1.4.1 充分条件与必要条件(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 情境导入 课程标准 　　我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话: (1)“有之则必然,无之则未必然”; (2)“无之则必不然,有之则未必然”. 这两句话蕴含什么逻辑关系呢?这就是本节我们所要探讨的内容. 1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. 知识点一　命题的概念及结构 【知识梳理】 (1)一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题. (2)当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论. 【例1】　判断下列命题的真假: (1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d; (2)若x∈N,则x3>x2成立; (3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根; (4)存在一个三角形没有外接圆. 解　(1)假命题.反例:1≠4,5≠2,而1+5=4+2. (2)假命题.反例:当x=0时,x3>x2不成立. (3)真命题.因为m>1⇒Δ=4-4m<0,所以方程x2-2x+m=0无实数根. (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆. 　　要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可. 【训练1】　(多选题)给出的下面四个命题,是真命题的是(AD) A.若xy=1,则x,y互为倒数 B.平面内,四条边相等的四边形是正方形 C.平行四边形是梯形 D.若ac2>bc2,则a>b 解析　AD是真命题,B.平面内,四条边相等的四边形是菱形,但不一定是正方形;C.平行四边形不是梯形.故选AD. 知识点二　充分条件与必要条件 【知识梳理】 (1)一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. 命题方向1:充分条件的判断 【例2】　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若a∈Q,则a∈R; (2)若a<b,则<1; (3)若(a-2)(a-3)=0,则a=3. 解　(1)由于Q⫋R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. (2)由于a<b,当b<0时,>1;当b>0时,<1,因此pq,所以p不是q的充分条件. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定是a=3,因此pq,所以p不是q的充分条件. 命题判断方法 如果命题“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;如果命题“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件. 【训练2】　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB; (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等; (3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解　(1)线段垂直平分线的性质,p⇒q,p是q的充分条件; (2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,pq,p不是q的充分条件; (3)相似三角形的性质,p⇒q,p是q的充分条件. 命题方向2:必要条件的判断 【例3】　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形; (2)若x=1,则x-1=; (3)若a是自然数,则a是正整数. 解　(1)直角三角形不一定是等腰三角形,因此pq,所以q不是p的必要条件. (2)当x=1时,x-1==0,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. (3)因为0是自然数,但不是正整数,所以pq,所以q不是p的必要条件. 　　一般地,定义法主要用于较简单的命题判断,集合法一般需对命题进行化简,等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件,就要看p能否推出q,要判断p是不是q的必要条件,就要看q能否推出p. 【训练3】　指出下列哪些命题中p是q的必要条件? (1)在△ABC中,p:AC>AB,q:∠B>∠C; (2)已知x,y∈R,p:(x-1)(x-2)=0,q:x=1. 解　(1)在△ABC中,由大角对大边知,∠B>∠C⇒AC>AB,所以p是q的必要条件. (2)由x=1⇒(x-1)(x-2)=0,所以p是q的必要条件. 知识点三　根据充分条件(必要条件)求参数的取值范围 【例4】　已知集合P={x|-2<x<4},Q={x|3m-2≤x≤5m+2,m∈R}.若P的充分条件为Q,求实数m的取值范围. 解　由已知,P的充分条件为Q,则Q是P的子集.当3m-2>5m+2,即m<-2时,Q=⌀,满足题意;当3m-2≤5m+2,即m≥-2时,由题意得解得0<m<.综上,实数m的取值范围是{m|m<-2,或0<m<}. 　　根据充分条件(必要条件)求参数的取值范围时,先将p,q等价转化,再根据充分条件(必要条件)与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 【训练4】　已知M={x|a-1<x<a+1},N={x|-3<x<8},若N是M的必要条件,求实数a的取值范围. 解　因为N是M的必要条件,所以M⊆N.于是从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为{a|-2≤a≤7}. 当|堂|检|测 1.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的(A) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件,也不是必要条件 D.无法判断 解析　当a=1时,|a|=1成立,但|a|=1时,a=±1,所以a=1不一定成立.所以“a=1”是“|a|=1”的充分条件.故选A. 2.“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的(C) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既不充分条件,也不必要条件 D.既充分条件,也必要条件 解析　因为-2<x<1x>1或x<-1,且x>1或x<-1-2<x<1,所以“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的既不充分条件,也不必要条件.故选C. 3.若p:a∈M∪N,q:a∈M,则p是q的(B) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既充分条件,也必要条件 D.既不充分条件,也不必要条件 解析　由a∈M∪Na∈M,但a∈M⇒a∈M∪N,即pq,但q⇒p.故选B. 4.若“x>m”是“x>3或x<1”的充分条件但不是必要条件,则m的取值范围是 {m|m≥3} .  解析　由已知条件,知{x|x>m}⫋{x|x>3,或x<1},所以m≥3. 学科网（北京）股份有限公司 $$