5.5.2 简单的三角恒等变换(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

5.5.2　简单的三角恒等变换 情境导入 课程标准 　　同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗?半角、全角主要是针对标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角占一个字节,但不管是半角还是全角,汉字都要占两个字节.任意角中是否也有“全角”与“半角”之分,二者有何数量关系? 能运用三角恒等变换公式进行简单的恒等变换. 知识点一　半角公式 [探究]　余弦的二倍角展开有几种形式?请写出. 提示:三种形式:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 【知识梳理】 sin=±. cos=±. tan=±(无理形式). tan==(有理形式). 【例1】　已知sin θ=,<θ<3π,求cos和tan. 解　因为sin θ=,且<θ<3π,所以cos θ=-=-.由cos θ=2cos2-1,得cos2==.因为<<,所以cos=-=-.tan==2. 利用半角公式求值的思路 　　(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正弦、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算. (4)下结论:结合(2)求值. 【训练1】　已知sin θ=-,3π<θ<π,则tan的值为(B) A.3 B.-3 C. D.- 解析　因为3π<θ<π,sin θ=-,所以cos θ=-,tan==-3.故选B. 知识点二　积化和差与和差化积公式 【知识梳理】 (1)积化和差公式 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]. cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]. sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. (2)和差化积公式 sin α+sin β=2sincos. sin α-sin β=2cossin. cos α+cos β=2coscos. cos α-cos β=-2sinsin. 【例2】　求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值. 解　解法一:sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=·(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+[sin 70°+sin(-30°)]=+(cos 100°-cos 40°+sin 70°)=+(-2sin 70°·sin 30°+sin 70°)=+(-sin 70°+sin 70°)=. 解法二:sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=(1-cos 40°)+cos 50°(cos 50°+sin 20°)=(1-cos 40°)+cos 50°(sin 40°+sin 20°)=(1-cos 40°)+cos 50°·2sin 30°cos 10°=(1-cos 40°)+cos 50°cos 10°=·(1-cos 40°)+(cos 60°+cos 40°)=. 解法三:令A=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°,B=cos220°+sin250°+cos 20°sin 50°.则A+B=2+sin 70°,A-B=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°)=-sin 70°-,两式相加得2A=,即A=,故sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=. 　　积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想. 【训练2】　已知sin A+sin 3A+sin 5A=a,cos A+cos 3A+cos 5A=b.求证:(2cos 2A+1)2=a2+b2. 证明　由题意知(sin A+sin 5A)+sin 3A=2sin 3Acos 2A+sin 3A=a,(cos A+cos 5A)+cos 3A=2cos 3Acos 2A+cos 3A=b,所以sin 3A(2cos 2A+1)=a　①,cos 3A(2cos 2A+1)=b　②.①2+②2,得(2cos 2A+1)2=a2+b2. 知识点三　辅助角公式 【知识梳理】 asin x+bcos x=sin(x+φ).其中tan φ=,φ所在象限由a和b的符号确定,或者sin φ=,cos φ=. 【例3】　已知函数f(x)=cos·cos,g(x)=sin 2x-. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合. 解　(1)f(x)==cos2x-sin2x=-=cos 2x-,所以f(x)的最小正周期T==π. (2)h(x)=f(x)-g(x)=cos 2x-sin 2x=cos,当2x+=2kπ(k∈Z)时,h(x)有最大值,此时x的取值集合为{x|x=kπ-,k∈Z}. 　　研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x+φ)的形式,以便研究函数的性质. 【训练3】　已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 解　(1)由已知,得f(x)=-=-·cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,所以f(x)的最小正周期T==π. (2)因为x∈,所以2x-∈,所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,且f=-,f=-,f=,所以f(x)在区间,最小值为-. 知识点四　实际应用 【例4】　如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取才能使△OAB的周长最大? 解　设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsin α,OB=Rcos α,所以l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α=R(sin α+cos α)+R=Rsin+R.因为0<α<,所以<α+<,所以l的最大值为R+R=(+1)R,此时,α+=,即α=,故当∠AOB=时,△OAB的周长最大. 　　解决此类问题,关键是合理引入自变量,恰当表示题中的有关量,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解. 【训练4】　要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛,应怎样截取,才能使花坛的面积最大? 解　如图,设圆心为O,长方形面积为S,∠AOB=α,则AB=Rsin α,OB=Rcos α,所以S=2AB·2OB=2Rsin α·2Rcos α=2R2sin 2α,所以当α=时,花坛的面积最大,Smax=2R2.此时,AB=R,OB=R.所以截取矩形的长为R,宽为R时,花坛面积最大,最大值为2R2. 当|堂|检|测 1.已知cos α=,α∈,则sin=(A) A. B.- C. D. 解析　由题知∈,所以sin>0,sin==.故选A. 2.若cos α=,且α∈(0,π),则cos+sin的值为(B) A. B. C. D. 解析　cos α=,且α∈(0,π),所以∈.所以cos== ==,sin===.所以cos+sin=+=.故选B. 3.函数y=sin 2x+cos2x的最大值为  .  解析　因为y=sin 2x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin+,所以函数的最大值为. 4.设a=sin 2°+cos 2°,b=1-2sin213°,c=,则a,b,c的大小关系是 c<a<b .  解析　因为函数y=sin x在上单调递增,且a=sin 2°cos 60°+cos 2°sin 60°=sin 62°;b=cos 26°=sin 64°;c=sin 60°,所以c<a<b. 学科网（北京）股份有限公司 $$