1.1.2 集合的基本关系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.1.2　集合的基本关系 情境导入 课程标准 　　 星座,是指天上一群在天球上投影的位置相近的恒星的组合。如北极星在小熊座,设小熊座中的星星构成集合A,所有恒星构成集合B,那么集合A与集合B有什么关系呢?这就是本节我们所要学习的集合间的关系。 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 2.能使用维恩图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用。 新知自主学习 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、子集与真子集 　　1.子集与真子集。 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 或 真子集 如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集 A⫋B(或B⫌A) 　　2.维恩图。 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图称为维恩图。 3.子集、真子集的性质。 (1)任意集合A都是它自身的子集,即A⊆A。 (2)空集是任意一个集合A的子集,即⌀⊆A。 (3)对于集合A,B,C,如果A⊆B,B⊆C,则A⊆C。 (4)对于集合A,B,C,如果A⫋B,B⫋C,则A⫋C。 二、集合的相等与子集的关系 　　1.如果A⊆B,且B⊆A,则A=B。 2.如果A=B,则A⊆B且B⊆A。 微思考 　　{0}与⌀相同吗?它们之间有什么关系? 提示:不同。{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而⌀表示空集,其不含有任何元素,⌀是{0}的真子集。 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　集合的子集问题 　　【例1】　(1)集合{a,b,c}的所有子集为 ⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} ,其中它的真子集有 7 个。  (2)写出满足{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P。 解　由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P为{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}。 ·反思感悟· 　　(1)假设集合A中含有n个元素,则有①A的子集的个数有2n个;②A的非空子集的个数有2n-1个;③A的真子集的个数有2n-1个;④A的非空真子集的个数有2n-2个。 (2)求给定集合的子集的两个注意点:①按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;②在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身。 　　【训练1】　已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集。 解　A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}。所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}。 类型二　判断集合间的关系 　　命题方向1:用维恩图表示集合间的关系 　　【例2】　设集合A={中国},B={广东},C={深圳},D={珠海},试用维恩图表示A,B,C,D的关系。 解　因为广东是中国的一部分,深圳和珠海都是广东的一部分,所以A真包含B,B真包含C和D,用维恩图表示如图所示。 ·反思感悟· 　　用维恩图表示A⫋B时,要把表示集合A的封闭曲线画在表示集合B的封闭曲线的内部。 　　【训练2】　用维恩图表示下列集合之间的关系:A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}。 解　根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系,再画维恩图。如图所示。 　　命题方向2:用数轴表示集合间的关系 　　【例3】　已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},则 (B) A.A∈B B.A⫋B C.B⫋A D.B⊆A 解析　由数轴易知A中元素都属于B,B中至少有一个元素如-2∉A,故有A⫋B。 ·反思感悟· 　　在数轴上画出两个数集的范围,两集合间的关系能够很明显地表现出来。 　　【训练3】　设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则Q ⫋ P。  解析　由题意得Q={x|-2<x<2},在数轴上表示出集合P和Q,如图,可知Q⫋P。 类型三　由集合间的关系求参数的范围 　　【例4】　(1)已知集合A=[-3,4],B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A。求实数m的取值范围。 解　因为B⊆A, ①当B=⌀时,m+1≤2m-1,解得m≥2。 ②当B≠⌀时,有解得-1≤m<2, 综上可得m的取值范围为[-1,+∞)。 (2)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B⊆A。求实数m的取值集合。 解　由x2-4x+3=0,得x=1或x=3,所以A={1,3}。 ①当B=⌀时,此时m=0,满足B⊆A。 ②当B≠⌀时,则m≠0,B={x|mx-3=0}=。因为B⊆A,所以=1或=3,解得m=3或m=1。综上可知,所求实数m的取值集合为{0,1,3}。 ·反思感悟· 　　由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点:①不能忽略集合为⌀的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论。 (2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答。 　　【训练4】　已知集合A=[1,2],集合B={x|1≤x≤a,a≥1}。 (1)若A=B,求a的值; (2)若A⫋B,求a的取值范围; (3)若B⊆A,求a的取值范围。 解　(1)若A=B,则[1,2]=[1,a],所以a=2。 (2)若A⫋B,由图可知a的取值范围为(2,+∞)。 (3)若B⊆A,由图可知a的取值范围为[1,2]。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.集合A={-1,0,1},则A的子集中含有元素0的子集共有 (B) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 解析　根据题意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},共4个。故选B。 2.已知集合M={x|-<x<,x∈Z},则下列集合是集合M的子集的为 (D) A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1,2} C.R={y|-π<y<-1,y∈Z} D.S={x||x|≤,x∈Z} 解析　集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合S={-1,0,1},不难发现集合P中的元素-3∉M,集合Q中的元素2∉M,集合R中的元素-3∉M,而集合S={-1,0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S⊆M。故选D。 3.(多选题)下面关系中正确的是 (AB) A.0∈{0} B.⌀⫋{0} C.{0,1}={(0,1)} D.{(a,b)}={(b,a)} 解析　A正确,0是集合{0}的元素;B正确,⌀是任何非空集合的真子集;C错误,集合{0,1}含有两个元素0,1,{(0,1)}含有一个元素点(0,1),所以这两个集合不相等;D错误,集合{(a,b)}含有一个元素点(a,b),集合{(b,a)}含有一个元素点(b,a),这两个元素不同,所以集合不相等。故选AB。 4.设集合A=(1,2),B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是 (D) A.{a|a≤2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≥2} 解析　画出数轴可得a≥2。故选D。 忽视空集是任何集合的子集　　 　　[典例]　已知集合M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1},若N⊆M,则m的取值集合为　　　　。  　　[错解]　集合M=。 若N⊆M,则N={3}或。 于是当N={3}时,m=; 当N=时,m=-2。 所以m的取值集合为。 　　[错因]　上述解法出错的原因是:丢掉了N=⌀这种情况。 　　解　集合M=。若N⊆M,则N={3}或或⌀。于是当N={3}时,m=;当N=时,m=-2;当N=⌀时,m=0。所以m的取值集合为。 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$