第1章 1.2 集合的基本关系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

1.2　集合的基本关系 情境导入 课程标准 　　 星座,是指天上一群在天球上投影的位置相近的恒星的组合。设小熊座中的星星构成集合A,所有恒星构成集合B,那么集合A与集合B有什么关系呢?这就是本节课我们所要学习的集合间的关系。 1.理解集合之间包含与相等的含义。 2.能识别给定集合的子集。 3.在具体情境中,了解空集的含义。 4.能使用Venn图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用。 新知自主学习 一、子集的相关概念 (1)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) Venn图:为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图。 (2)集合相等 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B,即对于两个集合A与B,若A⊆B,且B⊆A,则A=B。 (3)真子集的概念 对于两个集合A与B,如果A⊆B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)。 二、集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A。 (2)空集是任何集合的子集,即⌀⊆A。 (3)对于集合A,B,C: ①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C; ②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C; ③若A⊆B,A≠B,则A⫋B。 微提醒 真子集概念的理解 在真子集的定义中,A,B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A。 　 微思考 1.A⊆B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合? 提示:A⊆B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若A=⌀,则A中不包含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素,而此时可以说集合A是集合B的子集。 2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么? 提示:符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系,而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系。 课堂合作探究 　 类型一　集合的子集问题 　　【例1】　(1)集合{a,b,c}的所有子集为　　　　　　　　,其中它的真子集有　　　　个。  答案　⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}　7 (2)写出满足{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P。 解　由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P为{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}。 　　(1)假设集合A中含有n个元素,则有:①A的子集的个数有2n个;②A的非空子集的个数有(2n-1)个;③A的真子集的个数有(2n-1)个;④A的非空真子集的个数有(2n-2)个。 (2)求给定集合的子集的两个注意点:①按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;②在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身。 　　【训练1】　已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集。 解　A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}。所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}。 类型二　集合间关系的判断 　　【例2】　指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}。 解　(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系。 (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B。 (3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⫋B。 (4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故N⫋M。 　　判断集合关系的方法 (1)观察法:一一列举观察。 (2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系。 (3)数形结合法:利用数轴或Venn图。 　　【训练2】　(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　) 解析　解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N⫋M,其对应的Venn图如选项B所示。 答案　B (2)已知集合M={x|y2=2x,y∈R}和集合P={(x,y)|y2=2x,y∈R},则两个集合间的关系是(　　) A.M⊆P B.P⊆M C.M=P D.M,P互不包含 解析　由于集合M为数集,集合P为点集,因此M与P互不包含。 答案　D (3)已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么(　　) A.P⫋M B.M⫋P C.M=P D.M≠P 解析　由M={(x,y)|x+y<0,xy>0}知x<0,y<0,故M=P。 答案　C 类型三　根据集合的包含关系求参数 　　【例3】　已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A。求实数m的取值范围。 解　因为B⊆A, ①当B=⌀时,m+1≤2m-1,解得m≥2。 ②当B≠⌀时,有 解得-1≤m<2,综上得m≥-1。 　　(1)①分析集合间的关系时,首先要分析、简化每个集合。②借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示。 (2)此类问题要注意对空集的讨论。 　　【训练3】　(1)已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}。 ①若A⫋B,求a的取值范围; ②若B⊆A,求a的取值范围。 解　①若A⫋B,由图可知a>2。 ②若B⊆A,由图可知1≤a≤2。 (2)已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足A⊆B的实数a的取值范围。 解　①当a=0时,A=⌀,满足A⊆B。 ②当a>0时,A=。 又因为B={x|-1<x<1}且A⊆B,如图作出满足题意的数轴: 所以所以a≥2。 ③当a<0时,A=。因为A⊆B,如图所示,所以所以a≤-2。 综上所述,a的取值范围是{a|a=0或a≥2或a≤-2}。 随堂达标检测 　 1.集合{x,y}的子集个数是(　　) A.1　　　 　 B.2 C.3　　　 　 D.4 解析　解法一:集合{x,y}的子集有⌀,{x},{y},{x,y},共有4个。 解法二:集合内有2个元素,子集个数为22=4个。 答案　D 2.(多选题)若A={1},下列关系正确的是(　　) A.⌀⊆⌀　　 B.A⊆A　　 C.⌀⊆A　　 D.⌀∈A 答案　ABC 3.若B={0,1,2,3,4,7,8},C={0,3,4,7,9},则满足A⊆B,A⊆C的集合A有　　　　个。  解析　因为A⊆B,且A⊆C,则A⊆{0,3,4,7},一一列出可得A有16个。 答案　16 4.已知集合P={x|-2<x<3},Q={x|x-a≥0}。若P⊆Q,求实数a的取值范围。 解　Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},P⊆Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图。 由图可得a≤-2。故实数a的取值范围是a≤-2。 学科网（北京）股份有限公司 $$