2.5 角平分线的性质-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(青岛版)

可可裁 2.5角平分线的性质 【边学边练】 知识点一角的平分线的性质和判定 1.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC,交CD于点E,BC= 10,DE=3,则△BCE的面积等于 ( A.10 B.20 C.15 D.30 第1题图 第2题图 2.如图，P是∠AOB内一点，PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,且PD=PC,点E在OA 上，∠AOB=50°，∠OPE=30°，则∠PEC的度数是 () A.50° B.55 C.45° D.60° 知识点二作已知角的平分线 3.如图，作∠AOB的平分线的方法步骤是①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M点，交OB于N点：②分别以M,N为圆心，大于)MN的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB的内部相交于点C:③过点C作射线OC。射线OC就是∠AOB的平分线。 这样作角平分线的依据是 A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边 4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高。 (1)尺规作图：作出∠BAC的平分线AE交BC于点E;(不写作法，保留作图痕迹) (2)若∠B=30°，∠ACB=110°，求∠EAC和∠DAE的度数。 33 【随堂小测】 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E。若△ACD的面积为16，AC =8,则DE的长为 A.2 B.3 C.4 D.6 2.点0在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于 A.110 B.120 C.130° D.140 3.三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个学校，要 使学校到三条公路的距离相等，则这个学校应建在 ( A.三角形三条边的垂直平分线的交点处B.三角形三条角平分线的交点处 C.三角形三条高的交点处 D.以上位置都不对 4.如图，△ABC的三条角平分线交于点0，边AB,BC,AC的长分别是40,30,20，则 SABn:SARCO:S△CAo等于 () A.5:4:3 B.4:3:2 C.3:2:1 D.16:9:4 M/ 第4题图 第5题图 第6题图 5.(教材改编题)如图，在直角坐标系中，AD是直角△OAB的角平分线，已知，点D的坐标 是(0，-4)，AB的长是12，则△ABD的面积为 6.如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,PA=3,Q是射线OM上一个动点，若PQ= m,则m的取值范围是 7.如图，已知AP∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,CE的延长线交 AP于点D。 (1)AD+BC与AB相等吗？ (2)若点E到AB的距离为2，AB=4,BC=3,求△ADE的面积。 342.解：如图，AD即为所求作的底边BC上的高。 3.D 4.解：作点C关于直线AO的对称点C',作点D关6.解：(1)如图1，作AB的垂直平分线，交BC于点 于直线BO的对称点D',连接C'D'交AO于点 P,则点P即为所求。 M,交BO于点N,如图所示，小明所走的路线为 CM→MN→ND,所走的总路程最短。 图1 图 (2)如图2，直角△DEF即为所求。 2.5角平分线的性质 【边学边练】 1.C2.B3.A 【随堂小测】 4.解：(1)如图，射线AE即为所求。 1.B2.D3.D 4.C【解析】如图，作点A关于BC的对称点A', 作点A关于DE的对称点A”,则A"E=AE,A'B= B AB,连接A'A”",分别交线段BC和线段DE于点 (2)因为AE平分∠BAC, M和，点N,连接AM,AN,这时△AMMN的周长最 所以LEAC=7∠B4C=2(180°-30-10) 小。因为∠ABM=∠AEN=90°，所以A'M= =20°。因为AD是△ABC的高，所以∠D=90°。 AM,AN=A"N。所以∠AM'M=∠A'AM,∠AA"N 因为∠ACB=∠D+∠CAD =∠A"AN。所以∠AMN=2∠A'AM,∠ANM= 所以∠CAD=110°-90°=20°。 2∠A"AN。因为∠MAN+∠MAB+∠NME=a, 所以∠EAD=∠EAC+∠CAD=20°+20°=40°。 ∠MAN+∠AMN+∠ANM=180°，所以∠MAN+ 【随堂小测】 2∠BAM+2∠EAN=180°。所以∠BAM+∠EAN1.C2.A3.B =180°-x。所以∠MAN=-(180°-)= 4.B【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E,作 2a-180°。故选C。 OF⊥BC于点F,作OM⊥AC于点M。因为 △ABC的三条角平分线交于点O,所以OE=OF =0M。国为5m=2AB.0E,5am=6C 0F,5acw=24C·0M,AB=40,BC=30.4C 5.解：(1)因为点B与点E关于x轴对称，B(5,3), 20,所以S△m:SamS6co=4:3:2。故选B。 所以E点的坐标为(5，-3)。 (2)如图，连接AE,交x轴于点P(2,0),点P即 为所求。 128 5.246.m≥3 3.D【解析】①如图1，当该等腰三角形为钝角三 7.解：(1)如图1，在AB上截取AF=AD,连接EF。 角形时，因为一腰上的高与另一腰的夹角是 因为AE平分∠PAB, 所以∠DAE=∠FAE。 50°，所以底角=2×(90°-50)=20°：②如图 在△DAE和△FAE中， 2,当该等腰三角形为锐角三角形时，因为一腰 AD =AF, 上的高与另一腰的夹角是50°，所以底角= ∠DAE=∠FAE, LAE AE, 7×[180°-(90-50)]=70。故选D。 所以△DAE≌△FAE(SAS)。 所以∠AFE=∠ADE。 因为AD∥BC, 50 所以∠ADE+∠C=180°。 因为∠AFE+∠EFB=180°， 图 图2 所以∠EFB=∠C。 4.40° 因为BE平分∠ABC, 5.34【解析】因为∠B=40°，∠C=36°，所以 所以∠EBF=∠EBC。 ∠BAC=180°-∠B-∠C=104°。因为AB= 在△BEF和△BEC中. BD,所以∠BAD=∠ADB=(180°-∠B)÷2= ∠EFB=∠C, 70°。所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=34° ∠EBF=∠EBC, 6.解：相等。理由如下： BE BE. 如图，过点A作AF⊥BC于点F。 所以△BEF≌△BEC(AAS)。 因为AB=AC, 所以BC=BF。 所以BF=CF。 所以AD+BC=AF+BF=AB 又因为AD=AE, 所以DF=EF。 所以BF-DF=CF-EF, 即BD=CE。 图1 图2 7.解：因为AB=BC=CD=DE, (2)如图2，过点E作EH⊥AP,垂足为H。 所以∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD 因为点E到AB的距离为2，AE平分∠PAB. =∠CED 所以EH=2。 根据三角形的外角性质得∠A+∠BCA=∠CBD, 由(1)可知，AD=AB-BC=4-3=1, ∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM。 所以Sw=AD×BH=7×1x2=1。 则∠A+∠A=∠CBD,∠A+2∠A=∠ECD, 2.6等腰三角形 ∠A+3∠A=∠EDM。 第1课时等腰三角形的性质 又因为∠EDM=84°，所以∠A+3∠A=84°。 【边学边练】 解得∠A=21°。 1.D2.B 8.(1)证明：因为∠B=∠C=50°，∠ADE=50°， 【随堂小测】 所以∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°。 1.D2.A 所以∠BIDA=∠CED。 129