2.4.2 过一点作已知直线的垂线-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(青岛版)

可撕可裁 第2课时过一点作已知直线的垂线 【边学边练】 知识点一过一点作已知直线的垂线 1.如图，已知直线AB和直线AB外一点C。 作法：(1)任意取一点K,使点K和点C在直线AB的两旁： (2)以点C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和点E: (3)分别以点D和点E为圆心，大于)DE的长为半径作弧，两 弧相交于点F:(4)作直线CF,直线CF就是所求的垂线。这个作图是 A.平分已知角 B.作一个角等于已知角 C.过直线上一点作此直线的垂线 D.过直线外一点作此直线的垂线 2.已知钝角三角形ABC。用直尺和圆规作底边BC上的高。（不写作法，保留作图痕迹） 知识点二将军饮马问题 3.如图，要在街道1上设立一个牛奶站0O,向居民区A,B提供牛奶，下列图形设计中使 OA+OB值最小的是 ●B B 40 A B D 4.某中学八年级(2)班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO,B0),AO桌面 上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先到AO桌面上拿桔 子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线， 使其所走的总路程最短。 C. D· 31 【随堂小测】 1.利用尺规作图，作△ABC的BC边上的高AD,正确的是 B D 2.（易错题)已知点A,B都在直线I的上方，试用尺规作图在直线1上作一点P,使得 PA+PB的值最小，则下列作法正确的是 A B D 3.（易错题)如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,P为直线EF 上的任意一点，则AP+BP的最小值是 A.7 B.6 C.5 D.4 第3题图 第4题图 4.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=(∠BAE为钝角)，∠B=∠E=90°，在BC,DE 上分别找一点M,V,当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为 (） B.a-90 C.2a-180 D.a-450 5.如图，在平面直角坐标系中，先描出点A(1,1),B(5,3)。 (1)点B与点E关于x轴对称，写出点E的坐标： (2)在x轴上找一点P,使△ABP周长最小。 345 6.如图，已知△ABC(AC<AB<BC),请用直尺（不带刻度）和圆 规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）： (1)在边BC上确定一点P,使得PA+PC=BC; (2)作出一个△DEF,使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC 的长。 326.解：(1)如图所示，四边形AA'B'B即为所求作。 3.B (2)如图所示，线段AD即为所求。（答案不唯一） 4.解：(1)如图，直线DE即为所作。 YA (2)如图，连接DB 因为DE是AB的垂直平分线， 小专题3图形的轴对称 所以AD=BD 1.C2.23.44.C5.D6.D7.B8.A 所以△BCD的周长=BD+BC+CD=AD+CD+ 9.D BC=AC+BC=10+6=16。 10.D【解析】以点A所在直线为折痕，折叠纸 【随堂小测】 片，使点B落在边AD上，折痕与边BC交于点1.B2.D E,则∠AEB=45°。以，点E所在直线为折痕， 3.8cm4.6 折叠纸片，使点A落在边BC上，折痕EF交边 5.解：如图，甲农户选择△ABD,乙农户选择 AD于点F,则LFEC=∠FEA=180°-45 3 △ADC。(答案不唯一) 67.5°。因为AF∥EC,所以∠AFE=∠FEC= 67.5°。故选D。 11.解：(1)如图1所示。 (2)如图2所示。 6.解：(1)如图，EF即为线段AC的垂直平分线 图1 图2 2.4线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线 【边学边练】 1.11cm (2)因为EF是AC的垂直平分线 2.解：(1)因为1垂直平分AB,所以DB=DA。 所以点A,C关于直线EF对称」 同理EA=EC, 所以△AEF与△CEF关于直线EF对称。 所以BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=IO 所以∠EAC=∠C=26°。 (2)点O在边BC的垂直平分线上，理由如下： 因为∠B=60°，∠C=26°， 如图，连接A0,B0,C0。因为11与2分别是 所以∠BAC=180°-26°-60°=94°。 AB,AC的垂直平分线，所以AO=B0,C0=AO。 因为AD平分∠BAC, 所以OB=OC。所以点0在边BC的垂直平分 所以∠FAD=2∠BAC=47。 线上。 所以∠DAE=∠FAD-∠EAC=21° 第2课时过一点作已知直线的垂线 【边学边练】 1.D 127 2.解：如图，AD即为所求作的底边BC上的高。 3.D 4.解：作点C关于直线AO的对称点C',作点D关6.解：(1)如图1，作AB的垂直平分线，交BC于点 于直线BO的对称点D',连接C'D'交AO于点 P,则点P即为所求。 M,交BO于点N,如图所示，小明所走的路线为 CM→MN→ND,所走的总路程最短。 图1 图 (2)如图2，直角△DEF即为所求。 2.5角平分线的性质 【边学边练】 1.C2.B3.A 【随堂小测】 4.解：(1)如图，射线AE即为所求。 1.B2.D3.D 4.C【解析】如图，作点A关于BC的对称点A', 作点A关于DE的对称点A”,则A"E=AE,A'B= B AB,连接A'A”",分别交线段BC和线段DE于点 (2)因为AE平分∠BAC, M和，点N,连接AM,AN,这时△AMMN的周长最 所以LEAC=7∠B4C=2(180°-30-10) 小。因为∠ABM=∠AEN=90°，所以A'M= =20°。因为AD是△ABC的高，所以∠D=90°。 AM,AN=A"N。所以∠AM'M=∠A'AM,∠AA"N 因为∠ACB=∠D+∠CAD =∠A"AN。所以∠AMN=2∠A'AM,∠ANM= 所以∠CAD=110°-90°=20°。 2∠A"AN。因为∠MAN+∠MAB+∠NME=a, 所以∠EAD=∠EAC+∠CAD=20°+20°=40°。 ∠MAN+∠AMN+∠ANM=180°，所以∠MAN+ 【随堂小测】 2∠BAM+2∠EAN=180°。所以∠BAM+∠EAN1.C2.A3.B =180°-x。所以∠MAN=-(180°-)= 4.B【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E,作 2a-180°。故选C。 OF⊥BC于点F,作OM⊥AC于点M。因为 △ABC的三条角平分线交于点O,所以OE=OF =0M。国为5m=2AB.0E,5am=6C 0F,5acw=24C·0M,AB=40,BC=30.4C 5.解：(1)因为点B与点E关于x轴对称，B(5,3), 20,所以S△m:SamS6co=4:3:2。故选B。 所以E点的坐标为(5，-3)。 (2)如图，连接AE,交x轴于点P(2,0),点P即 为所求。 128