第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 情境导入 课程标准 著名的“罗素理发师悖论”问题 在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸”。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们说他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。 这个悖论是由一个关键的词“所有”引发的。像这样的词我们生活中还有很多,比如“每一个”“任意”“有些”“存在”,正确用词能给我们省去很多麻烦,因此,我们要更深入地学习一下这类词——全称量词与存在量词。 通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义。 新知自主学习 一、全称量词与全称量词命题 (1)在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题。 (2)在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“∀”表示,读作“对任意的”。 二、存在量词与存在量词命题 (1)在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题。 (2)在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“存在”。 微思考 1.全称量词和存在量词的含义分别是什么? 提示:全称量词表示整体或全部;存在量词表示个别或一部分。 2.在全称量词命题和存在量词命题中,量词是否可以省略? 提示:在存在量词命题中,量词不可以省略;在有些全称量词命题中,量词可以省略。 课堂合作探究 　 类型一　全称量词命题与存在量词命题的判断 　　【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题。 (1)自然数的平方大于或等于零; (2)存在实数x,满足x2≥2; (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直; (4)存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 解　(1)是全称量词命题,表示为∀x∈N,x2≥0。 (2)是存在量词命题,表示为∃x∈R,满足x2≥2。 (3)是存在量词命题,表示为存在四边形是平行四边形,但四边形的对角线不互相垂直。 (4)是存在量词命题,∃a∈R,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称量词命题或存在量词命题。 (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题。 (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质。 　　【训练1】　判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题。 (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)矩形都是正方形; (3)有些素数的和仍是素数; (4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直。 解　(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称量词命题。 (2)可以改写为所有矩形都是正方形,故为全称量词命题。 (3)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题。 (4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题。 类型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 　　【例2】　指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假。 (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点; (2)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (3)对任意实数x1,x2,若x1<x2,都有<; (4)存在一个实数x,使得x2+2x+3=0。 解　(1)(3)是全称量词命题,(2)(4)是存在量词命题。 (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题。 (2)存在一个实数0,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题。 (3)存在x1=-5,x2=-3,x1<x2,但(-5)2>(-3)2,所以该命题是假命题。 (4)由于x∈R,则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使得x2+2x+3=0的实数x不存在,所以该命题是假命题。 　　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对给定集合M中的每个元素x验证性质p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x=x0,使得性质p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)。 (2)判断存在量词命题的真假性的关键是探究给定集合M中x的存在性。若找到一个元素x∈M,使性质p(x)成立,则该命题是真命题;若不存在x∈M,使性质p(x)成立,则该命题是假命题。 　　【训练2】　判断下列命题的真假。 (1)对每一个无理数x,x2也是无理数; (2)末位是零的整数,可以被5整除; (3)有些整数只有两个正因数; (4)某些平行四边形是菱形。 解　(1)因为是无理数,但()2=2是有理数,所以全称量词命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题。 (2)因为每一个末位是零的整数,都能被5整除,所以全称量词命题“末位是零的整数,可以被5整除”是真命题。 (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题。 (4)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形,所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题。 类型三　求参数的取值范围 　　【例3】　(1)已知命题p:“∀x∈R,ax2+2x+3≥0”是真命题,求实数a的取值范围; (2)已知命题“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题,求实数a的取值范围。 解　(1)命题p为真命题,即ax2+2x+3≥0在R上恒成立。 ①当a=0时,不等式为2x+3≥0,显然不能恒成立; ②当a≠0时,由不等式恒成立可知 所以a≥。 综上,a的取值范围为。 (2)当1≤x≤2时,由y=x2+2x=(x+1)2-1的图象,可知3≤x2+2x≤8,由题意有a+8≥0,所以a≥-8,即a的取值范围为{a|a≥-8}。 　　解决含有量词的命题的求参问题的思路 (1)全称量词命题求参的问题,常以一次函数、二次函数等为载体进行考查,一般在题目中出现“恒成立”等词语,解决此类问题,可通过构造函数,利用数形结合求参数范围,也可用分离参数法求参数范围。 (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语,对于此类问题,通常假设存在满足条件的参数,然后利用条件求参数范围,若能求出参数范围,则假设成立;反之,假设不成立。 　　【训练3】　(1)已知命题p:“∀x∈R,mx2≥0”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　。  解析　因为x2≥0,所以m≥0。 答案　m≥0 (2)已知命题p:“∃x∈R,关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　。  解析　Δ=(2)2-4m≥0,即m≤3。 答案　m≤3 随堂达标检测 　 1.(多选题)下列命题中,是全称量词命题的是(　　) A.任何一个实数乘0都等于0 B.自然数都是正整数 C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析　ABC是全称量词命题。 答案　ABC 2.下列命题中,是存在量词命题的是(　　) A.有些自然数是偶数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.对任意实数a,b,c,关于x的方程ax2+bx+c=0都有两个实数解 解析　命题A含有存在量词;命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;命题D是全称量词命题。 答案　A 3.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是(　　) A.有一个x∈R,使x2>3成立 B.对有些x∈R,使x2>3成立 C.任选一个x∈R,使x2>3成立 D.至少有一个x∈R,使x2>3成立 解析　“∀x∈R,x2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词。 答案　C 4.对任意x>8,x>a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　。  解析　因为对于任意x>8,x>a恒成立,所以大于8的数恒大于a,所以a≤8。 答案　a≤8 学科网（北京）股份有限公司 $$