第1章 3.1 不等式的性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　不等式 3.1　不等式的性质 情境导入 课程标准 　　你知道该如何改善自己家的采光条件吗? 用x m2和y m2分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积,一般来讲,窗户面积比地板面积小。显然,比值越大,住宅的采光条件越好,不等式<表示的是,当同时增加相等的窗户面积l m2和地板面积l m2时,住宅的采光条件会得到改善。生活中,像这样的数量关系还有很多,学好不等关系,能帮助我们解决很多生活中的实际问题。 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系。 2.初步学会作差法比较两个实数的大小。 3.掌握不等式的基本性质。 4.运用不等式的性质解决有关问题。 新知自主学习 一、关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实: 如果a-b是正数,那么a>b; 如果a-b等于0,那么a=b; 如果a-b是负数,那么a<b,反过来也成立。 这个基本事实可以表示为 a>b⇔a-b>0 a=b⇔a-b=0 a<b⇔a-b<0 二、不等式的性质 性质1　如果a>b,且b>c,那么a>c。 性质2　如果a>b,那么a+c>b+c。 性质3　(1)如果a>b,c>0,那么ac>bc; (2)如果a>b,c<0,那么ac<bc。 性质4　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d。 性质5　(1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd; (2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd。 特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2。 性质6　当a>b>0时,>,其中n∈N+,n≥2。 微提醒 1.上面基本事实指出了比较大小的常用方法:作差法。 2.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。 微思考 1.在比较两实数a,b大小的依据中,a,b两数是任意实数吗? 提示:是。a,b是任意实数。 2.不等式的性质3就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数,不改变不等号的方向,对吗?为什么? 提示:不对,要看两边乘以的数的符号。 课堂合作探究 类型一　实数(式)的比较大小 　　【例1】　比较下列各式的大小: (1)当x≤1时,比较3x3与3x2-x+1的大小; (2)当x,y,z∈R时,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小。 解　(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1) =(3x2+1)(x-1)。 因为x≤1,所以x-1≤0, 而3x2+1>0。 所以(3x2+1)(x-1)≤0, 所以3x3≤3x2-x+1。 (2)因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2) =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, 所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2, 当且仅当x=y=且z=1时取到等号。 　　作差法比较大小的步骤 　　【训练1】　已知x,y∈R,P=2x2-xy+1,Q=2x-,试比较P,Q的大小。 解　因为P-Q=2x2-xy+1-=x2-xy++x2-2x+1=+(x-1)2≥0,所以P≥Q。 类型二　判断不等式的真假 　　【例2】　对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确: (1)若a,b∈R,且a>b,则a3>b3; (2)若a<b<0,则a2>ab>b2; (3)若c>a>b>0,则>; (4)若a>b,>,则a>0,b<0; (5)若a<b<0,则>。 解　(1)因为a3,b3不改变a,b的符号,即符合不等式的可乘方性,故该结论正确。 (2)由可得a2>ab。因为所以ab>b2,从而有a2>ab>b2。故该结论正确。 (3)由a>b>0,可得-a<-b<0。因为c>a>b,所以0<c-a<c-b,因此>>0,于是>。故该结论正确。 (4)由>,可知-=>0。因为a>b,所以b-a<0,于是ab<0。又因为a>b,所以a>0,b<0。故该结论正确。 (5)依题意取a=-2,b=-1,则=,=2,显然<。故该结论错误。 　　(1)解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法。 (2)注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒<,不能误认为是a>b⇒<,在应用时不能出错。 　　【训练2】　如果a<b<0,那么下列各式一定成立的是(　　) A.a-b>0 B.ac2<bc2 C.a2>b2 D.< 解析　因为a<b<0,所以a-b<0,a+b<0,>,所以(a-b)·(a+b)=a2-b2>0,即a2>b2,故C正确,A,D不正确;当c=0时,ac2=bc2,故B项不一定正确。故选C。 答案　C 类型三　利用不等式性质证明简单不等式 　　【例3】　若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>。 证明　因为c<d<0,所以-c>-d>0。 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0。 所以(a-c)2>(b-d)2>0。 两边同乘以, 得<。 又e<0,所以>。 　　利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。 (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则。 　　【训练3】　已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc。 证明　因为a>b,c>0,所以ac>bc。又因为e>f,所以e+ac>f+bc, 所以e-bc>f-ac,所以f-ac<e-bc。 类型四　求代数式的取值范围 　　【例4】　已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值范围。 解　因为1<a<4,2<b<8,所以2<2a<8,6<3b<24。根据不等式的同向可加性得,8<2a+3b<32。又2<b<8,得-8<-b<-2,所以-7<a-b<2。故2a+3b的取值范围是8<2a+3b<32,a-b的取值范围是-7<a-b<2。 　　同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性。 　　【训练4】　已知12<a<60,15<b<36,求的取值范围。 解　因为15<b<36,所以<<,又12<a<60,所以<<,所以<<4,即<<4。 随堂达标检测 　 1.在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒厘米,人跑开的速度是每秒4米,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区,导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为(　　) A.4×2x≥100 B.4×2x≤100 C.4×2x>100 D.4×2x<100 解析　当导火索的长度为x厘米时,燃烧的时间为2x秒,人跑开的距离为4×2x米,为了保证安全,有4×2x>100。 答案　C 2.与a>b等价的不等式是(　　) A.|a|>|b| B.a2>b2 C.>1 D.a3>b3 解析　可利用赋值法。令a=-5,b=0,则A,B正确而不满足a>b;再令a=-3,b=-1,则C正确,而不满足a>b。故选D。 答案　D 3.(多选题)如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中正确的是(　　) A.a-d>b-c B.-<- C.a+d>b+c D.ac>bd 解析　由已知及不等式的性质可得a+c>b+d,即a-d>b-c,A正确;由c>d>0,得>>0。又a>b>0,所以>,-<-,B正确;显然D项正确,而C项不一定正确。 答案　ABD 4.已知-1<α<β<1,则α-β的取值范围是　　　　。  解析　由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1。所以-2<α-β<2,但α<β。故知-2<α-β<0。 答案　-2<α-β<0 错在哪里? 　 　　【典例】　你知道下面的推理、变形错在哪儿吗? 因为2<a-b<4, 所以-4<b-a<-2。 又因为-2<a+b<2, 所以0<a<3,-3<b<0, 所以-3<a+b<3。 这怎么与-2<a+b<2矛盾了呢? 　　解:利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意:同向不等式两边可以相加(相乘),这种转化不是等价变形。本题中将2<a-b<4与-2<a+b<2两边相加得0<a<3,又将-4<b-a<-2与-2<a+b<2两边相加得出-3<b<0,又将该式与0<a<3两边相加得出-3<a+b<3,多次使用了这种转化,导致了a+b范围的扩大。 【训练】　小明同学做题时进行如下变形: 因为2<b<3, 所以<<, 又因为-6<a<8, 所以-2<<4。 你认为正确吗?为什么? 解　不正确。因为不等式两边同乘以一个正数,不等号的方向不变,但同乘以一个负数,不等号方向改变,在本题中只知道-6<a<8,不明确a值的正负。故不能将<<与-6<a<8两边分别相乘,只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘。 学科网（北京）股份有限公司 $$