2.1.1 等式的性质与方程的解集(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

第二章　等式与不等式 　　▶导语:相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系,等式与不等式是表示数量关系的基本工具,等式与不等式的性质是研究方程、不等式的解集以及比较大小等问题的基础,我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式,再通过方程、不等式解决日常生活中的各种问题。通过本章的学习,进一步认识等式和不等式的意义与价值,体会等式与不等式的内在联系,为后续学习函数奠定基础。 要点精准概括 3个重点内容:一元二次不等式和绝对值不等式的解法,均值不等式及其应用 2个难点内容:均值不等式的灵活运用,不等式的证明 3个思想方法:类比的思想、分类与整合思想、数形结合思想 3个关键能力:推理论证能力、运算求解能力、数学建模能力 第二章　等式与不等式 2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 情境导入 课程标准 　　有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物,有一天它遇见老虎,狐狸说:“我发现了2和5可以相等。我这里有一个方程5x-2=2x-2。等式两边同时加上2,得5x-2+2=2x-2+2,即5x=2x,等式两边同时除以x,得5=2。”老虎瞪大了眼睛,一脸的疑惑。你认为狐狸的说法正确吗? 1.掌握等式的性质,会进行等式的恒等变换; 2.了解十字相乘法,会用十字相乘法分解因式; 3.理解方程的解集,会求简单方程的解集。 新知自主学习 一、等式的性质 　　性质(1):等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立。 表示为:如果a=b,则对任意的c,都有a+c=b+c。 性质(2):等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立。 表示为:如果a=b,则对任意的不为零的c,都有ac=bc。 二、恒等式 　　1.恒等式的含义 一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等。 2.常见的代数恒等式 (1)(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2。 (2)a2-b2=(a+b)(a-b)。 (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。 3.十字相乘法 (1)给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b)。为了方便记忆,已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程,通常用图来表示:,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。 代数式x2+Cx+D能进行因式分解的条件是C2-4D≥0。 (2)用“十字相乘法”分解因式: ①直接利用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行分解; ②利用公式acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)进行分解。 三、方程的解集 　　1.方程(x-x1)(x-x2)=0,当x1≠x2时解集为{x1,x2},当x1=x2时解集为{x1}。 2.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值。求方程解的过程称为解方程。把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。 微思考 　　1.十字相乘法分解因式的关键是什么? 提示:把二次项和常数项分解,交叉相乘,得到两个因数,再把两个因式相加,看它们的和是不是正好等于一次项系数。 2.把方程通过适当变换后,求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗? 提示:把方程通过变换,求出的未知数的值不一定是这个方程的根,也可能是这个方程的增根。 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　恒等式的化简 　　【例1】　(1)化简(x+1)2-(1-2x)2。 解　解法一:(x+1)2-(1-2x)2=x2+2x+1-(1-4x+4x2)=x2+2x+1-1+4x-4x2=-3x2+6x。 解法二:(x+1)2-(1-2x)2=[(x+1)+(1-2x)][(x+1)-(1-2x)]=(2-x)3x=-3x2+6x。 (2)化简(3x+1)2-(x+1)2。 解　解法一:(3x+1)2-(x+1)2=9x2+6x+1-(x2+2x+1)=9x2+6x+1-x2-2x-1=8x2+4x。 解法二:(3x+1)2-(x+1)2=[(3x+1)+(x+1)][(3x+1)-(x+1)]=(4x+2)2x=8x2+4x。 ·反思感悟· 　　(1)使用公式化简时,一定要分清公式中的a,b分别对应题目中的哪个数或哪个整式。 (2)利用公式化简时,要注意选择公式,公式选择恰当,可以有效地简化运算。 　　