3 勾股定理的应用-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(北师大版)

“可可 8 3 勾股定理的应用 【边学边练】 知识点一几何体表面的最短路径问题 1.如图，已知圆柱的底面周长为10cm,高为12cm,一只蚂蚁在圆柱表面爬行觅食，它先从 点B爬到点C,吃到食物后又从另一面爬回点B,则蚂蚁爬行的最短路程为 cm. 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，长方体底面是长为3cm、宽为1cm的长方形，其高为6cm.如果用一根细线从 点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,请利用侧面展开图计算，最少需要 cm长的细线， 知识点二勾股定理及直角三角形判定的实际应用 3.如图是一段台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm,每个台阶的高度都是 15cm,连接AB,则AB的长为 cm. 4.在综合实践课上，为检测背景墙面（如图所示）的边AD和边BC是否分别垂直于底 边AB,某小组测量得边AD长为1m,边AB长为2.4m,点B和点D之间的距离是 2.6m.请你依据测量数据判断：边AD垂直于边AB吗？说明理由. 校训 勤奋严谨敏捷睿智 【随堂小测】 1.如图，圆柱的底面周长为14cm,圆柱高为24cm,一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面 从下底面点A爬到与之相对的上底面点B,那么它爬行的最短路程为 A.14 cm B.15 cm C.24 cm D.25 cm 5 cm 第1题图 第2题图 2.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经 过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为 () A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.13 cm 7 3.(核心素养·模型观念)如图，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航 行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小 时后，甲、乙两渔船相距 海里 个北 东 0 C 24m B 12 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.(易错题)如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在 花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 m,却踩伤了花草 5.如图是一个有盖的盒子，其长、宽、高如图中标注（单位：cm),若在盒中放一根细棒， 则细棒的最大长度为 cm. 6.如图，有三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm,3dm,2dm.A和B是这段台阶上 两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶 面爬行到点B的最短路程为 7.如图，湖的两岸有两点A,B,在与AB垂直的BC方向上的点C处测得AC=50米 BC=40米.求： (1)A,B两点间的距离： (2)点B到直线AC的距离 8.如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中 AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河 边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,测得BC=1.5千米， CH=1.2千米，BH=0.9千米 (1)试判断△CHB是否为直角三角形，并说明理由： (2)新路CH比原路AC短多少千米？ \B 83勾股定理的应用 2.D【解析】如图，将长方体的侧面展开，则妈蚁爬行 【边学边练】 的最短路径为PQ.因为长方体的底面边长分别为2m 1.26【解析】把圆柱的侧面展开，展开图如图所示，点 和4cm,高为5cm, B到，点C的最短距离为线段BC的长 所以PA=4+2+4+2=12(cm),0A=5cm. 在R△ABC中，∠BAC=90°，AC=12Cm,AB为底面半 所以PQ2=PA2+AQ=13,所以PQ=13cm 圆蔬长，AB=5cm,所以BC2=AB2+AC=132.所以BC 故选D. =13m.所以从点B爬到点C,然后再沿另一面爬回 点B.妈蚁爬行的最短路程为2BC=2×13=26(cm), 3.10【解析】因为甲渔船离开港口0向东北方向航行， 乙渔船离开港口O向西北方向航行， 所以∠AOB=90°.所以出发一个小时后，OA=8×1= 8(海里)，0B=6×1=6(海里) 2.10【解析】将长方体的侧面展开，如图，连接AB 所以AB=0A2+0B2=82+62=100.所以AB=10海里. 因为AM'=1+3+1+3=8(cm),A'B=6cm, 4.6【解析】在R△ABC中，AC=7m,BC=24m,则AB 所以AB2=82+62=102.所以AB=10cm =AC+BC=252,所以AB=25m.所以他们仅仅少走了 AC+BC-AB=7+24-25=6(m). 