2.6.3 等边三角形的性质与判定-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(青岛版)

第3课时等边三角形的性质与判定 【边学边练】 知识点一等边三角形的性质 1.如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a,b相交，若∠1=25°，则∠2的大小为 ( A.25 B.55° C.45 D.35° 第1题图 第2题图 2.如图，在等边三角形ABC中，AB=4cm,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上，且 ∠E=30°，则CE的长为 知识点二等边三角形的判定 3.下列条件中，不能得到等边三角形的是 A.三边都相等的三角形 B.三个角都相等的三角形 C.有一个角等于60°的三角形 D.有两个角等于60°的三角形 4.如图，AC与BD相交于点O,若OA=OB,∠A=60°，且AB∥CD,△OCD是等边三角 形吗？为什么？ 【随堂小测】 1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B,C,D,E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE. 则∠E的度数为 () A.20° B.25° C.10° D.15° 2.(易混题)已知a,b,c分别是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac,则 △ABC是 () A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 39 3.如图，在一个池塘旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位 置)，测得的相关数据为∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=58米，则AC= 米。 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，把等边三角形ABC沿直线DE折叠，点A落在A'处，若∠1=50°，则∠2 5.(易错题)如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD 与BE相交于点P,AC,BE相交于点M,AD,CE相交于点N,连接MN,则下列五个结 论：①AD=BE:②∠BMC=∠ANC:③∠APM=60°：④AN=BM:⑤△CMN是等边三 角形。其中，正确的有 (填正确的序号)。 6.如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，求∠1+∠2+∠3的度数。 7.如图，AB=AC,点D是BC的中点，AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为点E,且BE∥ AC。△ABC是等边三角形吗？ 8.如图，点P,M,V分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于 点M,PN⊥AC于点N。 (1)△PMN是等边三角形吗？ (2)若AB=12cm,求CM的长。 40又因为∠B=∠C=50°，AB=DC=2. 3.D 所以在△ABD和△DCE中， 4.①3，①④，②③，2④ ∠BDA=∠CED, 5.62【解析】因为OB平分∠ABC,所以∠AB0= ∠B=∠C ∠OBC。因为MN∥BC,所以∠OBC=BOM。所 AB=DC。 以∠ABO=∠BOM。所以BM=OM。同理可得 所以△ABD≌△DCE(AAS)。 CN=ON,所以△AMN的周长=AM+MO+ON+ (2)解：△ADE的形状可以是等腰三角形。 AN=AM +BM CN AN AB AC 38 +24 因为∠BDA=∠CED,点D在线段BC上运动 =62 (点D不与点B,C重合)， 6.解：△BC0是等腰三角形。理由如下： 所以AD≠AE。 因为AB=AC, 当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=50°， 所以∠ABC=∠ACB。 所以∠BDA=∠CED=50°+50°=I00°。 因为BP,CQ是△ABC两腰上的高， 当DA=DE时，∠EAD=∠AED=65°， 所以∠BQC=∠CPB=90° 所以∠BDA=∠CED=65°+50°=115°。 因为∠OBC=90°-∠ACB, 综上，∠BDA为100°或115时， ∠OCB=90°-∠ABC, △ADE的形状是等腰三角形。 所以∠OBC=∠OCB。 第2课时等腰三角形的判定 所以OB=OC。所以△BCO为等腰三角形。 【边学边练】 7.解：△DBE是等腰三角形。理由如下： 1.C 因为BA=BC,所以∠A=∠C 2.解：△ABC是等腰三角形。理由如下： 因为DF⊥AF, 因为AE∥BC, 所以∠A+∠AEF=90°，∠G+∠D=90°。 所以∠DAE=∠B, 所以∠AEF=∠D。 ∠EAC=∠C。 