第2课时 验证勾股定理及其简单应用-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(北师大版)

7# ._.. 可撕可裁 ................. 第2课时 验证勾股定理及其简单应用 【边学边练】 知识点一 勾股定理的证明 1.课堂上,王老师要求学生设计图形来验证勾股定理,同学们经过讨论,给出两种图形 (如图),下列关于能否证明勾股定理的说法中,正确的是 ( A.①能,②不能 B.①不能,②能 C.①,②都能 D.①.②都不能 ### 。 60米 80米 ② C 第1题图 第2题图 知识点二 运用勾股定理解决实际问题 2.如图是某学校的长方形水泥操场,如果一学生要从A角走到C角,至少走 ) A.90米 B.120米 C.100米 D.140米 3.(核心素养·应用意识)如图,某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡,由 于受水流的影响,实际沿着BC航行,上岸地点C与欲到达地点A相距70米,结果发 现BC比河宽AB多10米,求该河的宽度AB.(两岸可近似看作平行) 【随堂小测】 1.(易错题)我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周牌算经》记载,勾股定理的公 式与证明是在商代由商高发现的,故又称之为“商高定理”;三国时代的蒋铭祖对 《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,并给出了另外一个证明.下面四幅图 中,不能证明勾股定理的是 7 ) #### C D 2.如图,某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳,让它垂到地面时比墙高多出了2米,教 练把绳子的下端拉开8米后,发现其下端刚好接触地面,则此攀岩墙的高度为 。_ _~_ B.15米 C.16米 A.10米 D.17米 60 C 水面 150 ....- 1... 乙........ .____ ........... -.-- .------.---- ._._。 乙............. 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.(核心素养·模型观念)如图是一个外轮廊为长方形的机器零件平面示意图,根据图 中的尺寸(单位;mm),可以计算出两圆孔中心B和C的距离为 B.135mm A.120mm C.140mm D.150mm 4.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所 示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形 设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,小正方形的面积为9. 则大正方形的边长为 5.(教材改编题)一根直立于水中的芦苇(BD)高出水面(AC)2米,一阵风吹来,芦苇 的顶端D恰好到达水面的C处,且C到BD的距离AC=6米,水的深度(AB)为 米. 6.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如 图1.火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,AB=a.BC=b.AC=c (1)请你结合图2用文字和符号语言分别叙述勾股定理 (2)请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 图1 图2 7.(跨学科)《西江月》中描述:平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板 高离地.....翻译成现代文为:如图,秋千0A静止的时候,踏板离地高一尺(AC=1 尺),将它往前推进两步(EB三10尺),此时踏板离地五尺(BD=5尺),求秋千绳索的 长度. ,t参考答案及解析 (部分答案不唯一)》 第一章勾股定理 1探索勾股定理 13 第1课时探索勾股定理 所以二10 【边学边练】 (3)因为a:c=3:5,c=20.所以n=12 1.A2.C3.41 因为∠C=90°，所以2=c2-a2=202-122=256=162. 4.解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=25,BC=20. 所以b=16. 由勾股定理得AB=AC2-BC2=25-20=225=152, 第2课时验证勾股定理及其简单应用 所以AB=15. 【边学边练】 【随堂小测】 1.A 1.c 2.C【解析】固为两点之间线段最短，所以AC的长即 2.B【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=AC- 为从A角走到C角的最短距离，根据长方形的对边相 BC=82-42=48,所以正方形ABDE的面积=AB2=48. 