1.1.3 第2课时 补集及综合应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

第2课时　补集及综合应用 情境导入 课程标准 　　 太阳系有8颗行星,即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星,原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文学联合会通过的第5号决议中,被划为矮行星,并命名为小行星134340号,从太阳系九大行星中被除名,如果我们把名字中含有“王”的行星除去,还有几颗行星?我们用集合的眼光来看,就会发现一个问题:若把太阳系的行星的集合作为U,把名字中含有“王”的行星的集合作为A,把名字中不含有“王”的行星的集合作为B,那么集合A,B,U之间有怎样的关系呢? 1.在具体情境中,了解全集的含义; 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集; 3.能使用维恩图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用。 新知自主学习 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、全集 　　全集与子集的概念:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常用U表示。 二、补集 自然语言 如果集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作∁UA,读作“A在U中的补集” 集合语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 续表 图形语言 性质 ①A∪(∁UA)=U;②A∩(∁UA)=⌀; ③∁U(∁UA)=A 微提醒 　　(1)补集的相对性:集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的。 (2)∁UA的三层含义:①∁UA表示一个集合;②A是U的子集,即A⊆U;③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合。 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　补集的运算 　　【例1】　(1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA= (C) A.⌀ B.{1,3} C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5} 解析　因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以∁UA={2,4,5}。故选C。 (2)若集合A=[-1,1),当S分别取下列集合时,求∁SA。 ①S=R;②S=(-∞,2];③S=[-4,1]。 解　①把集合A表示在数轴上如图所示。 由图知∁SA=(-∞,-1)∪[1,+∞)。 ②把集合S和A表示在数轴上,如图所示。 由图易知∁SA=(-∞,-1)∪[1,2]。 ③把集合S和A表示在数轴上,如图所示。 由图知∁SA=[-4,-1)∪{1}。 ·反思感悟· 　　求集合补集的依据及处理技巧 (1)依据:集合补集的定义。 (2)两种处理技巧: ①当集合用列举法表示时,可借助维恩图求解; ②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解。 　　【训练1】　(1)已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3<x≤4},则∁UA= {x|x=-3或x>4} 。  解析　画出数轴(图略)知∁UA={x|x=-3或x>4}。 (2)设U={0,1,2,3},A={x|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m= -3 。  解析　由∁UA={1,2},得A={0,3},得m=-3。 类型二　集合交、并、补的综合运算 　　【例2】　(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(∁UA)= (C) A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 解析　依题意得∁UA={1,6,7},故B∩(∁UA)={6,7}。故选C。 (2)设A,B都是由不超过9的正整数组成的全集U的子集,且A∩B={2},(∁UA)∩(∁UB)={1,9},(∁UA)∩B={4,6,8},求集合A和B。 解　U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},在图中(如图)将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入到相应的位置中去,则由A∩B={2},∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)={1,9},(∁UA)∩B={4,6,8},得A∩(∁UB)={3,5,7}。可知A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}。 ·反思感悟· 　　求集合交、并、补运算的方法 　　【训练2】　(1)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则(∁RA)∩B= (B) A.{2} B.{4,5} C.{3,4} D.{2,3} 解析　因为集合A={x|-2<x<4},所以∁RA={x|x≥4或x≤-2},所以(∁RA)∩B={4,5},故选B。 (2) 如图所示的维恩图中,A,B是非空集合,定义A*B表示阴影部分的集合。若A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},则A*B= {x|0≤x≤1或x>2} 。  解析　A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥0},由图可得A*B=∁(A∪B)(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}。 类型三　含参数的集合运算 　　【例3】　已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(∁UA)={2},A∩(∁UB)={4},U=R,求实数a,b的值。 解　因为B∩(∁UA)={2},所以2∈B,但2∉A。因为A∩(∁UB)={4},所以4∈A,但4∉B。所以所以a,b的值分别为,-。 ·反思感悟· 　　由集合的补集求解参数的方法 (1)若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解。 (2)若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解。 　　【训练3】　已知集合A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是 {a|a≥2} 。  解析　因为∁RB={x|x<1或x>2},且A∪(∁RB)=R,所以{x|1≤x≤2}⊆A,所以a≥2。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.设全集U={1,2,3,5,7},集合A={2,5},则∁UA= (B) A.{2,5} B.{1,3,7} C.{1,2,3,5,7} D.⌀ 解析　因为U={1,2,3,5,7},A={2,5},所以∁UA={1,3,7}。故选B。 2.设全集U=R,集合A=(1,4),集合B=[2,5),则A∩(∁UB)= (D) A.[1,2) B.(-∞,2) C.[5,+∞) D.(1,2) 解析　∁UB=(-∞,2)∪[5,+∞),A∩(∁UB)=(1,2)。故选D。 3.已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁RA)∩B= (A) A.{-2,-1} B.{-2} C.{-1,0,1} D.{0,1} 解析　因为集合A={x|x>-1},所以∁RA={x|x≤-1},则(∁RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={-2,-1}。故选A。 4.已知全集U=[1,5],A=[1,a),若∁UA=[2,5],则a= 2 。  解析　因为A=[1,a),∁UA=[2,5],A∪(∁UA)=U=[1,5],且A∩(∁UA)=⌀,因此a=2。 正难则反　　 　　[典例]　关于x的方程:x2+ax+1=0, ① x2+2x-a=0, ② x2+2ax+2=0, ③ 若三个方程至少有一个方程有解,求实数a的取值范围。 　　[解]　假设三个方程均无实根,则有 解得-<a<-1,所以当a≤-或a≥-1时,三个方程至少有一个方程有解, 即实数a的取值范围为{a|a≤-或a≥-1}。 ·反思感悟· 　　运用补集思想求参数取值范围的步骤 (1)把已知的条件否定,考虑反面问题。 (2)求解反面问题对应的参数的取值范围。 (3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集。 　　【训练】　若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有一个元素,求实数a的取值范围。 解　 假设集合A中含有2个元素,即ax2+3x+2=0有两个不相等的实数根,则解得a<,且a≠0,则集合A中含有2个元素时,实数a的取值范围是。在全集U=R中,集合,所以满足题意的实数a的取值范围是。 学科网（北京）股份有限公司 $$