5.5.2 第1课时简单的三角恒等变换(一) 课时作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换(一) 课时作业 基础练 1.已知cos =,720°<α<900°,则sin 等于(　　) [A]- [B]- [C] [D] 2.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有(　　) [A]c<b<a [B]a<b<c [C]a<c<b [D]b<c<a 3.若tan α=,且α为第一象限角,则sin 等于(　　) [A] [B]± [C] [D]- 4.已知α是锐角,cos α=,则cos(+)等于(　　) [A]- [B]+ [C]- [D]- 5.设直角三角形中两锐角分别为A和B,则cos Acos B的取值范围是(　　) [A](0,]　　 [B](0,1)　 [C][,1) [D][,1) 6.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan 的可能取值为(　　) [A] [B]1 [C]2 [D]不存在 7.(5分)将下列各式化成积的形式: (1)sin(α+)-sin(α-)=　　　　;  (2)sin x+=　　　　　　　　　　.  8.(5分)计算:tan 20°+4sin 20°=　　　　.  9.(14分)某同学在一次研究性学习中发现,以下四个式子的值都等于同一个常数. ①sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°; ②sin212°+cos242°+sin 12°cos 42°; ③sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°; ④sin2(-10°)+cos220°+sin(-10)°cos 20°. (1)试从上述四个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 10.(15分)化简: (1)+; (2)(3π<α<4π). 强化练 11.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　) [A]-　 [B]-　　 [C]　　 [D] 12.(5分)在△ABC中,cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C=　　　　.  13.(15分)已知α,β∈(0,),且满足=cos(α+β). (1)求证:tan β=. (2)求tan β的最大值,并求当tan β取得最大值时tan(α+β)的值. 拓展练 14.数学里有一种证明方法叫做无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明数学命题的方法.如下图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由 tan ∠CAH=可以直接证明的三角函数公式是(　　) [A]tan = 　[B]tan = [C]tan = 　[D]tan = 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换(一) 课时作业 基础练 1.已知cos =,720°<α<900°,则sin 等于(　　) [A]- [B]- [C] [D] 【答案】 A 【解析】 因为720°<α<900°,所以180°<<225°,因为cos =, 所以sin =-=-=-.故选A. 2.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有(　　) [A]c<b<a [B]a<b<c [C]a<c<b [D]b<c<a 【答案】 C 【解析】 a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,b=2sin 13°cos 13°=sin 26°, c=sin 25°,因为y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增,所以a<c<b.故选C. 3.若tan α=,且α为第一象限角,则sin 等于(　　) [A] [B]± [C] [D]- 【答案】 B 【解析】 因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,且是第一或第三象限角.当是 第一象限角时,sin ==;当是第三象限角时,sin =-=-.故sin =±. 故选B. 4.已知α是锐角,cos α=,则cos(+)等于(　　) [A]- [B]+ [C]- [D]- 【答案】 D 【解析】 因为α是锐角,所以0<<,因为sin2===,cos2===,所以 sin =,cos =,所以cos(+)=cos cos -sin sin =×-×=-.故选D. 5.设直角三角形中两锐角分别为A和B,则cos Acos B的取值范围是(　　) [A](0,]　　 [B](0,1)　 [C][,1) [D][,1) 【答案】 A 【解析】 因为直角三角形中两锐角分别为A和B,所以A+B=C=, 则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B),再结合A-B∈(-,),可得cos(A-B)∈(0,1], 所以cos(A-B)∈(0,],即cos Acos B∈(0,].故选A. 6.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan 的可能取值为(　　) [A] [B]1 [C]2 [D]不存在 【答案】 AD 【解析】 2sin α=4sin cos =1+cos α=2cos2,当cos =0时,tan 不存在,当cos ≠0时, tan =.故选AD. 7.(5分)将下列各式化成积的形式: (1)sin(α+)-sin(α-)=　　　　;  (2)sin x+=　　　　　　　　　　.  【答案】 (1)cos α　 (2)2sin(+)cos(-) 【解析】 (1)sin(α+)-sin(α-) =2cos ·sin =2cos αsin =cos α.(也可直接展开合并) (2)sin x+=sin x+sin =2sin ·cos =2sin(+)cos(-). 8.(5分)计算:tan 20°+4sin 20°=　　　　.  【答案】 【解析】 原式=+4sin 20° == = ==. 9.(14分)某同学在一次研究性学习中发现,以下四个式子的值都等于同一个常数. ①sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°; ②sin212°+cos242°+sin 12°cos 42°; ③sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°; ④sin2(-10°)+cos220°+sin(-10)°cos 20°. (1)试从上述四个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 【解】 (1)选择③,计算如下: sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=++×=. (2)三角恒等式:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=.证明如下: sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=++sin α(cos α-sin α)= 1-+(cos 2α-sin 2α)+sin 2α-(1-cos 2α)=1-+cos 2α-sin 2α+sin 2α- +cos 2α=. 10.(15分)化简: (1)+; (2)(3π<α<4π). 【解】 (1)法一　原式=+=+==. 法二　原式====. (2)由3π<α<4π,得<<2π,<<π,<<,则cos >0,cos <0,cos >0, 所以原式==== ==2cos . 强化练 11.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　) [A]-　 [B]-　　 [C]　　 [D] 【答案】 D 【解析】 因为sin α+sin β=(cos β-cos α),所以2sin cos =×(-2)sin ·sin ,所以tan =.又α∈(0,π),β∈(0,π),所以0<<,所以=,即α-β=.故选D. 12.(5分)在△ABC中,cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C=　　　　.  【答案】 -1 【解析】 法一　cos 2A+cos 2B+cos 2C =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1 =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2[π-(A+B)]-1 =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1 =2cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]-1 =4cos(A+B)cos Acos B-1 =4cos(π-C)cos Acos B-1 =-4cos Acos Bcos C-1, 所以cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos A·cos Bcos C=-1. 法二　取特殊值A=B=C=, 则cos A=cos B=cos C=,cos 2A=cos 2B=cos 2C=-, 所以cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C=-×3+4×××=-1. 13.(15分)已知α,β∈(0,),且满足=cos(α+β). (1)求证:tan β=. (2)求tan β的最大值,并求当tan β取得最大值时tan(α+β)的值. (1)【证明】 因为=cos(α+β), 所以=cos αcos β-sin αsin β, 所以sin β=sin αcos αcos β-sin2αsin β, 所以tan β=sin αcos α-sin2αtan β, 所以tan β=. (2)【解】 由(1)得,tan β===,因为α,β∈(0,),所以tan α∈(0,+∞), 由tan β==≤=,当且仅当tan α=时,等号成立,此时tan β取得最大值. 因为=cos(α+β),所以=cos(α+β), 所以sin[(α+β)-α]=sin αcos(α+β),所以sin(α+β)cos α-sin αcos(α+β)=sin αcos(α+β), 所以sin(α+β)cos α=2sin αcos(α+β),所以tan(α+β)=2tan α=. 拓展练 14.数学里有一种证明方法叫做无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明数学命题的方法.如下图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由 tan ∠CAH=可以直接证明的三角函数公式是(　　) [A]tan = 　[B]tan = [C]tan = 　[D]tan = 【答案】 B 【解析】 由已知∠COB=θ,AO=OC,则∠CAH=,又tan ∠CAH=tan =,sin θ=, cos θ=,AH=AO+OH=OC+OH,即CH=OC·sin θ,OH=OC·cos θ,所以tan === =.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $