第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 情境导入 课程标准 　　一位探险家被土人抓住,土人首领说:“如果你说真话,你将被烧死,说假话,将被五马分尸。”试想想探险家该如何保命? 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 新知自主学习 一、全称量词命题的否定 全称量词命题p p的否定 结论 ∀x∈M,x具有性质p(x) ∃x∈M,x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 二、存在量词命题的否定 存在量词命题p p的否定 结论 ∃x∈M,x具有性质p(x) ∀x∈M,x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 微提醒 (1)写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定。 (2)全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反。 　 微思考 　你知道的常见量词有哪些?它们的否定是什么? 提示:常见量词及其否定: 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的 否定 不是 不一 定是 不都是 小于或 等于 大于或 等于 或 词语 必有 一个 至少 有n个 至多 有一个 所有x 成立 所有x 不成立 能 词语的 否定 一个 也没有 至多有 n-1个 至少 有两个 存在一个 x不成立 存在一个 x成立 不能 课堂合作探究 　 类型一　全称量词命题的否定 　　【例1】　写出下列全称量词命题的否定: (1)任何一个平行四边形的对边都平行; (2)∀a∈R,方程x2+ax+2=0有实数根; (3)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解; (4)可以被5整除的整数,末位是0。 解　(1)存在一个平行四边形,它的对边不都平行。 (2)∃a∈R,方程x2+ax+2=0没有实数根。 (3)∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在。 (4)存在被5整除的整数,末位不是0。 　　全称量词命题的否定的两个关注点 (1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定。 (2)有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”。 　　【训练1】　写出下列全称量词命题的否定: (1)所有自然数的平方都是正数; (2)任何实数x都是方程5x-12=0的根; (3)对任意实数x,x2+1≥0。 解　(1)有些自然数的平方不是正数。 (2)存在实数x不是方程5x-12=0的根。 (3)存在实数x,使得x2+1<0。 类型二　存在量词命题的否定 　　【例2】　写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假。 (1)p:存在x∈R,2x+1≥0; (2)q:存在x∈R,x2-x+<0; (3)r:有些分数不是有理数。 解　(1)任意x∈R,2x+1<0,为假命题。 (2)任意x∈R,x2-x+≥0。 因为x2-x+=≥0,所以是真命题。 (3)一切分数都是有理数,是真命题。 　　存在量词命题否定的方法及关注点 (1)方法:与全称量词命题的否定的写法类似,要写出存在量词命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到存在量词命题的否定。 (2)关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法,例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等。 　　【训练2】　写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假。 (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)∃x,y∈Z,使得x+y=3。 解　(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”。它为假命题。 (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”。由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题。 (3)命题的否定是“∀x,y∈Z,x+y≠3”。当x=0,y=3时,x+y=3,因此命题的否定是假命题。 类型三　求参数的取值范围 　　【例3】　已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0,q:∃x∈R,ax2+ax+1≤0。若p与q均为假命题,求实数a的取值范围。 解　因为p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0,q:∃x∈R,ax2+ax+1≤0, 所以p的否定:∃x∈R,ax2+2x+1=0, q的否定:∀x∈R,ax2+ax+1>0。 由题意得p的否定与q的否定都是真命题。 由p的否定为真命题得a=0或 故a≤1。 由q的否定为真命题得a=0或 故0≤a<4。 所以解得0≤a≤1。 故实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}。 　　利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围。 (2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决。 　　【训练3】　若命题“存在x0∈R,使得a+2x0+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　。  解析　命题“∃x0∈R,使得a+2x0+a≤0”是假命题,则命题“∀x∈R,使得ax2+2x+a>0”是真命题。所以①当a≤0时,不符合题意。 ②⇒a>1,即实数a的取值范围为{a|a>1}。 答案　{a|a>1} 随堂达标检测 　 1.命题“∃x∈R,x2-2x-3≤0”的否定是(　　) A.∀x∈R,x2-2x-3≤0 B.∃x∈R,x2-2x-3≥0 C.∃x∈R,x2-2x-3>0 D.∀x∈R,x2-2x-3>0 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题,一方面要改量词,即“∃”改为“∀”;另一方面要否定结论,即“≤”改为“>”。故选D。 答案　D 2.全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　) A.所有能被5整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被5整除 C.存在一个能被5整除的整数不是奇数 D.存在一个奇数,不能被5整除 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题,而A,B是全称量词命题,所以A,B错误;因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”,所以D错误,C正确。故选C。 答案　C 3.(多选题)对下列命题的否定,其中说法正确的是(　　) A.p:∀x≥3,x2-2x-2≥0;p的否定:∃x≥3,x2-2x-2<0 B.p:存在一个四边形的四个顶点不共圆;p的否定:每一个四边形的四个顶点共圆 C.p:有的三角形为正三角形;p的否定:所有的三角形不都是正三角形 D.p:∃x∈R,x2+2x+2≤0;p的否定:∀x∈R,x2+2x+2>0 解析　若p:有的三角形为正三角形,则p的否定:所有的三角形都不是正三角形,故C错误。 答案　ABD 4.命题p:∀x∈R,x2-2x-3≥0的否定是　　　　,p的否定是一个　　　　命题(填“真”或“假”)。  解析　命题p是一个全称量词命题,其否定形式为“∃x∈R,x2-2x-3<0”。因为x2-2x-3<0有解,故为真命题。 答案　∃x∈R,x2-2x-3<0　真 对命题否定不完全致错 　 　　【典例】　已知命题p:存在一个实数x,使得x2-x-2<0,那么p的否定为　　　　。  　　[错解]　错解一:p的否定为“存在一个实数x,使得x2-x-2≥0”。 错解二:p的否定为“对任意的实数x,都有x2-x-2<0”。 错解三:p的否定为“∀x∉R,使得x2-x-2≥0”。 　　[错因]　该命题是存在量词命题,其否定应是全称量词命题,但错解一得到的p的否定仍是存在量词命题,显然只对结论进行了否定,而没有将存在量词改为全称量词;错解二只将存在量词改为全称量词,而没有对结论进行否定;错解三对命题的适用范围也进行了否定。 　　解:对任意的实数x,都有x2-x-2≥0。 　　对含有量词的命题进行否定时,①牢记全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题。注意不能只否定结论,而忘记了改变量词;也不能只改变量词,而忘记了对结论进行否定。②牢记命题的否定与原命题的真假性相反,可以用此来检验是否对命题进行了正确的否定。 学科网（北京）股份有限公司 $$