课时达标检测8 全称量词与存在量词(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(八)　全称量词与存在量词 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.给出下列四个命题,其中是真命题的是(B) A.∀x∈R,x2>0 B.∃x∈Z,x3<1 C.∀x∈N,x>1 D.∃x∈Q,x2=2 解析　对于A,当x=0时,x2>0不成立,故A为假命题;对于B,当x=0时,满足x3<1,故B为真命题;对于C,当x=1时,x>1不成立,故C为假命题;对于D,由x2=2可得x=±,且±均为无理数,故D为假命题.故选B. 2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是(A) A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy D.存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy 解析　“对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy”为对应的全称量词命题,选项A正确. 3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(C) A.∀x∈R,2x+1>0 B.若2x为偶数,则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 解析　对A,是全称量词命题,但不是真命题,故A不正确;对B,是全称量词命题,但不是真命题,故B不正确;对C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;对D,是真命题,但不是全称量词命题,故D不正确.故选C. 4.已知命题p:∃x∈R,x2+4x+a=0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是(B) A.0<a<4 B.a>4 C.a<0 D.a≥4 解析　因为p是假命题,所以方程x2+4x+a=0没有实数根,即Δ=16-4a<0,即a>4.故选B. 5.已知A={x|1≤x≤2},命题“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(C) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 解析　当该命题是真命题时,只需a≥(x2)max,x∈A={x|1≤x≤2}.又y=x2在1≤x≤2上的最大值是4,所以a≥4.因为a≥4a≥5,a≥5⇒a≥4,故选C. 二、多项选择题 6.下列命题中是真命题的是(ACD) A.∀x∈R,2x2-3x+4>0 B.∀x∈{1,-1,0},5x+4>0 C.∃x∈N,≤x D.∃x∈N*,使x为29的约数 解析　对于A,因为2x2-3x+4=2-+4=2+>0,故A是真命题;对于B,因为当x=-1时,5x+4<0,故B是假命题;对于C,令x=4,则=2≤4,故C是真命题;对于D,因为1和29都是29的约数,故D是真命题.故选ACD. 7.下列命题是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的有(ABD) A.有一个x∈R,使得x2>3成立 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 C.任选一个x∈R,都有x2>3成立 D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立 解析　C选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意,故选ABD. 三、填空题 8.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是 存在量词命题 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”),用符号表示为 ∃x,y∈R,x+y>1 .  解析　命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是存在量词命题,用符号表示为“∃x,y∈R,x+y>1”. 9.试判断下列全称量词命题的真假: ①∀x∈R,x2+2>0;②∀x∈N,x4≥1;③对任意x,y,都有x2+y2≠0. 其中真命题的个数为 1 .  解析　①由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0,所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.②由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.③当x=y=0时,x2+y2=0,所以是假命题. 10.若“∀x∈R,x2+4x≥m”是真命题,则实数m的取值范围为 {m|m≤-4} .  解析　由题意,y=x2+4x=(x+2)2-4的最小值为-4,所以m≤-4. 四、解答题 11.判断下列命题哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假性. (1)对所有的正实数t,为正且<t; (2)存在实数x,使得x2-3x-4=0; (3)存在实数对(x,y),使得3x-4y-5>0; (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 解　(1)为全称量词命题,且为假命题,如取t=1,则<t不成立. (2)为存在量词命题,且为真命题,因为判别式Δ=b2-4ac=25>0,所以存在实数x,使得x2-3x-4=0. (3)为存在量词命题,且为真命题,如取实数对(2,0),则3x-4y-5>0成立. (4)为全称量词命题,且为真命题. 12.已知命题“∃x∈{x|-3≤x≤2},3a+x-2=0”为真命题,求实数a的取值范围. 解　由3a+x-2=0,得3a-2=-x,因为-3≤x≤2,所以-2≤-x≤3,所以-2≤3a-2≤3,即0≤a≤,故实数a的取值范围是. 素养提升 综合运用 13.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使命题“∀a∈M,a∉A”为真命题的集合M是(D) A.{a|a≥-3} B.{a|a>-3} C.{a|a≤-3} D.{a|a<-3} 解析　因为x+3≥0,所以A={x|x≥-3}.又因为对∀a∈M,都有a∉A,所以a<-3.故选D. 14.根据下述事实,得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为 ∀n∈N*且n≥2,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2 .  13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2, 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2, …… 解析　根据已知等式可得,对于任意n∈N*且n≥2,总有13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2,所以得到如下全称量词命题:∀n∈N*且n≥2,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2. 拓广探究 15.若对于一切x∈R且x≠0,都有|x|>ax,求实数a的取值范围. 解　若x>0,由|x|>ax得a<=1,若x<0,由|x|>ax得a>=-1,若对于一切x∈R且x≠0,都有|x|>ax,则实数a的取值范围是-1<a<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$