1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 情境导入 课程标准 　　某日报曾刊发《创新,从敢于否定开始》一文,其中有这样一段话:“培养一流创新人才,敢于否定的精神非常重要,一旦下定决心进行研究,首先就要敢于否定别人的成果,并想一想:前人的成果有哪些是不对的,有什么方面可以改善,有什么地方可以加强”.结合上述这段话,谈谈你对“否定”一词的认识,并由此猜想“命题的否定”是什么意思. 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 知识点一　全称量词命题的否定 【知识梳理】 (1)全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定:∃x∈M,綈p(x).也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题. (2)常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 【例1】　写出下列命题的否定,并判断原命题否定的真假. (1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根; (2)等圆的面积相等; (3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3; (4)每个三角形至少有两个锐角. 解　(1)该命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定是“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根.”因为当Δ=12-4×1×(-m)=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程x2+x-m=0没有实数根,所以原命题的否定是真命题. (2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”,其否定是“存在一对等圆,其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题. (3)该命题的否定:至少存在一个x∈Z,x2的个位数等于3,因为02=0,12=1,22=4,32=9,42=16,52=25,62=36,72=49,82=64,92=81,…,所以这是一个假命题. (4)该命题的否定:有的三角形至多有一个锐角,由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题. 　　1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等. 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可. 【训练1】　命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是(C) A.所有实数的平方是负实数 B.不存在一个实数,它的平方是负实数 C.存在一个实数,它的平方是负实数 D.不存在一个实数它的平方是非负实数 解析　原命题是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题,要在改变量词的同时否定结论,将“所有”变“存在”,“非负实数”变“负实数”.则其否定为“存在一个实数,它的平方是负实数”.故选C. 知识点二　存在量词命题的否定 【知识梳理】 存在量词命题p:∃x∈M,p(x),它的否定:∀x∈M,綈p(x).也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题. 【例2】　(1)命题“∃x∈∁RQ,x3∈Q”的否定是(D) A.∃x∈∁RQ,x3∉Q B.∃x∉∁RQ,x3∈Q C.∀x∉∁RQ,x3∉Q D.∀x∈∁RQ,x3∉Q 解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“∃x∈∁RQ,x3∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ,x3∉Q”.故选D. (2)命题“关于x的方程ax2-x-2=0在{x|x>0}上有解”的否定是(B) A.∃x∈{x|x>0},ax2-x-2≠0 B.∀x∈{x|x>0},ax2-x-2≠0 C.∃x∈{x|x<0},ax2-x-2=0 D.∀x∈{x|x<0},ax2-x-2=0 解析　该命题可以表述为“∃x∈{x|x>0},ax2-x-2=0”,其否定是“∀x∈{x|x>0},ax2-x-2≠0”.故选B. 　　1.对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词. (2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等. 2.存在量词命题否定后的真假判断方法 存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可. 【训练2】　命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数. (1)写出命题p的否定. (2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真? 解　(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0. (2)要使命题p的否定为真,则需要使的解集不为空集,a,b应满足的条件是b<a. 知识点三　求参数的取值范围 【例3】　已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0,q:∃x∈R,ax2+ax+1≤0.若p与q均为假命题,求实数a的取值范围. 解　因为p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0,q:∃x∈R,ax2+ax+1≤0,所以綈p:∃x∈R,ax2+2x+1=0,綈q:∀x∈R,ax2+ax+1>0.由题意得綈p与綈q都是真命题.由綈p为真命题得a=0或故a≤1.由綈q为真命题得a=0或故0≤a<4.所以解得0≤a≤1.故实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}. 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围. (2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决. 【训练3】　若命题“存在x∈R,使得ax2+2x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围为 {a|a>1} .  解析　命题“∃x∈R,使得ax2+2x+a≤0”是假命题,则命题“∀x∈R,使得ax2+2x+a>0”是真命题.所以①当a≤0时,不符合题意.②⇒a>1.所以实数a的取值范围为{a|a>1}. 当|堂|检|测 1.命题“∃x∈R,x2-2x-3≤0”的否定是(D) A.∀x∈R,x2-2x-3≤0 B.∃x∈R,x2-2x-3≥0 C.∃x∈R,x2-2x-3>0 D.∀x∈R,x2-2x-3>0 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题,一方面要改量词即“∃”改为“∀”;另一方面要否定结论,即“≤”改为“>”.故选D. 2.全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(C) A.所有能被5整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被5整除 C.存在一个能被5整除的整数不是奇数 D.存在一个奇数,不能被5整除 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题,而A,B是全称量词命题,所以A,B错误.因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”,所以D错误,C正确.故选C. 3.若命题“∃x<2 024,x>a”是假命题,则实数a的取值范围是 {a|a≥2 024} .   解析　由于命题“∃x<2 024,x>a”是假命题,因此其否定“∀x<2 024,x≤a”是真命题,所以a≥2 024. 4.命题p:∀x∈R,x2-2x-3≥0的否定綈p是 ∃x∈R,x2-2x-3<0 , 綈p是一个 真 命题(填“真”或“假”).   解析　命题p是一个全称量词命题,其否定形式为“∃x∈R,x2-2x-3<0”.因为x2-2x-3<0有解,故为真命题. 课外阅读　对命题否定不完全致错 【典例】　已知命题p:存在一个实数x,使得x2-x-2<0,那么綈p为　　　　.  【易错解法】　错解一:綈p为“存在一个实数x,使得x2-x-2≥0”. 错解二:綈p为“对任意的实数x,都有x2-x-2<0”. 错解三:綈p为“∀x∉R,使得x2-x-2≥0”. 【易错探因】　该命题是存在量词命题,其否定应是全称量词命题,但错解一得到的綈p仍是存在量词命题,显然只对结论进行了否定,而没有将存在量词改为全称量词;错解二只将存在量词改为全称量词,而没有对结论进行否定;错解三对命题的适用范围也进行了否定. 【正确解答】　綈p:对任意的实数x,都有x2-x-2≥0. 　　对含有量词的命题进行否定时,①牢记全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.注意不能只否定结论,而忘记了改变量词;也不能只改变量词,而忘记了对结论进行否定.②牢记命题的否定与原命题的真假性相反,可以用此来检验是否对命题进行了正确的否定. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 ▶导语:相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础.方程、不等式与函数之间具有内在联系,利用函数观点把它们统一起来,体现了数学知识的联系性和整体性.本章利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题,进一步体现用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法. 要点精准概括 2个重要方法:作差法、作商法 7个重要性质:不等式的七条性质 1种重要关系:三个“二次”之间的关系 1种最值求法:利用基本不等式 3个关键能力:推理论证能力、运算求解能力、数学建模能力 学科网（北京）股份有限公司 $$