课时达标检测7 充要条件(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时达标检测(七)　充要条件 基础达标 一、单项选择题 1.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5} D.x≤-或x≥3 解析　选项中只有x∈{-1,3,5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件。 答案　C 2.“x=1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件,则实数a的取值范围为(　　) A.a= B.a< C.a<1 D.a≥1 解析　由题意,{1}是{x|x≤a}的子集,所以a≥1。故选D。 答案　D 3.“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由x2+(y-2)2=0,得x=0且y=2,x(y-2)=0。反之,x(y-2)=0,即x=0或y=2,x2+(y-2)2=0不一定成立。故选B。 答案　B 4.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　“a>0且b>0”可以推出“a+b>0且ab>0”,反之也是成立的。故选C。 答案　C 5.“A∩B=A”是“A⊆B”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　A∩B=A⇔A⊆B。故选C。 答案　C 二、多项选择题 6.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是(　　) A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件 C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件 D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件 解析　Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根,A对;Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,B对;Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根Δ>0,C错;Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根,D对。故选ABD。 答案　ABD 7.在下列结论中,正确的有(　　) A.“x2=9”是“x3=-27”的必要不充分条件 B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b全不为0”的充要条件 D.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件 解析　对于A,由x3=-27,得x=-3⇒x2=9,但是x=3适合x2=9,推出x3=27≠-27,故A正确;对于B,在△ABC中,AB2+AC2=BC2⇒△ABC为直角三角形,但△ABC为直角三角形⇒AB2+AC2=BC2或AB2+BC2=AC2或BC2+AC2=AB2,故B错误;对于C,由a2+b2≠0a,b全不为0,由a,b全不为0⇒a2+b2≠0,故C错误;对于D,由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故D正确。故选AD。 答案　AD 三、填空题 8.“方程x2-2x-a=0没有实数根”的充要条件是　　　　。  解析　因为方程x2-2x-a=0没有实数根,所以有Δ=4+4a<0,解得a<-1,因此“方程x2-2x-a=0没有实数根”的必要条件是a<-1。反之,若a<-1,则Δ<0,方程x2-2x-a=0无实根,从而充分性成立。故“方程x2-2x-a=0没有实数根”的充要条件是“a<-1”。 答案　a<-1 9.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的　　　　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)。  解析　|x-1|<2⇒-1<x<3,x(x-3)<0⇒0<x<3,{x|0<x<3}⫋{x|-1<x<3},由此可知“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要不充分条件。 答案　必要不充分 10.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件: 充要条件① 　; 充要条件② 　。 (写出你认为正确的两个充要条件) 答案　①两组对边分别平行　②一组对边平行且相等 四、解答题 11.不等式3x+a≥0成立的充要条件为x≥2,求a的值。 解　3x+a≥0化为x≥-。 由题意={x|x≥2}, 所以-=2,a=-6。 12.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0。 证明　①充分性:如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,得|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立。当xy>0时,x>0,y>0或x<0,y<0。当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立。当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立。总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立。 ②必要性:若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,得|x+y=(|x|+|y|,即)2+2xy+x2=y2+yx2+2|x||y|,所以|xy|=xy,所以xy≥0。综上可知,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件。 素养升级 13.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异。”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等。设A,B为两个等高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在同高处的截面面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为A,B两个几何体等高,所以由祖暅原理得,若A,B的体积不相等,则等高处的截面面积不恒相等,若恒相等,则A,B的体积相等,所以p⇒q。当等高处截面面积不恒相等时,A,B的体积有可能相等,例如:A,B为两个一模一样的圆锥,一个底面向上放置,一个底面向下放置,则在等高处的截面面积不恒相等,但它们体积相等,故q推不出p。因此p是q的充分不必要条件。 答案　A 14.“a>1”是“<1”的　　　　条件。  解析　若a>1,则<1,反之要<1,当a<0时也成立,不能推出a>1。 答案　充分不必要 15.设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c。我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么a2+b2=c2(勾股定理)。反过来,如果a2+b2=c2,那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理)。由此可知,△ABC为直角三角形的充要条件是a2+b2=c2。 请利用边长a,b,c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明。 解　(1)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c,△ABC为锐角三角形的充要条件是a2+b2>c2。 证明如下:必要性:在△ABC中,∠C是锐角,作AD⊥BC,D为垂足,如图①。 显然AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2=AC2-CD2+CB2+CD2-2CB·CD=AC2+CB2-2CB·CD<AC2+CB2,即c2<a2+b2。 充分性:在△ABC中,a2+b2>c2,所以∠C不是直角。 假设∠C为钝角,如图②,作AD⊥BC,交BC延长线于点D。 则AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD>AC2+BC2, 即c2>b2+a2与“a2+b2>c2”矛盾。 故∠C为锐角,即△ABC为锐角三角形。 (2)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c,△ABC为钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2, 证明如下:必要性:在△ABC中,∠C为钝角,如图②。 显然AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(CD+CB)2=AC2-CD2+CD2+CB2+2CD·CB=AC2+CB2+2CD·CB>AC2+CB2,即a2+b2<c2, 充分性:在△ABC中,a2+b2<c2, 所以∠C不是直角。假设∠C为锐角,如图①, 则AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2=AC2-CD2+CB2+CD2-2CD·CB=AC2+CB2-2CD·CB<AC2+CB2,即a2+b2>c2,这与“a2+b2<c2”矛盾,从而∠C必为钝角,即△ABC为钝角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $$