第1章 2.1 第2课时 充要条件(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　充要条件 情境导入 课程标准 　　 我们学习了充分条件与必要条件,知道了导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,还有条件和结论唯一的结构,在我们生活上,也有很多类似的问题,如开关A闭合与B灯亮的关系,让我们一探究竟吧! 通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系。 新知自主学习 充要条件 一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q。 p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”。 当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件。 　 微思考 1.若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题。这种说法对吗? 提示:正确。若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q,故此说法正确。 2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里? 提示:(1)p是q的充要条件说明p是条件,q是结论。(2)p的充要条件是q说明q是条件,p是结论。 课堂合作探究 　 类型一　充要条件的判断 　　【例1】　在下列各题中,试判断p是q的什么条件。 (1)p:a=b,q:ac=bc; (2)p:a+5是无理数;q:a是无理数; (3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (4)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA。 解　(1)因为a=b⇒ac=bc,而ac=bc不能推出a=b,所以p是q的充分条件,但不是必要条件。 (2)因为a+5是无理数⇒a是无理数,并且a是无理数⇒a+5是无理数,所以p是q的充要条件。 (3)因为a2+b2=0⇒a=b=0,并且a=b=0⇒a2+b2=0,所以p是q的充要条件。 (4)因为A∩B=A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB,并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B=A,所以p是q的充要条件。 　　(1)判断p是q的充分必要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立。若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件。 (2)在已知充要条件的前提下,充分条件是不确定的,只要保证是充要条件的一个子集即可,而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集。 　　【训练1】　(1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 解析　a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0。 答案　D (2)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则A⊆(A∩B)的充要条件为　　　　;一个充分不必要条件可为　　　　。  解析　A⊆(A∩B)⇔A⊆B,B={x|3≤x≤22}。若A=⌀,则2a+1>3a-5,解得a<6;若A≠⌀,则A⊆B⇔⇔6≤a≤9。 综上可知,A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9;一个充分不必要条件可为6≤a≤9。 答案　a≤9　6≤a≤9(答案不唯一) 类型二　充要条件的证明 　　【例2】　证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0。 证明　(1)充分性:因为ac<0, 所以Δ=b2-4ac>0,<0。 所以方程ax2+bx+c=0有两个实数根。 设方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1,x2, 则x1x2=<0, 所以一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根。 (2)必要性:因为一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=<0, 所以ac<0。 故一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0。 　　充要条件的证明思路 在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明。在证明时,要注意:若证明“p的充要条件是q”,那么“充分性”是q⇒p,“必要性”是p⇒q;若证明“p是q的充要条件”,则与之相反。 提醒:证明时一定要注意证明的方向性,分清充分性与必要性的证明方向。 　　【训练2】　已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1。 证明　充分性:若a+b=1, 则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立。 必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0。 因为a+b≠0,所以a+b-1=0, 即a+b=1,必要性成立, 综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1。 类型三　充要条件的探求 　　【例3】　对于非零实数x,y,有x>y,试探求<的充要条件,并加以证明。 解　由<,知>0。 又x>y,则x-y>0,因此xy>0,即x>y,且<⇒xy>0。 反过来,因为x>y,所以y-x<0。 因为xy>0,所以>0。所以<0,即<。 综上,x>y时,<的充要条件是xy>0。 　　求充要条件的方法 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合,这就要求转化时思维要缜密。 提醒:p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;q成立则p成立”。 　　【训练3】　设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　) A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5 C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>5 解析　由题知故选A。 答案　A 随堂达标检测 　 1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1。故选A。 答案　A 2.设p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数,则p是q成立的(　　) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　p⇒q,但qp。 答案　B 3.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是　　　　。  解析　由题意知|x|>a恒成立,因为|x|≥0,所以a<0。 答案　a<0 4.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　。  解析　函数y=x2+mx+1的对称轴为x=-=1,所以m=-2。 答案　m=-2 日常生活中的“充要条件” 　　【典例】　在如图所示的电路图中,“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件? 　　[解]　如图①,闭合开关A或者闭合开关C都可以使灯泡B亮;反之,若要使灯泡B亮,不一定非要闭合开关A。因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件。如图②,闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮;反之,若要使灯泡B亮,则开关A必须闭合。因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件。如图③,闭合开关A可使灯泡B亮;反之,若要使灯泡B亮,开关A一定是闭合的。因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件。如图④,闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B不亮;反之,灯泡B亮也可不闭合开关A,只要闭合开关C即可。因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件。 　　“充分”的含义是“有它即可”,“必要”的含义是“无它不可”。用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系,更容易理解和接受。反之,用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象,则更加明白和透彻。 学科网（北京）股份有限公司 $$