等，得BC=AD=60米，根据勾殿定理得AC=60+80 故选B =100,所以AC=100米故选C. 3.C【解析】因为(a-6)2+1b-81=0,所以a-6=0,b-8 3解：设AB=x米，则BC=(x+10)米 =0.所以a=6,b=8.当b=8为直角边长时，第三边长 在R△ABC中，根据勾股定理得x2+70=(x+10)2, 的平方为6+8=100：当6=8为斜边长时，第三边长 解得x=240. 的平方为82-62=28.故选C. 答：河的宽度AB为240米. 4.36 【随堂小测】 5.13【解析】因为AB=AC,AD平分∠BAC, 1.D 所以AD1BC,BD=CD= 2BC=5 2B【解析】设攀岩墙的高AB为x米，则绳子的长AC 为(x+2)米.在Rt△ABC中，BC=8米，AB+BC2=AC, 在R△ADC中，AD=12,CD=5, 所以AC2=AD2+CD2=122+52=169=132. 所以x2+82=(x+2)2.解得x=15.所以AB=15.所以攀 岩墙的高度为15米.故选B. 所以AC的长为13. 3.D【解析】在Rt△ABC中，AC=180-60=120(mm), 6.20【解析】因为AC⊥BD,所以∠AOD=∠AOB= ∠B0C=∠C0D=90°.由勾股定理得AB+CD=A0+ AB=150-60=90(mm),所以BC2=AC2+AB2=1203+ B02+C02+D02,AD2+BC2-A0+D02+B02+C02.所以 902=1502.所以B=150mm. AB2+CD2=AD+BC.因为AD=2,BC=4,所以AB2+ 所以两圆孔中心B和C的距离为150mm.故选D. 4.5 CD2=22+42=20 7.解：(1)在R△ABC中，因为∠C=90°，a=40,c=41, 5.8【解析】设水深为x米，则AB=x米，BC=(x+2)米. 所以2=e2-a2=412-402=81=92.所以b=9. 在R△ABC中，AC=6米，根据勾股定理得AB+AC= BC,即2+62=(x+2),解得x=8所以水的深度为8米 2)在R△4BC中，因为∠C=90°，a=),b= 6.解：(1)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 113 平方 所以△ABC的两积三2 ABXBC-2×6x8=24 在Rt△ABC中，∠B=90°，则有AB+BC2=AC (2)证明：因为S梯形e=SaFc+S△ew+Sar= 7.北偏东55°【解析】如图，连接CD, 必 L=ab 2℃， 公同 2 sc=子·(cb0)·Bc=(a+60)a+b)= +东 医院0 B C超市 由题意得∠B0C=35°，0C=300m,0D=400m, CD=500m. 因为0C+0D=2500,CD=2500. 整理，得a2+b2=c2 所以0C2+0D2=CD」 7.解：设0A=OB=x尺. 所以△COD是直角三角形，∠COD=90 因为EC=BD=5尺，AC=1尺， 所以∠A0D=180°-∠C0D-∠B0C=55 所以EA=EC-AC=5-1=4(尺). 所以公园在医院的北偏东55°方向上 OE=OA-AE=(x-4)尺 8解：(1)因为+c2=2.25+4=625=a2, 在R△0EB中，根据勾股定理得x2=(x-4)2+10. 所以△ABC是直角三角形 解得x=14.5. (2)因为a:b:c=5:13:12, 因此，秋千绳索的长度为14.5尺 所以设a=5x,b=13x,c=12x 2一定是直角三角形吗 所以a2+e2=25x2+144x2=169x2=b2. 【边学边练】 所以△ABC是直角三角形 1.A2.A3.C 9解：符合要求理由如下： 【随堂小测】 因为AD=12,AB=9,CD=17,BC=8.BD=15. 1.C2.c 所以AB+AD=BD2,BD+BC2=CD. 3.B【解析】由题意知a-3=0,b-4=0,c-5=0. 所以△ABD,△BIDC是直角三角形. 所以a=3,b=4,c=5. 所以∠A=90°，∠DBC=90 所以a2+=2.所以三角形的形状是直角三角形，则 故这个零件符合要求 孩三角形的面积为3×4+2=6.故选B. 10.解：因为BC=12,AD为边BC上的中线， 4D【解析】设相邻两个结的间距为m,则此三角形三 所以0-CD-C-6 边的长分别为3m,4m,5m. 因为(3m)2+(4m)2=(5m)2,所以以3m,4m,5m为边 因为AD=8.AB=10.所以BD+AD=AB. 长的三角形是直角三角形.故选D. 所以∠ADB=90°，即AD⊥BC 5直角【解析】由题图可得AB=1+2=5, 因为AD⊥BC,AD为边BC上的中线， BC2=32+42=25,AC2=22+42=20, 所以AB=AC 所以AB2+AC=BC2.所以△ABC是直角三角形. 因为AB=10,所以AC=10 624【解析】图为36+64=100，即AB+BC2=AC2. 所以△ADC的面积S=号D:GD=4C·E 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°. 又因为AB2-36,BC=64,所以AB=6,BC=8 所以了×8x6=子×10x0E解得DE=48 114