1.3 第2课时 补集及综合应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　补集及综合应用 情境导入 课程标准 　　如果学校里所有同学组成的集合记为S,所有男同学组成的集合记为M,所有女同学组成的集合记为F,那么: (1)这三个集合之间有什么联系? (2)如果x∈S且x∉M,你能得到什么结论? 1.在具体情境中,了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 知识点一　全集与补集 [探究1]　A={高一(5)班参加足球队的同学},B={高一(5)班没有参加足球队的同学},U={高一(5)班的同学}. (1)集合A,B,U有何关系? 提示:A⊆U,B⊆U,且A∪B=U. (2)集合B中的元素与U和A有何关系? 提示:集合B中的所有元素属于U,但不属于A. [探究2]　借助Venn图,你能化简∁U(∁UA),∁UU,∁U⌀吗? 提示:∁U(∁UA)=A,∁UU=⌀,∁U⌀=U. 【知识梳理】 (1)全集定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集. 记法:全集通常记作U. 提醒:“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以定义的,它与补集是相互依存、不可分割的两个概念. (2)补集定义 自然语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA 集合语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 ①A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀; ②∁UU=⌀,∁U⌀=U 提醒:∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素组成的集合. 【例1】　(1)已知全集U={-5,-4,-3,3,4,5}. 若集合A={-3,5},则∁UA= {-5,-4,3,4} ;若∁UB={-5,5},则集合B= {-4,-3,3,4} .  (2)已知集合A={x|-1<x≤2}. 若全集U=R,则∁UA= {x|x≤-1,或x>2} ;  若全集U={x|x≤4,x∈R},则∁UA= {x|x≤-1,或2<x≤4} .  解析　U=R,A={x|-1<x≤2},所以∁UA={x|x≤-1,或x>2},如图阴影部分. U={x|x≤4,x∈R},A={x|-1<x≤2}.所以∁UA={x|x≤-1,或2<x≤4},如图阴影部分. 求补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法:定义法. (2)两种处理技巧:①当集合用列举法表示时,可借助Venn图求解.②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解. 【训练1】　(1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则(A) A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析　由题意知M={2,4,5},故选A. (2)已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若∁UA={x|2≤x≤5},则a= 2 .  解析　因为A∪(∁UA)=U,且A∩(∁UA)=⌀,所以A={x|1≤x<2},所以a=2. 知识点二　并集、交集、补集的混合运算 命题方向1:借助Venn图进行运算 【例2】　(1)图中阴影部分表示的集合是(D) A.A∩(∁UB) B.(∁UA)∩B C.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B) 解析　图中白色部分对应的集合为A∪B,阴影部分为剩余部分,根据集合的基本运算即可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B).故选D. (2)设A,B都是由不超过9的正整数组成的全集U的子集,且A∩B={2},(∁UA)∩(∁UB)={1,9},(∁UA)∩B={4,6,8},求集合A和B. 解　U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},在图中(如图)将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入到相应的位置中去,则由A∩B={2},∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)={1,9},(∁UA)∩B={4,6,8},得A∩(∁UB)={3,5,7}.可知A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}. 　　从Venn图的角度讲,A与∁UA就是圈内和圈外的问题,由于(∁UA)∩A=⌀,(∁UA)∪A=U,所以可以借助圈内推知圈外,也可以反推. 【训练2】　(1)设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={1,2,3},则图中阴影部分表示的集合是(A) A.{4} B.{2,4} C.{4,5} D.{1,3,4} 解析　图中阴影部分表示的集合在集合A中但不含集合B中的元素,故图中阴影部分表示的集合是A∩(∁UB).因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,3},所以∁UB={4,5}.因为A={2,4},所以A∩(∁UB)={4}.故选A. (2)已知全集U,M,N是U的非空子集,且∁UM⊇N,则必有(A) A.M⊆∁UN B.M⫋∁UN C.∁UM=∁UN D.M=N 解析　这里M与N是两个抽象的集合,因此经过补集运算后,它们之间的关系就更加抽象了,而这时用Venn图法,则使问题变得形象、直观起来.由图可知M⊆∁UN.要注意:由已知有可能出现∁UM=N,因此有可能∁UN=M.故选A. 命题方向2:借助数轴进行运算 【例3】　已知集合U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪B,A∩(∁UB). 解　如图所示. 因为A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},所以∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},∁UB={x|x<-3,或2<x≤4}.所以A∩B={x|-2<x≤2},(∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4},A∩(∁UB)={x|2<x<3}. 　　解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到. 【训练3】　已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求∁UA,∁UB,(∁UA)∩(∁UB). 解　将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示,则∁UA={x|-1≤x≤3};∁UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3};(∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}. 知识点三　根据补集的运算结果求参数的取值范围 【例4】　设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁UA)∩B=⌀,求实数m的取值范围. 解　解法一:易知A={x|x≥-m},所以∁UA={x|x<-m}.又B={x|-2<x<4},且(∁UA)∩B=⌀,所以-m≤-2,则m≥2.故实数m的取值范围是{m|m≥2}. 解法二:由于(∁UA)∩B=⌀,知B⊆A,又B={x|-2<x<4},A={x|x≥-m},所以-m≤-2,则m≥2.故实数m的取值范围是{m|m≥2}. 【变式】　(1)本例将条件“(∁UA)∩B=⌀”改为“(∁UA)∩B≠⌀”,其他条件不变,则实数m的取值范围是 {m|m<2} .  解析　由本例知∁UA={x|x<-m},B={x|-2<x<4}.因为(∁UA)∩B≠⌀,所以-m>-2,则m<2.故实数m的取值范围是{m|m<2}. (2)本例将条件“(∁UA)∩B=⌀”改为“(∁UB)∪A=R”,其他条件不变,则实数m的取值范围是 {m|m≥2} .  解析　易得A={x|x≥-m},∁UB={x|x≤-2,或x≥4}.又(∁UB)∪A=R,所以-m≤-2,解得m≥2.故实数m的取值范围为{m|m≥2}. 由集合的补集求解参数的方法 (1)有限集:由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)无限集:与集合并、交、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,一般借助数轴分析法求解. 【训练4】　已知集合A={y|y>a2+1,或y<a},B={y|2≤y≤4},若A∩B≠⌀,求实数a的取值范围. 解　因为A={y|y>a2+1,或y<a},B={y|2≤y≤4},不妨先考虑当A∩B=⌀时a的取值范围,在数轴上表示集合A,B,如图所示.由故a≤-≤a≤2.即A∩B=⌀时,a的取值范围为{a|a≤-,或≤a≤2},故A∩B≠⌀时,a的取值范围为{a|a>2,或-<a<}. 当|堂|检|测 1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(∁UA)=(C) A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 解析　依题意得∁UA={1,6,7},故B∩(∁UA)={6,7}.故选C. 2.设全集U是实数集R,M={x|x<-2,或x>2},N={x|1≤x≤3},如图,则阴影部分所表示的集合为(A) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{x|x≤2或x>3} D.{x|-2≤x≤2} 3.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁UB)=(B) A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} D.{x|x>1} 解析　画出数轴,如图所示.∁UB={x|x≤1},则A∩(∁UB)={x|0<x≤1}.故选B. 4.已知全集U=R,A={x|1≤x<b},∁UA={x|x<1,或x≥2},则实数b= 2 .  解析　因为∁UA={x|x<1,或x≥2},所以A={x|1≤x<2}.所以b=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$