1.5.1 全称量词与存在量词(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 情境导入 课程标准 学校为了迎接秋季田径运动会,正在排练由500名学生参加的开幕式团体操表演.这500名学生符合下列条件:①所有学生都来自高二年级;②至少有30名学生来自高二(1)班.这就涉及了全称量词与存在量词. 　通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 知识点一　全称量词与全称量词命题 【知识梳理】 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. (3)全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,p(x)成立,可简记为∀x∈M,p(x). (4)全称量词命题的真假判断:要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题. 【例1】　判断下列命题是否为全称量词命题,并判断真假. (1)自然数的平方大于或等于零; (2)所有的二次函数的图象的开口都向上; (3)矩形的对角线相等; (4)平面内,与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线. 解　(1)全称量词命题.表示为∀n∈N,n2≥0,真命题. (2)全称量词命题.对于任意二次函数,它的图象的开口都向上,假命题. (3)全称量词命题,且为真命题. (4)全称量词命题,且为真命题. 　　(1)判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有“所有的,任意一个,一切,每一个,任给”等表示全体的量词,有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别. (2)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 【训练1】　判断下列全称量词命题的真假. (1)每个四边形的内角和都是360°; (2)任何实数都有算术平方根; (3)∀x∈{y|y是无理数},x2是无理数. 解　(1)真命题.(2)负数没有算术平方根,假命题.(3)x=是无理数,但x2=2是有理数,假命题. 知识点二　存在量词与存在量词命题 【知识梳理】 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. (3)存在量词命题的表述形式:存在M中的元素x,p(x)成立,可简记为∃x∈M,p(x). (4)存在量词命题的真假判断:要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题. 【例2】　(1)下列命题中,是存在量词命题且为真命题的是(A) A.存在x<0,x2-2x-3=0 B.有一个实数x,使x2+2x+4=0 C.∀x∈R,=x D.已知an=2n,bm=3m,对于任意n,m∈N*,an≠bm 解析　A.存在量词命题,因为x2-2x-3=0的根为x=-1或3,所以存在x=-1<0,使x2-2x-3=0,故A为真命题;B.存在量词命题,由于Δ=22-4×4=-12<0,方程无实根,故B为假命题;C.全称量词命题,=|x|=故C为假命题;D.全称量词命题,当n=3,m=2时,a3=b2,故D为假命题.故选A. (2)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假. ①有的集合中存在两个相同的元素; ②∀a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3; ③存在一个x∈R,使=0; ④对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有sin A=cos B. 解　①是存在量词命题,由集合中元素的互异性可知,此命题是假命题. ②是全称量词命题,∀a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3是真命题. ③是存在量词命题,因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题. ④是全称量词命题,根据锐角三角函数的定义可知,对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有sin A=cos B,是真命题. 存在量词命题真假的判断方法 判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性.若找到一个元素x∈M,使p(x)成立,则该命题是真命题;若不存在x∈M,使p(x)成立,则该命题是假命题. 【训练2】　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假. (1)存在两个正实数x,y使x2+y2=0; (2)所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; (3)能被5整除的整数末位数是0. 解　(1)是存在量词命题,因为当x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故此命题是假命题. (2)是全称量词命题,有两个角是45°的三角形,第三个角必是直角,所以此三角形是等腰直角三角形,故此命题是真命题. (3)是全称量词命题,因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该命题是假命题. 知识点三　求参数的取值范围 【例3】　已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠⌀,若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围. 解　由于命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,所以B⊆A,因为B≠⌀,所以解得2≤m≤3.即m的取值范围为{m|2≤m≤3}. 【变式】　(1)把本例中命题p改为“∃x∈A,x∈B”,则实数m的取值范围为 {m|2≤m≤4} .  解析　p为真,则A∩B≠⌀,因为B≠⌀,所以m≥2.所以解得2≤m≤4. (2)把本例中命题p改为“∀x∈A,x∈B”,是否存在实数m,使命题p是真命题?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由. 解　由于命题p:“∀x∈A,x∈B”是真命题,所以A⊆B,B≠⌀,所以无解,所以不存在实数m,使命题p是真命题. 解决含有量词的命题的求参问题的思路 (1)全称量词命题求参的问题,常以一次函数、二次函数等为载体进行考查,一般在题目中出现“恒成立”等词语,解决此类问题,可通过构造函数,利用数形结合求参数范围,也可用分离参数法求参数范围. (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语,对于此类问题,通常假设存在满足条件的参数,然后利用条件求参数范围,若能求出参数范围,则假设成立;反之,假设不成立. 【训练3】　(1)已知命题p:“∀x∈R,mx2≥0”是真命题,则实数m的取值范围是 {m|m≥0} .  解析　因为x2≥0,所以m≥0. (2)已知命题p:“∃x∈R,关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根”是真命题,则实数m的取值范围是 {m|m≤3} .  解析　Δ=(2)2-4m≥0,即m≤3. 当|堂|检|测 1.(多选题)下列命题中,是全称量词命题的是(ABC) A.任何一个实数乘0都等于0 B.自然数都是正整数 C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析　D是存在量词命题.故选ABC. 2.下列命题中,是存在量词命题的是(A) A.有些自然数是偶数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.对任意实数a,b,c,关于x的方程ax2+bx+c=0都有两个实数解 解析　命题A含有存在量词;命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;命题D是全称量词命题.故选A. 3.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是(C) A.有一个x∈R,使x2>3成立 B.对有些x∈R,使x2>3成立 C.任选一个x∈R,使x2>3成立 D.至少有一个x∈R,使x2>3成立 解析　“∀x∈R,x2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词.故选C. 4.已知命题p:∀x∈,-a≥0是真命题,求实数a的取值范围. 解　因为-a≥0,所以a≤.由题意知a≤,又x∈,所以1≤≤2,所以a≤1.故实数a的取值范围为{a|a≤1}. 学科网（北京）股份有限公司 $$