第1章 集合与常用逻辑用语 测评卷(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=(C) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 解析　由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},所以A∩B={1,2}.故选C. 2.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∪(∁RB)=(B) A.{x|x>1} B.{x|x≥-1} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2} 解析　由A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},可知∁RB={x|x≥1},所以A∪(∁RB)={x|x≥-1}.故选B. 3.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(C) A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0 C.∃x∈R,|x|+x2<0 D.∃x∈R,|x|+x2≥0 解析　“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是“∃x∈R,|x|+x2<0”.故选C. 4.“”是“>0”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为⇒>0,>0⇒>0”的充分不必要条件.故选A. 5.命题“关于x的方程ax2-x-2=0在(0,+∞)上有解”的否定是(B) A.∃x∈(0,+∞),ax2-x-2≠0 B.∀x∈(0,+∞),ax2-x-2≠0 C.∃x∈(-∞,0),ax2-x-2=0 D.∀x∈(-∞,0),ax2-x-2=0 解析　原命题即“∃x∈(0,+∞),ax2-x-2=0”,其否定为“∀x∈(0,+∞),ax2-x-2≠0”.故选B. 6.如图,I是全集,M,P,S是I的三个子集,则阴影部分所表示的集合是(B) A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∩∁IS C.(M∪P)∩S D. ∁I(M∩P)∩S 解析　由已知中的Venn图可得,阴影部分的元素属于M,属于P,但不属于S,所以阴影部分表示的集合为M∩P∩∁IS=(M∩P)∩∁IS.故选B. 7.若p:x2+x-6=0是q:ax-1=0(a≠0)的必要不充分条件,则实数a的值为(D) A.- B.-或 C.- D.或- 解析　p:x2+x-6=0,即p:x=2或x=-3.因为a≠0,所以q:x=.又p是q的必要不充分条件,所以=2或=-3,解得a=或a=-.故选D. 8.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B中的所有元素之和为(D) A.0 B.2 C.3 D.6 解析　依题意,A*B={0,2,4},其所有元素之和为6.故选D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则(AC) A.A∩B={0,1} B.∁UB={4} C.A∪B={0,1,3,4} D.集合A的真子集个数为8 解析　由题意,A∩B={0,1},A正确;∁UB={2,4},B不正确;A∪B={0,1,3,4},C正确;集合A的真子集个数为23-1=7,D不正确.故选AC. 10.下列说法正确的有 (ABD) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“∀x<1,x2<1”的否定是真命题 C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥1”的必要不充分条件 D.“-2<x<3”是“(x2-2|x|+4)(x2-2x-3)<0”的必要不充分条件 解析　对于A,由不等式<1,解得a<0或a>1,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件,所以是正确的.对于B,因为当x=-2<1时,x2=4>1,所以命题“∀x<1,x2<1”是假命题,所以其否定是真命题,所以是正确的.对于C,若x,y∈R,当x≥2且y≥2时,可得x2+y2≥1是成立的,即充分性成立,反之,例如,当x=1,y=1时,满足x2+y2≥1,但x≥2且y≥2不成立,即必要性不成立,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥1”的充分不必要条件,所以不正确.对于D,不等式(x2-2|x|+4)(x2-2x-3)<0,可化为[(|x|-1)2+3](x2-2x-3)<0,所以只需x2-2x-3=(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3,所以“-2<x<3”是“(x2-2|x|+4)(x2-2x-3)<0”的必要不充分条件,所以是正确的.故选ABD. 11.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},则下列选项中,满足A∩B=⌀的实数a的取值范围的有(CD) A.0≤a≤6 B.a≤2或a≥4 C.a≤0或a≥6 D.a≥8 解析　由题意得A={x|a-1<x<a+1},B={x|1<x<5,x∈R},又因为A∩B=⌀,所以a+1≤1或a-1≥5,即a≤0或a≥6.