课时达标检测6 命题与量词(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

课时达标检测(六)　命题与量词 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.下列语句中是命题的是 (A) A.若x∈R,则x2+4x+7>0 B.你是高一学生吗 C.x≥3 D.作△ABC∽△A'B'C' 解析　根据命题的定义知A中语句是命题。B中语句是疑问句,不涉及真假。C中语句不能判断真假,不是命题。D中语句是祈使句不是命题。故选A。 2.下列命题中是全称量词命题的是 (A) A.圆有内接四边形 B.> C.< D.若三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形为直角三角形 解析　A命题即为所有的圆都有内接四边形,是全称量词命题。其余三命题均不为全称量词命题。故选A。 3.下列命题是存在量词命题的是 (C) A.一次函数都是正比例函数 B.对任意x∈R,x2+x+1<0 C.存在实数大于或者等于3 D.菱形的对角线互相垂直 解析　A,B,D中的命题都是全称量词命题,C中的命题是存在量词命题。 4.“存在集合A,使⌀⫋A”,对这个命题,下面说法中正确的是 (C) A.全称量词命题、真命题 B.全称量词命题、假命题 C.存在量词命题、真命题 D.存在量词命题、假命题 解析　当A≠⌀时,⌀⫋A,是存在量词命题,且为真命题。故选C。 5.下列命题中,假命题是 (C) A.∀x∈R,x2+1>0 B.∃x∈R,x3>x2 C.若a+b=0,则=-1 D.若a>1,b>1,则ab>1 解析　对于A,根据二次函数y=x2+1的性质可知,x2+1>0总成立,故A正确;对于B,取x>1,则x3>x2,故B正确;对于C,若a=b=0,则无意义,故C错误,为假命题;对于D,根据不等式的性质知,当a>1,b>1时,必有ab>1,故D正确。 6.已知命题p:∃x∈R,x2+4x+a=0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是 (A) A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.[4,+∞) D.(-∞,4] 解析　因为p是假命题,所以方程x2+4x+a=0没有实数根,即Δ=16-4a<0,所以a>4。故选A。 二、多项选择题 7.下列命题中,是全称量词命题且为真命题的有 (BC) A.∀x∈R,x2-x+<0 B.所有的正方形都是矩形 C.∀x∈R,x2-2x+2>0 D.至少有一个实数x,使x3+1=0 解析　因为x2-x+=≥0,所以A是假命题;B是全称量词命题且是真命题;x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以C是真命题;D是存在量词命题。故选BC。 8.命题p:存在实数x∈R,使得数据1,2,3,x,6的中位数为3。若命题p为真命题,则实数x的取值集合可以为(ACD) A.{3,4,5} B.{x|x≥2} C.{x|x≥3} D.{x|4≤x≤6} 解析　根据中位数定义可知,只需x≥3,则1,2,3,x,6的中位数必为3。选项A,C,D中的取值集合均满足x≥3,均正确。 三、填空题 9.用符号“∀”或“∃”表示命题:实数的平方大于或等于0为 ∀x∈R,x2≥0 。  解析　确定命题的形式为全称量词命题,然后翻译成符号语言。 10.有下列命题: ①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③空集是任何一个非空集合的真子集;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°。其中既是全称量词命题又是真命题的是 ①②③ ,既是存在量词命题又是真命题的是 ④⑤ 。(填上所有满足要求的序号)  解析　①②③都是全称量词命题,且都为真命题,④⑤⑥都是存在量词命题,但只有④⑤是真命题。 11.已知命题p:∀x∈R,x2+2x-a>0。若p为真命题,则实数a的取值范围是 {a|a<-1} 。  解析　由题意可得a<x2+2x,又因为当x∈R时,x2+2x=x2+2x+1-1=(x+1)2-1≥-1,所以当p为真命题时,实数a的取值范围是{a|a<-1}。 四、解答题 12.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,指出条件和结论,并判断命题的真假。 (1)两个周长相等的三角形面积相等; (2)每个二次函数的图象都与x轴相交; (3)当m>1时,x2-2x+m=0无实根。 解　(1)若两个三角形周长相等,则这两个三角形面积相等,条件是“两个三角形周长相等”,结论是“这两个三角形面积相等”,是假命题; (2)若一个函数是二次函数,则它的图象与x轴相交,条件是“一个函数是二次函数”;结论是“它的图象与x轴相交”,是假命题。 (3)若m>1,则x2-2x+m=0无实根,条件是“m>1”,结论是“x2-2x+m=0无实根”,是真命题。 13.用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题,并判断真假。 (1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立; (2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解; (3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立; (4)所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数。 解　(1)∀x∈R,x2+x+1>0,真命题。 (2)∀a,b∈R,使ax+b=0恰有一解,假命题。如当a=0,b=0时,该方程的解有无数个。 (3)∃x,y∈Z,使3x-2y=10,真命题。 (4)∀x∈Q,使x2+x+1是有理数,真命题。 素养提升 14.命题“任意x∈R,存在m∈Z,m2-m<x2+x+1”是 真 命题(填“真”或“假”)。  解析　对于任意x∈R,x2+x+1=+≥,因此只需m2-m<,即-<m<,又m∈Z,所以当m=0或m=1时,任意x∈R,存在m∈Z,m2-m<x2+x+1成立,因此该命题是真命题。 15.已知p:“∃x∈[-1,1],2x2-a≥0”,q:“∃x∈R,x2+2x+2-a=0”,若p和q都是真命题,求实数a的取值范围。 解　若p为真命题,即∃x∈[-1,1],使a≤2x2成立,即a小于或等于2x2的最大值,所以a≤2。若q为真命题,则关于x的方程x2+2x+2-a=0有实根。所以Δ=4-4×1×(2-a)≥0,解得a≥1。所以实数a的取值范围为[1,2]。 学科网（北京）股份有限公司 $$