1.2 集合间的基本关系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.2　集合间的基本关系 情境导入 课程标准 星座,是指天上一群在天球上投影的位置相近的恒星的组合.设小熊座中的星星构成集合A,所有恒星构成集合B,那么集合A与集合B有什么关系呢?这就是本节课我们所要学习的集合间的关系. 1.理解集合之间包含与相等的含义. 2.能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中,了解空集的含义. 4.能使用Venn图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用. 知识点一　子集的概念 [探究1]　观察下面两个实例,回答问题: ①集合A={0,1,2},B={0,1,2,3}; ②集合A={x|x=2k,k∈Z},B={偶数}. (1)两个实例中集合A中的元素都是集合B中的元素吗? 提示:都是B中的元素. (2)两个实例中集合B中的元素都是集合A中的元素吗? 提示:实例①B中的元素0,1,2是A中元素,但3∉A. 实例②中集合B中的元素都是A中的元素. 【知识梳理】 (1)子集的三种语言 ①文字语言:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”). ②符号语言:若x∈A⇒x∈B,则A⊆B(或B⊇A). ③图形语言(Venn图)(如图所示). Venn图:我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. (2)集合相等:一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. 【例1】　指出下列各对集合之间的关系: (1)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (2)A={x|x是正方形},B={x|x是矩形}; (3)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (4)M={x|x∈N*,x是4和6的公倍数},N={x|x=12n,n∈N*}. 解　(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形,故A⊆B. (3)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (4)因为4和6的最小公倍数为12,所以M={x|x=12m,m∈N*},又N={x|x=12n,n∈N*},所以M=N. 判断集合间关系的常用方法 【训练1】　(1)已知A={x|x是正数},B={x|x是正整数},C={x|x是实数},那么A,B,C之间的关系是(B) A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C 解析　集合A,B,C的关系如图.故选B.故选B. (2)现有以下三组集合: ①{a,b}和{b,a}; ②{1,0}和{(1,0)}; ③{y|y=x2,x∈R}和{x|y=x2,x∈R}.其中,满足集合相等的有(C) A.3组 B.2组 C.1组 D.0组 解析　①中两集合含有相同的元素,故这两个集合相等;②中集合{1,0}含有两个元素1,0,而集合{(1,0)}中只有一个元素(1,0),这两个集合不相等;③中两集合都是用描述法表示的,但代表元素不一样,集合{y|y=x2,x∈R}中y≥0,即表示非负实数,集合{x|y=x2,x∈R}中x∈R,即表示全体实数,这两个集合不相等.故选C. 知识点二　真子集与空集 [探究2]　观察下面两个例子,回答问题: ①集合A={1,5,6},B={5,6}; ②集合M={x∈R|x2-2x+2=0}. (1)实例①中,集合A中的元素都是集合B中的元素吗?集合B中的元素都是集合A中的元素吗? 提示:不全是.1∈A,但1∉B;集合B中的元素都是集合A中的元素.(2)集合M中有多少个元素? 提示:M中没有元素. 【知识梳理】 (1)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). (2)空集:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作⌀.规定:空集是任何集合的子集. 【例2】　设A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0},写出集合A的子集,并指出其中哪些是它的真子集. 解　由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得(x-4)(x+1)(x+4)2=0,解方程得x=-4或x=-1或x=4.故集合A={-4,-1,4},由0个元素构成的集合A的子集:⌀.由1个元素构成的集合A的子集:{-4},{-1},{4}.由2个元素构成的集合A的子集:{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.由3个元素构成的集合A的子集:{-4,-1,4}.因此集合A的子集有:⌀,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},{-4,-1,4}.集合A的真子集有:⌀,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}. 　　在写含有多个元素的集合的子集时,先考虑⌀,再从第1个元素开始,第1个元素与其后的每个元素搭配,然后不看第1个元素,将第2个元素与其后的每个元素搭配,以此类推,以保证不重不漏. 【训练2】　写出满足{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P. 解　由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P有{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}. 知识点三　根据集合的包含关系求参数 【例3】　已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A.求实数m的取值范围. 解　因为B⊆A,当B=⌀时,m+1≤2m-1,解得m≥2;当B≠⌀时,有解得-1≤m<2.综上,得m≥-1. 　　(1)①分析集合间的关系时,首先要分析、简化每个集合.②借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心圈表示. (2)此类问题要注意对空集的讨论. 【训练3】　(1)已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. ①若A⫋B,求a的取值范围; ②若B⊆A,求a的取值范围. (2)已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足A⊆B的实数a的取值范围. 解　(1)①若A⫋B,由图可知a>2. ②若B⊆A,由图可知1≤a≤2. (2)①当a=0时,A=⌀,满足A⊆B. ②当a>0时,A=.又因为B={x|-1<x<1}且A⊆B,如图作出满足题意的数轴: 所以所以a≥2. ③当a<0时,A=.因为A⊆B,如图所示,所以所以a≤-2. 综上所述,a的取值范围是{a|a=0或a≥2或a≤-2}. 当|堂|检|测 1.下列四个集合中是空集的是(B) A.{⌀} B.{x∈R|x2+1=0} C.{x|1<x<2} D.{x|x2+2x+1=0} 解析　方程x2+1=0无实数解,所以集合{x∈R|x2+1=0}为空集.故选B. 2.(多选题)若A={1},下列关系正确的是(ABC) A.⌀⊆⌀ B.A⊆A C.⌀⊆A D.⌀∈A 3.若B={0,1,2,3,4,7,8},C={0,3,4,7,9},则满足A⊆B,且A⊆C的集合A有 16 个.  解析　因为A⊆B,且A⊆C,则A⊆{0,3,4,7},一一列出可得A有16个. 4.已知集合A={x|x=(2k+1),k∈Z},B={x|x=k±,k∈Z},则集合A,B之间的关系为 A=B .  解析　A={x|x=,k∈Z}={…,-,-,-,,,,…},B={x|x=,k∈Z}={…,-,-,-,,,,…},故A=B. 学科网（北京）股份有限公司 $$