1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 情境导入 课程标准 　　 “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词。《创新,从敢于否定开始》一文中有这样一段话:“培养一流创新人才,敢于否定的精神非常重要。一旦下定决心进行研究,首先就要敢于否定别人的成果,并想一想:前人的成果有哪些是不对的,有什么方面可以改善,有什么地方可以加强。”结合上述这段话,谈谈你对“否定”一词的认识,并由此猜想“命题的否定”是什么意思。 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定; 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 新知自主学习 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、命题的否定 　　1.一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“􀱑p”,读作“非p”或“p的否定”。 2.如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就是一个假命题;反之亦然。 二、全称量词命题与存在量词命题的否定 　　1.一般地,全称量词命题“∀x∈M,q(x)”的否定是存在量词命题,即:∃x∈M,􀱑q(x)。 2.一般地,存在量词命题“∃x∈M,p(x)”的否定是全称量词命题,即:∀x∈M,􀱑p(x)。 微提醒 　　一些常见词语的否定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的 否定 不是 一定 不是 不都 是 小于 或等于 大于 或等于 或 词语 必有 一个 至少 有n个 至多 有一个 所有 x成立 所有x 不成立 词语的 否定 一个 也没有 至多有 n-1个 至少 有两个 存在一个 x不成立 存在一 个x成立 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　全称量词命题的否定 　　【例1】　写出下列全称量词命题的否定,并判断真假。 (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3)p:对任意x∈Z,x2的个位数字都不等于1。 解　(1)􀱑p:存在一个能被3整除的整数不是奇数。是真命题。 (2)􀱑p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆。是真命题。 (3)􀱑p:存在x∈Z,x2的个位数字等于1。是真命题。 ·反思感悟· 　　对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词。 (2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等。 　　【训练1】　写出下列命题的否定。 (1)三个给定产品都是次品; (2)数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数; (3)任意a,b∈R,方程ax=b都有唯一解; (4)所有可以被5整除的整数,其末位数字是0。 解　(1)三个给定产品中至少有一个不是次品。 (2)数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数。 　　(3)存在a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一。 (4)存在被5整除的整数,其末位数字不是0。 类型二　存在量词命题的否定 　　【例2】　写出下列命题的否定,并判断其真假。 (1)有一个奇数不能被3整除; (2)有些三角形的三个内角都是60°; (3)∃x∈R,|x+1|≤1。 解　(1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”。这个命题是假命题,如5是奇数,但5不能被3整除。 (2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”。这个命题是假命题,如等边三角形的三个内角都是60°。 (3)题中命题的否定为“∀x∈R,|x+1|>1”。这个命题为假命题,如x=0时,不满足|x+1|>1。 ·反思感悟· 　　对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词。 (2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等。 　　【训练2】　写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假。 (1)有的素数是偶数; (2)∃x∈R,x2+x+<0; (3)至少有一个实数x,使x3+1=0。 解　(1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”。这个命题是假命题,如2是素数也是偶数。 (2)题中命题的否定为“∀x∈R,x2+x+≥0”。这个命题是真命题,因为当x∈R时,x2+x+≥0。 (3)题中命题的否定为“∀x∈R,x3+1≠0”。这个命题是假命题,因为x=-1时,x3+1=0。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.命题“∃x∈R,x2-2x-3≤0”的否定是 (D) A.∀x∈R,x2-2x-3≤0 B.∃x∈R,x2-2x-3≥0 C.∃x∈R,x2-2x-3>0 D.∀x∈R,x2-2x-3>0 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题,一方面要改量词,即“∃”改为“∀”;另一方面要否定结论,即“≤”改为“>”。故选D。 2.全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是 (C) A.所有能被5整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被5整除 C.存在一个能被5整除的整数不是奇数 D.存在一个奇数,不能被5整除 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题,而A,B是全称量词命题,所以A,B错误。因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”,所以D错误,C正确。故选C。 3.(多选题)对下列命题的否定,其中说法正确的是(ABD) A.p:∀x≥3,x2-2x-2≥0;p的否定:∃x≥3,x2-2x-2<0 B.p:存在一个四边形的四个顶点不共圆;p的否定:每一个四边形的四个顶点共圆 C.p:有的三角形为正三角形;p的否定:所有的三角形不都是正三角形 D.p:∃x∈R,x2+2x+2≤0;p的否定:∀x∈R,x2+2x+2>0 解析　若p:有的三角形为正三角形,则p的否定:所有的三角形都不是正三角形,故C错误。故选ABD。 4.命题p:∀x∈R,x2-2x-3≥0的否定􀱑p是 ∃x∈R,x2-2x-3<0 ,􀱑p是一个 真 命题(填“真”或“假”)。  解析　命题p是一个全称量词命题,其否定形式为“∃x∈R,x2-2x-3<0”。因为x2-2x-3<0有解,故为真命题。 用命题的否定求参数范围　　 　　[典例]　已知命题p:“∃x∈R,x2-2x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围。 　　[思路点拨]　命题p的否定􀱑p一定为真命题,可以通过分离参数法,转化为不等式恒成立问题,通过求最值得出m的取值范围;也可以利用二次函数的图象和性质转化为Δ与0的关系,解不等式求解。 　　[解]　解法一:􀱑p:∀x∈R,x2-2x+m>0,是真命题, 即m>-x2+2x=-(x-1)2+1,x∈R恒成立, 设函数y=-(x-1)2+1,由二次函数的性质知, 当x=1时,y最大值=1,所以m>y最大值=1, 即实数m的取值范围是(1,+∞)。 解法二:􀱑p:∀x∈R,x2-2x+m>0,是真命题, 设函数y=x2-2x+m,由二次函数的图象和性质知,只需方程x2-2x+m=0的根的判别式Δ<0,即4-4m<0,得m>1, 即实数m的取值范围是(1,+∞)。 ·反思感悟· 　　已知命题p为假命题时,一般转化为􀱑p是真命题来求参数,从而减少失误,运算过程中注意合理选择方法,提高解题效率。 　　【训练】　已知命题p:“∀x∈[1,+∞),x2+2x-a≠0”是假命题,求实数a的取值范围。 解　􀱑p:∃x∈[1,+∞),x2+2x-a=0,是真命题,说明方程x2+2x=a在[1,+∞)上有根。设函数y=x2+2x,由二次函数的性质知,当x∈[1,+∞)时,y随x的增大而增大,所以y∈[3,+∞),又a=x2+2x,所以实数a的取值范围是[3,+∞)。 学科网（北京）股份有限公司 $$