5.17【解析】在Rt△B'BC中，BC=12cm,BB'=CC'= 9cm,由勾股定理得BC2=BC2+BB2=122+92=225= 3.195【解析】如图，由题意得AC=15×5=75(cm),BC 15,所以B'C=15cm. =30×6=180(cm). 在R△A'BC中，A'B'=D'C'=8em,B'C=15em, 由勾股定理得AB=AC2+BC=75+1802=1952. 由勾股定理得A'C2=A'B2+BC2=82+152=289= 所以AB=195cm 17,所以A'C=17cm.细捧的最大长度为17cm 6.17dm【解析】三级台价平面展开图为长方形，宽为 8dm,长为(2+3)×3=15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行 到，点B的最短路程是此长方形的对角线长。 4解：边AD垂直于边AB.理由如下： 设妈蚁沿台阶面爬行到，点B的最短路程为：dm, 因为AD2+AB=12+242=6.76.BD=2.62=6.76. 由勾股定理得x=8+15=17,所以x=17.所以妈蚁 所以AD+AB=BD,所以∠DAB=90°.所以AD⊥AB. 沿着台阶面爬行到点B的最短路程为17m. 【随堂小测】 1.D【解析】如图，把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B 展开后的对应点为B,则妈奴爬行的最短路径为AB' 在Rt△ACB中，AC=24em,B'C=7em,则AB2=7+ 242=252,所以它爬行的最短路程为25cm.故选D. 2 7.解：(1)因为△ABC是直角三角形 所以由勾股定理得AC=BC+AB 因为AC=50米，BC=40米， 所以4B-502-402-90=302 115 所以AB=30米，即A,B两点间的距离是30米 所以2+(3-)2=，解得= (2)如图，过点B作BD⊥AC于点D 6 因为Sam=B,Bc=4C,m, 所以A5= 6故选A 所以AB·BC=AC·BD 4.解：因为R△ABC中，AC=6cm.BC=8cm, 所以BD=4B.BC_30x401200 所以AB=AC+BC2=100=102.所以AB=10cm 24(米).即点B到 AC 5050 因为将△ABC沿直线AD折叠，使直角顶点C落在斜 直线AC的距离是24米 边AB上的点E处， 所以AE=AC=6cm. 所以BE=AB-AE=10-6=4(cm).设CD=xcm 由折叠的性质得DE=CD=xcm,∠AED=∠C=90. 所以∠BED=90°，BD=BC-CD=(8-x)cm. 在Rt△BDE中，BD=DE+BE2, 8.解：(1)是理由如下： 所以(8-x)2=x2+42,解得x=3. 在△CHB中，因为C+Bf=1.22+0.92=2.25.BC2= 所以CD=DE=3cm. 2.25,所以CH+BH=BC.所以△CHB是直角三角形. (2)设AC=x千米，在R△ACH中，由已知得AC=x千 所以5ae46:0E=7×6x3=9(em。 米，AH=(x-0.9)千米，CH=1.2千米， 5.C【解析】在R1△ABC中，AB=6,BC=8,所以AC= 由勾股定理得AC=AH+Cf 10.设BE=a,则CE=8-a,根据折叠的性质可知BE= 所以x2=(x-0.9)2+1.2 EF=a,AF=AB=6.∠AFE=∠B=90°，所以CF=4. 解得x=1.25.1.25-1.2=0.05(千米). ∠CFE=90°.在Rt△CEF中，EF=a,CE=8-a,CF=4, 答：新路CH比原路AC短0.05千米. 所以CE=EF2+CF2,即(8-a)2=a2+4.解得a=3. 小专题1利用勾股定理解决折叠问题 所以CE=8-u=5.故选C LA【解析】设BN=x.由折叠的性质可得DN=AN=9-x6.5【解析】因为将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C 因为D是BC的中点，所以BD=3.在R△NBD中，x2+32 恰好经过点D,所以AB=AB=8cm,B'C=BC=10cm, =(9-x)2,解得x=4,即BN=4.故选A CE=CE,∠B=∠C=90°.所以B'D2=AD2-AB2=10 2B【解析】在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=82+62= -82=36=6.所以B'D=6em.所以C'D=B'C'-BD= 100=10,所以AB=10.根据折叠的性质可知AE=AB= 4em.因为DE=CD2+CE2,所以DE2=16+(8-DE)2 I0cm.因为AC=8cm,所以CE=AE-AC=2cm.故选B. 所以DE=5cm 3A【解析】因为沿过点A的直线将纸片折叠，使点B7.解：在长方形ABCD中，∠B=∠D=90°，CD=AB=4, 落在边BC上的点D处， AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF. 所以AD=AB=2,∠B=∠ADB. 由折叠的性质得∠AEF=∠CEF,AE=CE,∠D'=∠D= 因为折叠纸片，使点C与点D重合， 90°，AD'=CD=4.D'F=DF 所以CE=DE,∠C=∠CDE 所以∠AFE=∠AEF,所以AF=AE=CE 因为∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90° 设AF=AE=CE=x,则BE=8-x 所以∠ADB+∠CDE=90°，所以∠ADE=90° 在R△ABE中，由勾股定理得AB+BE=AE, 所以AD+DE2=AE. 即42+(8-x)2=x2,解得x=5. 设AE=x,则CE=DE=3-x 所以AF=5.所以D'F=DF=AD-AF=8-5=3. 116