1.2.3 第2课时 充要条件(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

第2课时　充要条件 情境导入 课程标准 我们学习了充分条件与必要条件,知道了导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,还有条件和结论唯一的结构。在我们生活中,也有很多类似的问题,如开关A闭合与灯泡B亮的关系,让我们一探究竟吧! 通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系。 新知自主学习 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 充要条件 　　1.一般地,如果p⇒q且qp,则称p是q的充分不必要条件。 2.一般地,如果pq且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件。 3.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分必要条件,简称充要条件,记作p⇔q。 微思考 　　p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗? 提示:不相同,“若p,则q”与“若q,则p”不是相同的命题,它们的条件与结论是不一样的。 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　充要条件的判断 　　【例1】　判断下列各题中,p是否为q的充要条件? (1)设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),p:二次函数的图象开口向上,q:a>0; (2)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (3)p:|x|>3,q:x2>9。 解　(1)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其图象开口向上⇔a>0,所以p是q的充要条件。 (2)若a2+b2=0,则a=b=0,即p⇒q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件。 (3)由于p:|x|>3⇔q:x2>9,所以p是q的充要条件。 ·反思感悟· 　　判断p是q的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度:判断p是q的充分必要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立。若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件。 (2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的。 　　【训练1】　下列各题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)? (1)p:x≠0,q:x+|x|>0; (2)p:a>0,q:关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解; (3)p:ab>0,a,b∈R,q:|a+b|=|a|+|b|; (4)p:c=0,q:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点。 解　(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0,如x=-1≠0,但是x+|x|=0,所以pq,由x+|x|>0可得x>0,可推出x≠0,所以q⇒p,所以p是q的必要不充分条件。 (2)当a>0时,关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解x=-,所以p⇒q,若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a≠0,推不出a>0,所以qp,所以p是q的充分不必要条件。 (3)当ab>0时,|a+b|=|a|+|b|成立,所以p⇒q,因为a=0时,也有|a+b|=|a|+|b|,所以qp,所以p是q的充分不必要条件。 (4)当c=0时,函数y=ax2+bx的图象经过原点;当y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点时,0=a×02+b×0+c,所以c=0,所以p⇔q,所以p是q的充要条件。 类型二　充要条件的证明 　　【例2】　求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明　充分性:若a+b+c=0,则c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0。所以x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根。必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0。所以a+b+c=0是方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件。 ·反思感悟· 　　一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q。 　　【训练2】　已知a,b是实数,求证:a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立的充分条件。该条件是否为必要条件?试证明你的结论。 证明　因为a2-b2=1,所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1,即a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立的充分条件;另一方面,若a4-b4-2b2=1,即a4-(b4+2b2+1)=0,a4-(b2+1)2=0,(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0,又a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1。因此a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立的必要条件。 类型三　探求充要条件 　　【例3】　求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件。 解　①当a=0时,方程为一元一次方程,其根为x=-,符合要求;②当a≠0时,方程为一元二次方程,此时ax2+2x+1=0有实根的充要条件是判别式Δ≥0,即4-4a≥0,从而a≤1。设方程ax2+2x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-,xx2=。(ⅰ)方程ax2+2x+1=0有一负根一正根的充要条件为⇒a<0;(ⅱ)方程ax2+2x+1=0有两个负根的充要条件为⇒0<a≤1。综上所述,方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1。 ·反思感悟· 　　探求充要条件的两种方法 (1)先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件;再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明。 (2)将原命题进行等价变形或转换,直至获得其成立的充要条件,探求的过程同时也是证明的过程,因为探求过程每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证。 　　【训练3】　设A={x|2a+1≤x≤3a-5}(a为实数),B={x|3≤x≤22},则 (1)A⊆A∩B的充要条件为 a≤9 ;  (2)A⊆A∩B的一个充分不必要条件可为 6≤a≤9 (答案不唯一)。  解析　(1)A⊆A∩B⇔A⊆B,B={x|3≤x≤22}。若A=⌀,则2a+1>3a-5,解得a<6;若A≠⌀,则A⊆B⇔解得6≤a≤9。综上可知,A⊆A∩B的充要条件为a≤9。 (2)A⊆A∩B的一个充分不必要条件可为6≤a≤9。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　 1.“x,y均为奇数”是“x+y为偶数”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若x,y均为奇数,则x+y是偶数,若x+y为偶数,x与y不一定都是奇数,也可能都是偶数。 2.已知A,B是非空集合,则“A∪B=B”是“A⫋B”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由A∪B=B,得A⫋B或A=B;反之,由A⫋B,得A∪B=B,所以“A∪B=B”是“A⫋B”的必要不充分条件。 3.“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的 (B) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　x2+(y-2)2=0,即x=0且y=2⇒x(y-2)=0。反之,x(y-2)=0,即x=0或y=2,x2+(y-2)2=0不一定成立。 4.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是 a<0 。  解析　由题意知|x|>a恒成立,因为|x|≥0,所以a<0。 日常生活中的“充要条件”　　 　　[典例]　在如图所示的电路图中,“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件? 　　[解]　如图①,闭合开关A或者闭合开关C都可以使灯泡B亮;反之,若要使灯泡B亮,不一定非要闭合开关A。因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件。如图②,闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮;反之,若要使灯泡B亮,则开关A必须闭合。因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件。如图③,闭合开关A可使灯泡B亮;反之,若要使灯泡B亮,开关A一定是闭合的。因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件。如图④,闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B不亮;反之,灯泡B亮也可不闭合开关A,只要闭合开关C即可。因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件。 ·反思感悟· 　　“充分”的含义是“有它即可”,“必要”的含义是“无它不可”。用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系,更容易理解和接受。反之,用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象,则更加明白和透彻。 学科网（北京）股份有限公司 $$