故满足题意的有选项C,D.故选CD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=5-x2,x∈R},则M∪N= R .  解析　由题意知M={y|y≥1},N={y|y≤5},故M∪N=R. 13.若p:m-1≤x≤2m+1,q:2≤x≤3,q是p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是 {m|1≤m≤3} .  解析　因为q是p的充分不必要条件,所以{x|2≤x≤3}⫋{x|m-1≤x≤2m+1},则且两个等号不同时取到,解得1≤m≤3. 14.设全集U={x||x|<4,且x∈Z},S={-2,1,3},若P⊆U,(∁UP)⊆S,则这样的集合P共有 8 个.  解析　U={-3,-2,-1,0,1,2,3},因为∁U(∁UP)=P,所以存在一个∁UP,即有一个相应的P(如当∁UP={-2,1,3}时,P={-3,-1,0,2};当∁UP={-2,1}时,P={-3,-1,0,2,3}等).因为S的子集共有8个,所以P也有8个. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3},求∁RA,∁R(A∩B),(∁RA)∩B. 解　因为A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3},所以∁RA={x|x≤-2,或x≥3},A∩B={x|-2<x<3}=A.所以∁R(A∩B)=∁RA={x|x≤-2,或x≥3},(∁RA)∩B={x|-3<x≤-2,或x=3}. 16.(本小题满分15分)设命题p:实数x满足a<x<3a,其中a>0;命题q:实数x满足x≤1或x≥2. (1)若a=1,且p,q均为真命题,求实数x的取值范围; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解　(1)当a=1时,命题p:实数x满足1<x<3;命题q:实数x满足x≤1或x≥2.因为p,q均为真命题,所以解得2≤x<3.所以命题p,q均为真命题时,实数x的取值范围是{x|2≤x<3}. (2)因为p是q的充分不必要条件,所以集合{x|a<x<3a}是集合{x|x≤1,或x≥2}的真子集,所以即0<a≤或a≥2,所以当p是q的充分不必要条件时,实数a的取值范围是{a|0<a≤,或a≥2}. 17.(本小题满分15分)在①{x|a-1≤x≤a};②{x|a≤x≤a+2};③{a|≤x≤+3}这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.若问题中的a存在,求a的值,若a不存在,请说明理由. 已知集合A=　　　　,B={x|1≤x≤3}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解　当选条件①时,因为“x∈A ”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B,即解得2≤a≤3.所以实数a的取值范围是{a|2≤a≤3}. 当选条件②时,因为“x∈A ”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B,即解得a=1.此时A=B,不符合条件.故不存在a的值满足题意. 当选条件③时,因为“x∈A ”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B,即该不等式组无解,故不存在a的值满足题意. 18.(本小题满分17分)求证:方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是-<m<0. 证明　(1)充分性:因为-<m<0,所以方程x2-2x-3m=0的判别式Δ=4+12m>0,且-3m>0,所以方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根. (2)必要性:若方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根,则有解得-<m<0.综合(1)(2)知,方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是-<m<0. 19.(本小题满分17分)定义两种新运算“􀱇”与“􀱋”,满足如下运算法则:对任意的a,b∈R,有a􀱇b=ab,a􀱋b=.设全集U={x|x=(a􀱇b)+(a􀱋b),-2<a≤b<1且a∈Z,b∈Z},A={x|x=2(a􀱇b)+,-1<a<b<2且a∈Z,b∈Z},B={x|x2-3x+m=0}. (1)求集合U和A; (2)集合A,B是否能满足(∁UA)∩B=⌀?若能,求出实数m的取值范围;若不能,请说明理由. 解　(1)全集U中x=(a􀱇b)+(a􀱋b)=ab+,当a=-1时,b=0或b=-1,此时x=-或x=1;当a=0时,b=0,此时x=0,所以U=.由A中x=2(a􀱇b)+=2ab+,当a=0时,b=1,此时x=-,即A=. (2)因为∁UA={0,1},当(∁UA)∩B=⌀时,B=⌀或B=A.当B=⌀时,方程无实根,Δ=(-3)2-4m<0,解得m>;B=A时,方程有实根为-.所以此时m的值不存在.综上知,实数m的取值范围是{m|m>}. 学科网（北京）股份有限公司 $$