1.1 第1课时 集合的概念(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 ▶导语:集合语言是现代数学的基本语言.我们需要学会使用集合语言表示有关数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性.逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,要体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用,培养数学思维的严谨性和准确性. 要点精准概括 6个重要概念:集合、子集、充要条件、全称量词命题、存在量词命题、命题的否定 3个重要特征:集合中的元素具有确定性、互异性、无序性 3种重要运算:集合的交集、并集、补集 3种重要方法:列举法、描述法、Venn图法 2个关键能力:数学抽象能力、逻辑推理能力 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第1课时　集合的概念 情境导入 课程标准 在生活与学习中,为了方便,我们要经常对事物进行分类.例如图书馆中的书是按照所 属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.学习了集合、元素等概念,我们就会对事物的分类有了更清晰的认识. 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. 知识点一　元素与集合的概念 【知识梳理】 (1)元素:一般地,把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合,简称为集,通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 【例1】　(多选题)下列每组对象,能构成集合的是(BCD) A.中国各地的美丽乡村 B.截至2024年1月,获得国家最高科学技术奖的科学工作者 C.大于3小于10的所有整数 D.方程x2-2 024x-2 025=0的所有实数根 解析　A中“美丽”标准不明确,不符合确定性,B,C,D中的元素标准明确,均可构成集合.故选BCD. 一组对象能否构成集合的判断方法 判断指定的一组对象能否构成集合,关键是看这组对象是否满足集合中元素的“确定性”,即能否找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素. 【训练1】　(多选题)下列所给对象能构成集合的是(AD) A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B.高中数学必修第一册课本上的所有难题 C.著名的艺术大师 D.某校高一年级的16岁以下的学生 解析　A,D能构成集合,二者有确定的判断标准.A中元素是“到原点的距离等于1的点”,D中元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”.B,C项的对象不能构成集合,因为“难题”与“著名”标准不明确.故选AD. 知识点二　集合中元素的特征 [探究1]　分别由元素1,2,3和3,2,1组成的两个集合有何关系?集合中的元素有没有先后顺序? 提示:两集合相等.集合中的元素没有先后顺序(无序的). [探究2]　英文单词school的所有字母能否组成一个集合?若能组成一个集合,则该集合中有几个元素?为什么? 提示:能,因为集合中的元素是确定的.5个元素,因为集合中的元素是互不相同的. 【知识梳理】 (1)集合中元素的特征:确定性、互异性与无序性. (2)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. 【例2】　(1)下列各组中,集合P与Q表示同一个集合的是(A) A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合 B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合 C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集 解析　由于A中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C,D中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.故选A. (2)已知集合A只含有两个元素1和a2,若a∈A,则实数a的值为 0 .  解析　由题意可知,a=1或a2=a.①若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.②若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上,实数a的值为0. 　　求得参数的值后,要将参数值代回原集合进行检验,判断其是否满足集合中元素的互异性,否则易造成错解. 【训练2】　(1)已知集合A中有0,m,m2-3m+2三个元素,且2∈A,则实数m为(B) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可 解析　由2∈A可知,若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,当m=0时,与m≠0相矛盾,当m=3时,此时集合A中含有3个元素0,2,3.故选B. (2)已知集合A中含有两个元素1和a2,则实数a的取值范围是 a≠±1 .  解析　由集合中元素的互异性,可知a2≠1,所以a≠±1. 知识点三　元素与集合的关系 【知识梳理】 (1)元素和集合之间的关系 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A. (2)常用数集及其记法 名称 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 提醒:(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写. (2)0属于自然数集. 【例3】　(1)(多选题)集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是(BD) A.∈M B.0∈M C.1∈M D.-∈M 解析　 >1,故A错误;-2<0<1,故B正确;1∉M,故C错误;-2<-<1,故D正确.故选BD. (2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若2∈A,则实数a的取值范围为 a>-4 .  解析　因为2∈A,所以2×2+a>0,即a>-4. 判断元素与集合的关系的两种方法 (1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可,此时应明确集合是由哪些元素构成的. (2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应明确已知集合中的元素具有什么特征. 【训练3】　(1)给出下列关系式:∈R;0.3∈Q;∈N;-5∈Z.其中正确的个数是(C) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由各个数集的含义可知,∈R,0.3∈Q,-5∈Z正确,故有3个关系式正确.故选C. (2)若集合A是由所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2是不是集合A中的元素? 解　是.因为-6+2=3×(-2)+×2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以]-6+2是集合A中的元素. 当|堂|检|测 1.(多选题)以下元素的全体能构成集合的是(ABC) A.中国古代四大发明 B.周长为10 cm的三角形 C.方程x2+2x+1=0的实数根 D.地球上的小河流 解析　在A中,中国古代四大发明具有确定性,能构成集合;在B中周长为10 cm的三角形具有确定性,能构成集合;在C中,方程x2+2x+1=0的实数根为-1,能构成集合;在D中,地球上的小河流不确定,因此不能构成集合.故选ABC. 2.(多选题)由不超过5的实数组成集合A,若a=+,则(ACD) A.a∈A 　 B.a2∈A C.∈A D.a+1∈A　 解析　因为a=+<+=4<5,所以a∈A.因为a+1<++1=5,所以a+1∈A.因为a2=()2+2×+()2=5+2>5,所以a2∉A.因为===-<5,所以∈A.故选ACD. 3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是(A) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 解析　A中元素a,b,c,d各不相等,所以四边形只可能是梯形.故选A. 4.集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若P=Q,则a= ±2 .  解析　由题意得a2=4,a=±2. 学科网（北京）股份有限公司 $$