【训练1】　(1)化简(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)的值是 (C) A.-2m2 B.0 C.-2 D.-1 解析　(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)=(m2+1)(m2-1)-(m4+1)=(m4-1)-(m4+1)=m4-1-m4-1=-2。故选C。 (2)计算(x+3y)2-(3x+y)2的结果是 (B) A.8x2-8y2 B.8y2-8x2 C.8(x+y)2 D.8(x-y)2 解析　解法一:(x+3y)2-(3x+y)2=x2+6xy+9y2-(9x2+6xy+y2)=x2+6xy+9y2-9x2-6xy-y2=8y2-8x2。 解法二:(x+3y)2-(3x+y)2=[(x+3y)+(3x+y)][(x+3y)-(3x+y)]=(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y)=(4x+4y)(-2x+2y)=4(x+y)×2(-x+y)=8y2-8x2。 类型二　“十字相乘法”分解因式 　　【例2】　把下列各式因式分解。 (1)x2+3x+2;(2)6x2-7x-5; (3)5x2+6xy-8y2。 解　(1)x2+3x+2=(x+1)(x+2) 1×2+1×1=3 (2)6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 2×(-5)+3×1=-7 (3)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y) 1×(-4y)+5×(2y)=6y ·反思感悟· 　　十字相乘法因式分解的形式 尝试把某些二次三项式如ax2+bx+c分解因式,先把a分解成a=a1a2,把c分解成c=c1c2,并且排列如下图: 这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2+a2c1,如果它正好等于二次三项式ax2+bx+c中一次项的系数b,那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2),其中a1,c1是上图中上面一行的两个数,a2,c2是下面一行的两个数。 　　【训练2】　分解因式: (1)x2-3x+2;(2)-x2+(a-2)x+2a。 解　(1)x2-3x+2=(x-1)(x-2)。 (2)-x2+(a-2)x+2a=-(x+2)(x-a)。 类型三　方程的解集 　　【例3】　求下列方程的解集。 (1)2x2-8x=0; (2)x(2x-1)=3(2x-1); (3)(x+3)2=4。 解　(1)因式分解,得2x(x-4)=0。于是有2x=0或x-4=0,所以x1=0,x2=4。方程的解集为{0,4}。 (2)原方程整理,得x(2x-1)-3(2x-1)=0。因式分解,得(2x-1)(x-3)=0,于是有2x-1=0或x-3=0,所以x1=,x2=3。方程的解集为。 (3)原方程整理,得(x+3)2-4=0。因式分解,得(x+3+2)(x+3-2)=0。于是有x+5=0或x+1=0,所以x1=-5,x2=-1。方程的解集为{-5,-1}。 ·反思感悟· 　　若方程中有括号,不要急于去掉括号,观察方程是否可采用因式分解法求解。 　　【训练3】　已知关于x的方程(a-1)x2-4x-1+2a=0,x=3是方程的一个根。求a的值及方程的另一个根。 解　将x=3代入方程(a-1)x2-4x-1+2a=0中,得9(a-1)-12-1+2a=0,解得a=2。将a=2代入原方程中得x2-4x+3=0,因式分解得(x-1)(x-3)=0,所以x1=1,x2=3。所以方程的另一个根是x=1。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下列运用等式性质的变形中,正确的是 (D) A.如果a=b,那么a+c=b-c B.如果a=5,那么a2=5a2 C.如果ac=bc,那么a=b D.如果,那么a=b 解析　如果a=b,那么a+c=b+c,故A错误;如果a=5,那么a2=5a,故B错误;如果ac=bc,那么a=b(c≠0),故C错误;如果,那么a=b,故D正确。故选D。 2.将代数式x2+4x-5因式分解的结果为 (A) A.(x+5)(x-1) B.(x-5)(x+1) C.(x+5)(x+1) D.(x-5)(x-1) 解析　利用十字相乘法进行因式分解,得x2+4x-5=(x+5)(x-1)。故选A。 3.已知多项式x2+bx+c因式分解的结果为(x-1)(x+2),则b+c的值为 (C) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 解析　因为(x-1)(x+2)=x2+2x-x-2=x2+x-2,所以b=1,c=-2,所以b+c=-1。故选C。 4.方程2x2-x-3=0的解集是  。  解析　2x2-x-3=(2x-3)·(x+1)=0,x=或x=-1。 等式性质的实际应用　　 　　[典例]　如图所示,天平上的物体a,b,c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同),则物体a与物体c的质量关系是 (　　) A.2a=3c B.4a=9c C.a=2c D.a=c 　　[解析]　由图可知,2a=3b,2b=3c,根据等式的性质,得4a=6b,6b=9c,所以4a=6b=9c,即4a=9c。故选B。 　　[答案]　B 学科网（北京）股份有限公司 $$