1.1.3 第1课时 交集、并集(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.1.3　集合的基本运算 第1课时　交集、并集 情境导入 课程标准 某班有学生30人,他们的学号分别是1,2,3,…,30,现有a,b两本新书,已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。用本节将要学习的知识探讨至少读过一本书或同时读了a,b两本书各有哪些同学。 1.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集; 2.能使用维恩图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用。 新知自主学习 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、交集 　　1.交集的定义。 2.交集的运算性质。 对于任意两个集合A,B,都有: (1)A∩B=B∩A。 (2)A∩A=A。 (3)A∩⌀=⌀∩A=⌀。 (4)如果A⊆B,则A∩B=A,反之也成立。 二、并集 　　1.并集的定义。 2.并集的运算性质。 对于任意两个集合A,B,都有: (1)A∪B=B∪A。 (2)A∪A=A。 (3)A∪⌀=⌀∪A=A。 (4)如果A⊆B,则A∪B=B,反之也成立。 微提醒 　　(1)并集符号语言中,“x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B,可用下图形象地表示。 (2)求A∪B时要注意集合中元素的互异性,相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素。例如,A={1,2,3},B={1,3,5,7},A∪B={1,2,3,5,7},而不能写成A∪B={1,2,3,1,3,5,7}。 微思考 　　当集合A与B没有公共元素时,能不能说集合A与B没有交集?若不能,又该如何表达? 提示:不能。当集合A与B没有公共元素时,集合A与B的交集为⌀,即A∩B=⌀。 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　交集的运算 　　【例1】　(1)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于 (A) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} 解析　 在数轴上表示出集合A与B,如图。则由交集的定义得,A∩B={x|0≤x≤2}。 (2)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为 (D) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14。故选D。 ·反思感悟· 　　求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合,逐个挑出两个集合的公共元素即可。 (2)对于元素个数无限的集合,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍。 　　【训练1】　(1)(多选题)已知集合M={1,2,3,4,5},M∩N={4,5},则N可能为 (BC) A.{1,2,3,4,5} 　B.{4,5,6} C.{4,5} 　D.{3,4,5} 解析　由题意,集合M={1,2,3,4,5},M∩N={4,5},可得集合N必含有元素4和5,但不能含有1,2,3,根据选项,可得集合N可能为{4,5,6},{4,5}。故选BC。 (2)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B= (A) A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3} C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3} 解析　由集合交集的定义可得A∩B={x|-2<x<-1}。 (3)若集合A={x|2x+1>0},B={x|-1<x<3},则A∩B=  。  解析　 因为A=,B={x|-1<x<3},画出数轴如图所示,所以A∩B=。 类型二　并集的运算 　　【例2】　(1)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为 5 。  解析　 由维恩图知,A∪B={1,2,3,4,5},故A∪B中元素的个数为5。 (2)设集合A={x|x≤1或x≥3},B={x|2x-3≤0},则A∪B= (D) A.{x|x≤1或x≥3} B.{x|1≤x≤3} C. D. 解析　因为集合A={x|x≤1或x≥3},B={x|2x-3≤0}=,所以A∪B=。故选D。 ·反思感悟· 　　求集合并集的2种基本方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解。 (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析求解。 　　【训练2】　(1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B= (C) A.{x|-1<x<1} B.{x|1<x<2} C.{x|x>-1} D.{x|x>1} 解析　由题意,得A∪B={x|x>-1}。故选C。 (2)已知集合A={0,2,4},B={0,1,2,3,5},则A∪B= {0,1,2,3,4,5} 。  解析　A∪B={0,2,4}∪{0,1,2,3,5}={0,1,2,3,4,5}。 类型三　并集、交集的运算性质 　　命题方向1:含参数的集合运算 　　【例3】　(1)已知M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N={3},则实数a的值是 4 。  解析　因为M∩N={3},所以3∈M,所以a2-3a-1=3,即a2-3a-4=0,解得a=-1或4。但当a=-1时,与集合中元素的互异性矛盾,舍去;当a=4时,M={1,2,3},N={-1,3,4},符合题意。所以a=4。 (2)已知集合A={x|-3<x≤4},集合B={x|k+1≤x≤2k-1}。 ①若A∪B=A,求k的取值范围; ②若A∩B=A,求k的取值范围。 解　 ①因为A∪B=A,所以B⊆A,当B=⌀时,k+1>2k-1,所以k<2。当B≠⌀时,则根据题意如图所示:根据数轴可得解得2≤k≤。综合以上可得k的取值范围为。 ②因为A∩B=A,所以A⊆B。又A={x|-3<x≤4},B={x|k+1≤x≤2k-1},可得B≠⌀。 根据题意如图所示:由数轴可知无解,即当A∩B=A时,k不存在。 ·反思感悟· 　　解此类题,首先要准确翻译,诸如“A∪B=A”之类的条件。在翻译成子集关系后,不要忘了空集是任何集合的子集。 　　【训练3】　(1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠⌀,则实数a的取值范围是 (D) A.{a|-1<a≤2} B.{a|a>2} C.{a|a≥-1} D.{a|a>-1} 解析　 因为A∩B≠⌀,所以集合A,B有公共元素,在数轴上表示出两个集合,如图所示,易知a>-1。 (2)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是 {a|a≤1} 。  解析　因为A∪B=R,画出数轴(图略)可知,表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边,所以a≤1。 　　命题方向2:并集、交集运算的新定义问题 　　【例4】　设M,P是两个非空集合,规定M-P={x|x∈M且x∉P},根据这一规定,M-(M-P)等于 (D) A.M B.P C.M∪P D.M∩P 　　解析　 当M∩P≠⌀时,由图可知M-P为图中的阴影部分,则M-(M-P)显然是M∩P;当M∩P=⌀时,M-P=M,此时M-(M-P)=M-M={x|x∈M,且x∉M}=⌀=M∩P。故选D。 ·反思感悟· 　　题目给出了两个集合的一种运算“M-P”,其运算法则是M-P是由所有属于M且不属于P的元素组成的集合,弄清法则便可以进行运算,特别是借助维恩图,使问题简捷明了。 　　【训练4】　设A,B是两个非空集合,规定A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}。若A={0,1,2,4},B={1,2,3},求A*B。 解　A∪B={0,1,2,3,4},A∩B={1,2},所以A*B={0,3,4}。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B= (C) A.(-1,+∞) B.(-∞,2) C.(-1,2) D.⌀ 解析　结合数轴可得A∩B=(-1,2)。故选C。 2.若集合A={x|-2<x≤3},B={x|x≤-2或x>4},则集合A∪B等于 (A) A.{x|x≤3或x>4} B.{x|-1<x≤3} C.{x|3≤x<4} D.{x|-2≤x<-1} 解析　直接在数轴上标出A8,B的区间,如图所示,A∪B={x|x≤3或x>4}。 3.若集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<3或x≥7},则A∪B= {x|2<x<10} ,C∩B= {x|2<x<3或7≤x<10} 。  解析　由集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},把两集合分别表示在数轴上,如图所示: 得到A∪B={x|2<x<10}。 由集合B={x|2<x<10},C={x|x<3或x≥7},把两集合分别表示在数轴上,如图所示: 则C∩B={x|2<x<3或7≤x<10}。 4.已知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}。 (1)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围; (2)若A∪B=B,求实数a的取值范围。 解　(1)因为A∩B=⌀,所以解得-1≤a≤2,所以实数a的取值范围是[-1,2]。 (2)因为A∪B=B,所以A⊆B,所以a>5或a+3<-1,即a的取值范围为a>5或a<-4,所以实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(5,+∞)。 学科网（北京）股份有限公司 $$