答案】（1）一等奖：  ，二等奖：   ，三等奖：；（2），①未中奖，②中一等奖，③中二等奖，④中三等奖 【分析】（1）分别求红、黄、蓝色区域所占份数的比例即为所求的概率； （2）获奖的概率为获一、二、三等奖的概率的和，摇奖共有4种情况，一一列出即可． 【详解】解：（1）∵摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，其中红色区域占1份， ∴获一等奖的概率， 同理得，获二等奖的概率，获三等奖的概率； （2）由（1）知，获奖的概率，    老李摇奖共有4种情况：①未中奖，②中一等奖，③中二等奖，④中三等奖． 【点睛】本题考查几何概率的应用，几何概率的计算方法一般是长度比，面积比，体积比等． 3．某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是： （1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：， 故答案为：； （2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 如图： 【一览众山小】 1．某校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了名学生，结果如下表所示，则参加绘画兴趣小组的频率是（　　） 兴趣小组 书法 绘画 舞蹈 其他 参加人数 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 根据频率分布直方图可以知道绘画兴趣小组的频数，然后除以总人数即可求出加绘画兴趣小组的频率． 【详解】解：调查了名学生，加绘画兴趣小组的有人， ∴参加绘画兴趣小组的频率是． 故选：D． 2．十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的；下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”和“兔”的概率是（    ）          A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两张图片恰好是“牛”“兔”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 鼠 牛 虎 兔 鼠 （鼠，牛） （鼠，虎） （鼠，兔） 牛 （牛，鼠） （牛，虎） （牛，兔） 虎 （虎，鼠） （虎，牛） （虎，兔） 兔 （兔，鼠） （兔，牛） （兔，虎） 共有12可能的结果，其中两张图片恰好是“牛”“兔”的结果有2种， 两张图片恰好是“牛”“兔”的概率为． 故选：C． 3．如图，将 A、B、C、D四种农作物种在甲、乙、丙、丁四块田地里(中间有一口井)，每块田地只能种一种农作物，则A、B两种农作物位置相邻的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键． 设将A种农作物种在甲地里，画树状图共有6种等可能的结果，其中A，B两种农作物位置相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设将A种农作物种在甲地里， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中A，B两种农作物位置相邻的结果有4种， ∴A，B两种农作物位置相邻的概率是． 故选：C． 4．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 【答案】 方案2 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）先列表得到方案1的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）先列表得到方案2的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：（1）方案1所有情况如下表： ① ② 从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为通路的有1种， 所以该电路为通路的概率为； 故答案为：， （2）方案2更稳定可靠，理由如下： 由（1）得，方案1中电路系统正常工作的概率为， 方案2中从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案2中电路系统正常工作的概率为 方案2更稳定可靠． 故答案为：方案2． 5．已知是中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根据与系数的关系，求不等式的解集，概率的计算，掌握一元二次方程根与系数的关系和概率计算是解题的关键． 根据一元二次方程有解的判定方法“”可得的值，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：关于的方程有解， ∴， 解得，， ∴的值可以是或，两个值， ∴方程有解的概率为， 故答案为： ． 6．游泳是中考体育必考项目之一，男子100米满分是144秒，女子100米满分是151秒，在一次中学生100米游泳测试中，选取了100人进行测试，其中男女学生各50人，男女分组进行测试，每组10人．随机抽取了男女各一组学生的成绩进行分析，数据如下：每个学生的成绩统计表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生成绩（秒） 146 141 139 143 a 140 142 142 139 143 女生成绩（秒） 150 154 155 149 150 149 148 153 154 151 根据以上信息解答下列问题： (1)填空，a为该组男生成绩的中位数，则__________； (2)应用你所学的统计，计算该100名学生中大约有多少人会取得满分成绩； (3)若从以上两组中各派2名成绩最好的学生进行抽签，由抽签决定谁去参加比赛，则刚好抽到一男一女的概率是多少？请用表格法或树状图表示． 【答案】(1)142 (2)大约有75人取得满分成绩 (3) 【分析】本题考查了中位数，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据用样本估计总体的方法求解即可； （3）用列表法求解即可． 【详解】（1）把已知数据从小到大排序：139，139，140，141，142， 142，143，143，146， ∵a为该组男生成绩的中位数， ∴． 故答案为：142； （2）人； （3）列表如下 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 如上表所示，共有 12 种等可能出现的结果，其中为一男一女的共有 8 种情况， 所以． 所以抽到的学生是一男一女的概率为：． 7．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动小明所在班级成绩全部合格，他将自己班级学生的成绩（用表示）分为四组：组（），组（），组（），组（），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为_______°； (3)把每组中各个学生的成绩用这组数据的中间值（如组：的中间值为）来代替，试估计该班的平均成绩； (4)学校要从该班中成绩为满分且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）用频数分布直方图中组的频数除以扇形统计图中的百分比可得班级的学生人数，进而可得组的人数，补全频数分布直方图即可． （2）用乘以组的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据平均数的定义计算即可． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：班级的学生人数为（人）， ∴组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示： （2）∵， ∴扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为； 故答案为：； （3）∵（分）， ∴估计该班的平均成绩为分； （4）画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有：甲丁，丁甲，共种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图、平均数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、平均数的定义是解题的关键． 8．为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：，. ，，，，，，，，，，， 整理数据：甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别                          甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： (1) ______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度：本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）； (2)在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）； (3)甲校有名学生都参加此次测试，如果成绩达到分（分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． (4)成绩达到90分以上为优秀，若从甲校获得优秀的两名同学（记为A、B）和乙校获得优秀的两名同学（记为C、D）中抽取两名同学参加全市现场比赛，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两名同学甲校、乙校各一名同学的概率． 【答案】(1)；；乙 (2)甲 (3)人 (4) 【分析】本题考查了中位数、方差、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数的定义即可得出的值，根据乙校成绩在所占比例乘以即可得出圆心角度数，根据方差的意义即可得解； （2）根据中位数进行比较即可得解； （3）由样本估计总体的思想求解即可； （4）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：把甲校名学的数学从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数． 故答案为：； 乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是， 故答案为：； 甲校成绩的方差乙校成绩的方差， 本次测试成绩更整齐的是乙校． 故答案为：乙； （2）解：在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是甲校的学生， 理由：甲校的中位数是，乙校的中位数是，，故该学生是甲校的学生； 故答案为：甲； （3）解：人， 答：估计甲校能参加第二轮比赛的人数约有人． （4）解：画树状图如图： 共有种等可能的结果数，其中甲校、乙校各一名同学的结果数为， 甲校、乙校各一名同学的概率． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$