1.2.1 命题与量词(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 情境导入 课程标准 　　 学校为了迎接秋季田径运动会,正在排练由500名学生参加的开幕式团体操表演。这500名学生符合下列条件:①所有学生都来自高二年级;②至少有30名学生来自高二(1)班。“所有”“至少有一个”,这就是本节我们所要学习的量词。 1.能从教材实例中抽象出命题、真命题、假命题的概念; 2.能从教材实例中抽象出全称量词、存在量词的含义; 3.理解全称量词命题、存在量词命题的概念,并能用数学符号表示。 新知自主学习 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、命题 二、全称量词与全称量词命题 定义 符号 全称 量词 一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体 ∀ 全称量 词命题 含有全称量词的命题 ∀x∈M,r(x) 三、存在量词与存在量词命题 定义 符号 存在 量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分 ∃ 存在量 词命题 含有存在量词的命题 ∃x∈M,s(x) 微提醒 　　(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题。 (2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称量词命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”。 (3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题。 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　命题的概念 　　【例1】　判断下列语句是不是命题,如果是,说明其真假。 (1)奇数不能被2整除; (2)2024年4月23日是中国人民解放军海军建军75周年的日子; (3)当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=1; (4)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2。 解　(1)(2)(3)(4)都是陈述句,且能判断真假,因此都是命题。 (1)是真命题。 (2)是真命题。 (3)是真命题。由(a-1)2+(b-1)2=0可得a-1=0且b-1=0,所以a=b=1。 (4)是假命题。反例:y=4,x=3也满足y=x+1。 ·反思感悟· 　　对于本例(4),有的同学会找不到命题的条件和结论,不知道如何判断。事实上,“已知x,y为正整数”是大前提,“y=x+1”是条件,“y=3,x=2”是结论。需注意:简写的命题在日常学习中是很常见的,要想得到明显的条件和结论,需将原命题改写为“若p,则q”的形式。 　　【训练1】　以下命题中的真命题是 (C) A.所有的素数都是奇数 B.自然数集N中最小的数是1 C.圆内接四边形对角互补 D.若b≤1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根 解析　因为2是素数,但不是奇数,所以A是假命题。因为0∈N,所以B是假命题。因为根据圆的性质知,圆内接四边形对角互补,所以C是真命题。因为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,当Δ≥0,即b≤0时,方程x2-2bx+b2+b=0才有实根,所以当b≤1时,方程x2-2bx+b2+b=0不一定有实根,故D是假命题。故选C。 类型二　全称量词命题与存在量词命题的判断 　　【例2】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题。 (1)自然数的平方大于或等于零; (2)存在实数x,满足x2≥2; (3)存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 解　(1)是全称量词命题,表示为∀x∈N,x2≥0。 (2)是存在量词命题,表示为∃x∈R,x2≥2。 (3)是存在量词命题,∃a∈R,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 ·反思感悟· 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称量词命题或存在量词命题。 (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题。 (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题的含义。 　　【训练2】　判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题。 (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)矩形都是正方形; (3)有些素数的和仍是素数; (4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直。 解　(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称量词命题。 (2)可以改写为所有矩形都是正方形,故为全称量词命题。 (3)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题。 (4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题。 类型三　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 　　【例3】　指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假。 (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点; (2)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (3)对任意实数x1,x2,若x1<x2,都有; (4)存在一个实数x,使得x2+2x+3=0。 解　(1)(3)是全称量词命题,(2)(4)是存在量词命题。 (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题。 (2)存在一个实数0,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题。 (3)存在x1=-5,x2=-3,x1<x2,但(-5)2>(-3)2,所以该命题是假命题。 (4)由于x∈R,则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使得x2+2x+3=0的实数x不存在,所以该命题是假命题。 ·反思感悟· 　　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证r(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x=x0,使得r(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)。 (2)判断存在量词命题“∃x∈M,s(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性。若找到一个元素x∈M,使s(x)成立,则该命题是真命题;若不存在x∈M,使s(x)成立,则该命题是假命题。 　　【训练3】　指出下列命题中哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假。 (1)对每一个无理数x,x2也是无理数; (2)末位是零的整数,可以被5整除; (3)有些整数只有两个正因数; (4)某些平行四边形是菱形。 解　(1)因为是无理数,但()2=2是有理数,所以全称量词命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题。 (2)因为每一个末位是零的整数,都能被5整除,所以全称量词命题“末位是零的整数,可以被5整除”是真命题。 (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题。 (4)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形,所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题。 类型四　全称量词命题、存在量词命题的求参问题 　　【例4】　已知命题p:“∀x∈R,函数y=ax2+2x+3的图象总在x轴上方”是真命题,求实数a的取值范围。 解　命题p为真命题,①当a=0时,一次函数y=2x+3的图象总在x轴上方,显然不能恒成立; ②当a≠0时,由二次函数y=ax2+2x+3的图象总在x轴上方,得所以a>。综上,a的取值范围为。 ·反思感悟· 　　利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围。 (2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决。 　　【训练4】　(1)已知命题p:“∃x∈R,关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根”是真命题,则实数m的取值范围是 (C) A.(-∞,3) B.(3,+∞) C.(-∞,3] D.[3,+∞) 解析　因为关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根,所以Δ=(-2)2-4m≥0,解得m≤3,所以实数m的取值范围是(-∞,3]。故选C。 (2)已知命题p:“∀x∈R,mx2≥0”是真命题,则实数m的取值范围是 [0,+∞) 。  解析　当x∈R时,x2≥0,若“∀x∈R,mx2≥0”是真命题,须有m≥0。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(多选题)对语句:“如果x>1,那么x>2”,下列判断正确的是 (BC) A.不是命题 B.是命题 C.是假命题 D.是真命题 解析　是“若p,则q”形式的命题,而且x>1x>2,所以是假命题。故选BC。 2.下列命题中全称量词命题的个数是 (C) ①任意一个自然数都是正整数;②有的平行四边形也是菱形;③n边形的内角和是(n-2)×180°。 A.0 B.1 C.2 D.3 解析　①③是全称量词命题。故选C。 3.以下四个命题,既是存在量词命题,又是真命题的是 (B) A.锐角三角形的内角是锐角或直角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x,使>2 解析　A,C中的命题是全称量词命题;B中的命题是存在量词命题,且当x=0时,满足x2≤0,故为真命题。故选B。 4.命题p:“∃x∈R,x2+2x+5=0”是 存在量词命题 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”),它是 假 命题(填“真”或“假”)。  解析　命题中含有量词“∃”,故为存在量词命题。又Δ=22-4×5=-16<0,故方程x2+2x+5=0无实根,即命题为假命题。 学科网（北京）股份有限公司 $$