1.3 第1课时 并集和交集(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.3　集合的基本运算 第1课时　并集和交集 情境导入 课程标准 　　某班有学生30人,他们的学号分别是1,2,3,…,30,现有a,b两本新书,已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b. 用本节将要学习的知识探讨至少读过一本书或同时读了a,b两本书各有哪些同学. 理解两个集合之间的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集. 知识点一　并集 [探究1]　观察集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={1,2,3,4}.你能说出集合A,B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗? 提示:集合A中的元素都属于集合C,集合B中的元素都属于集合C;集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成. 【知识梳理】 并集的三种语言 文字 语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集 符号 语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} 图形 语言 提醒:并集符号语言中的“或”包含三种情况:①x∈A且x∉B;②x∈A且x∈B;③x∉A且x∈B. 【例1】　(1)已知集合A={2,3,4},B={3,5},则A∪B=(B) A.{3} B.{2,3,4,5} C.{2,3,4} D.{3,5} 解析　因为A={2,3,4},B={3,5},所以A∪B={2,3,4,5}.故选B. (2)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=(C) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} 解析　因为A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},所以A∪B={x|1≤x<4}.故选C. 求集合并集的2种基本方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解. (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解. 【训练1】　(1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=(C) A.{x|-1<x<1} B.{x|1<x<2} C.{x|x>-1} D.{x|x>1} 解析　由题意得A∪B={x|x>-1}.故选C. (2)已知集合A={0,2,4},B={0,1,2,3,5},则A∪B= {0,1,2,3,4,5} .  解析　A∪B={0,2,4}∪{0,1,2,3,5}={0,1,2,3,4,5}. 知识点二　交集 [探究2]　观察集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={2,3},回答下面的问题: (1)集合A与集合B有公共元素吗?它们组成的集合是什么? 提示:有公共元素,组成的集合是{2,3}. (2)集合C中的元素与集合A,B有什么关系? 提示:集合C的所有元素既属于A,又属于B. (3)若D={-1,0,1},则集合D与B有没有公共元素? 提示:没有公共元素. 【知识梳理】 交集的三种语言 文字 语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集 符号 语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 图形 语言 【例2】　(1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为(A) A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3} 解析　易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}.故选A. (2)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N= {x|≤x<16} .  解析　集合M={x|0≤x<16},集合N={x|x≥},则M∩N={x|≤x<16}. 求集合A∩B的常见类型 (1)若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集. (2)若A,B的元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集. (3)若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示. 【训练2】　(1)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= (　A　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 解析　解法一(直接法):因为A={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<<2,所以A∩B={-1,0}.故选A. 解法二(验证法):由题意可知-1∈B,(-1)3=-1∈A;0∈B,03=0∈A,所以A∩B={-1,0},故选A. (2)已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则M∩N=(D) A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)} 解析　由故M∩N={(3,-1)}.故选D. 知识点三　并集与交集的运算性质 【知识梳理】 (1)并集的性质 ①A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. ②A⊆(A∪B),B⊆(A∪B). ③A⊆B⇔A∪B=B. (2)交集的性质 ①A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. ②(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B,(A∩B)⊆(A∪B). 【例3】　已知集合A={x|x≤-1,或x≥3},B={x|a<x<4},若A∪B=R,则实数a的取值范围是(C) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 解析　利用数轴,若A∪B=R,则a≤-1.故选C. 【变式】　(1)将本例中A∪B=R变成A∪B=A,则实数a的取值范围是 a≥3 .  解析　当a≥4时,集合B为空集,满足题意;当a<4时,若要满足A∪B=A,必有a≥3.综上实数a的取值范围是a≥3. (2)将本例中集合B变为B={x|a<x≤4-a},且A∪B=R变为A∩B=⌀,则实数a的取值范围是 a>1 .  解析　当a≥2时,集合B为空集,满足题意;当a<2时,则有a≥-1且4-a<3,故有1<a<2,综上,实数a的取值范围是a>1. 利用集合间的关系求参数范围的一般步骤 (1)若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合,利用数轴得到不同集合间的关系. (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)的问题求解. (3)解方程(组)或不等式(组),从而确定参数的值或取值范围. 【训练3】　已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∪B=B,求实数a的取值范围. 解　A∪B=B⇔A⊆B.当2a>a+3,即a>3时,A=⌀,满足A⊆B.当2a=a+3,即a=3时,A={6},满足A⊆B.当2a<a+3,即a<3时,要使A⊆B,需解得a<-4或<a<3.综上,a的取值范围是{a|a>3}∪{a|a=3}∪{ a|a<-4,或<a<3}={ a|a<-4,或a>}. 当|堂|检|测 1.已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则M∪N=(D) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,9} D.{0,1,3,9} 解析　由于M={0,1,3},所以N={x|x=3a,a∈M}={0,3,9},故M∪N={0,1,3,9}.故选D. 2.若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B= (　　C) A.{1,3,4} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,9} 解析 因为B={x|x+1∈A},分别令x+1=1,x+1=2,x+1=3,x+1=4,x+1=5,x+1=9,得x=0,1,2,3,4,8,所以B={0,1,2,3,4,8},于是A∩B={1,2,3,4},故选C. 3.若集合A={x|-1<x<5},B={x|x≤1,或x≥4},则A∪B= R ,A∩B= {x|-1<x≤1,或4≤x<5} .  解析　借助数轴可知:A∪B=R,A∩B={x|-1<x≤1,或4≤x<5}. 4.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是 {a|a≤1} .  解析　因为A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,如图,当a≤1时,成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$