因为∠DEB=∠AEF,所以∠D=∠DEB 因为AE平分∠DAC, 所以BD=BE。所以△DBE是等腰三角形。 所以∠DAE=∠EAC。 8.解：(1)因为∠1+∠2=180°，∠1+∠BGH 所以∠B=∠C。 =180°， 所以AB=AC。 所以∠2=∠BGH。所以AB∥CD 所以△ABC是等腰三角形。 所以∠GPH=∠PGB. 【随堂小测】 因为GP平分∠BGH,所以∠PGH=∠PGB。 1.C 所以∠GPH=∠PGH。所以GH=PH。 2.C【解析】分三种情况：①OA=OP时，则∠A= (2)因为∠1=116°， ∠0P1=2180°-∠0)=7×(180°-30)= 所以∠BGH=180°-116°=64°。 因为GP平分∠BGH, 75°：②40=AP时，则∠AP0=∠0=30°，所以 所以∠BGP=32°。因为AB∥CD ∠A=180°-∠0-∠AP0=120°：③P0=PA 所以∠GPD=180°-32°=148°。 时，则∠A=∠0=30°。综上所述，当∠A=75° 第3课时等边三角形的性质与判定 或120°或30°时，△AOP为等腰三角形。故 【边学边练】 选C。 1.D 2.2cm3.C 130 4.解：△OCD是等边三角形。理由如下： 所以∠BAD=∠CAD=∠BAE 因为0A=OB,∠A=60°， 因为AE⊥BE,所以∠E=90°。 所以∠A=∠B=60° 因为BE∥AC,所以∠EAC=90°。 又因为AB∥DC, 所以∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°。 所以∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°。 所以∠BAC=60°。 所以∠C0D=60°。 因为AB=AC,所以△ABC是等边三角形。 所以△OCD是等边三角形。 8.解：(1)因为△ABC是等边三角形， 【随堂小测】 所以∠A=∠B=∠C 1.D2.B 因为MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC. 3.584.40 所以∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°。 5.①②3④⑤【解析】因为△ABC和△DEC都是 所以∠PMB=∠MNC=∠APN。 等边三角形，所以AC=BC,CD=CE,∠ACB= 所以∠NPM=∠PMN=∠MNP。 ∠ECD=60°。因为点B,C,D在一条直线上，所 所以△PMN是等边三角形。 以∠ACE=60°。所以∠ACB+∠ACE=∠ECD+ (2)因为△PMN是等边三角形， ∠ACE,即∠BCE=∠ACD。所以△BCE≌ 所以PM=MN=PN。 △ACD(SAS)。所以AD=BE。故选项①正确： 因为∠ACB=∠ACE=60°，由△BCE≌△ACD得 所以△PBM≌△MCN≌△NAP(ASA). ∠CBE=∠CAD,所以∠BMC=∠ANC,故选项 所以AP=BM=CN,PB=MC=NA。 ②正确：由△BCE≌△ACD得∠CBE=∠CAD, 所以BM+PB=AB=12cm 因为∠ACB是△ACD的外角，所以∠ACB= 因为△ABC是等边三角形， ∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°。又因为 所以∠A=∠B=∠C=60°。 ∠APM是△PBD的外角，所以∠APM=∠CBE+ 所以∠PMB=30°。所以2PB=BM ∠ADC=60°。故选项③正确：在△ACN和 所以2PB+PB=12cm △BCM中，∠CAN=∠CBM,AC=BC,∠ACN= 所以PB=4cm。所以CM=4cm。 ∠BCM=60°，所以△ACN≌△BCM(ASA)。所 小专题4等腰三角形重点分类讨论 以AN=BM。故选项④正确：所以CM=CN。所1.B2.C3.C 以△CMN为等腰三角形。因为∠MCN=60°，所4.80°或10°【解析】设三角形的两腰为AB,AC。 以△CMN是等边三角形。故选项⑤正确。 ①当AB的垂直平分线与AC相交时，如图1。 6.解：如图，标注字母 此时，∠A=90°-70°=20°， 因为图中是三个等边三角形， 所以底角∠B=∠C=(180°-20°)÷2=80°。 所以∠1=180°-60°-∠ABC= 120°-∠ABC,∠2=180°-60°- ∠ACB=120°-∠ACB. ∠3=180°-60°-∠BAC=120°-∠BAC. 因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=I80°， 所以∠1+∠2+∠3=120°-∠ABC+120° 图1 图2 ∠ACB+120°-∠BAC=360°-180°=180°。 ②当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时， 7.解：因为AB=AC,点D是BC的中点， 如图2。 所以AD⊥BC。所以∠BAD=∠CAD 此时，∠BAC=70°+90°=160°，所以底角∠B 因为AB平分∠DAE,所以∠BAE=∠BAD ∠C=(180°-160°)÷2=10°。 131