1.1.1 第1课时 集合的概念(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 　　▶导语:集合语言是现代数学的基本语言。我们需要学会使用集合语言表示数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性。逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用,培养数学思维的严谨性和准确性。 要点精准概括 6个重要概念:集合、子集、充要条件、全称量词命题、存在量词命题、命题的否定 3个重要特征:集合中的元素具有确定性、互异性、无序性 3种重要运算:集合的交集、并集、补集 3种重要方法:列举法、描述法、维恩图法 2个关键能力:数学抽象能力、逻辑推理能力 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合 1.1.1　集合及其表示方法 第1课时　集合的概念 情境导入 课程标准 　　 在生活与学习中,为了方便,我们要经常对事物进行分类。例如三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形;到目前为止,我们学的数可以分为有理数和无理数,……。学习了集合、元素等概念,我们就会对事物的分类有更清晰的认识。 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系; 2.在具体情境中,了解空集的含义。 新知自主学习 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、集合的概念 　　1.把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合,组成集合的每个对象都是这个集合的元素。集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示,集合的元素通常用英文小写字母a,b,c,…表示。 2.集合中元素的特点 (1)确定性:集合的元素必须是确定的。 (2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的。 (3)无序性:集合中的元素可以任意排列。 二、元素与集合的关系 　　1.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素,就说a不属于A a∉A a不属于A 　　2.集合按元素个数分类 有限集:含有有限个元素的集合。 无限集:含有无限个元素的集合。 3.空集:把不含任何元素的集合称为空集,记作⌀。空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集。 4.集合相等:给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称两个集合相等,记作A=B。 三、几种常见的数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N+或N* Z Q R 微提醒　元素与集合的关系 (1)唯一性:a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素,只有属于和不属于两种关系。 (2)方向性:符号“∈”“∉”具有方向性,左边是元素,右边是集合。 课堂合作探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　集合的概念 　　【例1】　开学了,我们踏入了高中校园,找到了自己的班级。下列对象能组成一个集合的是哪些?说明你的理由。 (1)你所在班级中全体同学; (2)班级中比较高的同学; (3)班级中身高超过178 cm的同学; (4)班级中比较胖的同学; (5)班级中体重超过75 kg的同学; (6)学习成绩比较好的同学; (7)总分前五名的同学。 解　(1)班级中全体同学是确定的,所以可以组成一个集合。 (2)因为“比较高”无法衡量,所以对象不确定,所以不能组成一个集合。 (3)因为“身高超过178 cm”是确定的,所以可以组成一个集合。 (4)因为“比较胖”无法衡量,所以对象不确定,所以不能组成一个集合。 (5)因为“体重超过75 kg”是确定的,可以组成一个集合。 (6)因为“学习成绩比较好”无法衡量,所以对象不确定,所以不能组成一个集合。 (7)因为“总分前五名”是确定的,可以组成一个集合。 ·反思感悟· 　　判断一组对象能否组成集合的策略 (1)注意集合中元素的确定性。看是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素,若具有此“标准”,就可以组成集合;否则,不能组成集合。 (2)注意集合中元素的互异性、无序性。 　　【训练1】　(多选题)考察下列每组对象,能构成集合的是(BCD) A.中国最美乡村 B.在平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.2023年国家勋章和国家荣誉获得者 解析　A中“最美”标准不明确,不符合集合的确定性,BCD中的元素标准明确,均可构成集合,故选BCD。 类型二　元素与集合的关系 　　【例2】　(1)(多选题)下列所给关系正确的是(ABC) A.π∈R B.∉Q C.0∈Z D.|-1|∉N* 解析　根据各个数集的含义可知,ABC正确,D不正确。 (2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法。设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合。 ①0是否是集合A中的元素? ②若-5∈A,求实数a的值。 ③若1∉A,求实数a的取值范围。 解　①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素。 ②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4。 ③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4,所以a的取值范围是{a|a≠-4}。 ·反思感悟· 　　判断元素与集合的关系的两种方法 (1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可,此时应明确集合是由哪些元素构成的。 (2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应明确已知集合中的元素具有什么特征。 　　【训练2】　(1)(多选题)下列关系式中正确的是(ABD) A.∈R B.0.3∈Q C.∈N D.-5∈Z 解析　由各个数集的含义可知,∈R,0.3∈Q,-5∈Z正确,故选ABD。 (2)若集合A是由所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2是不是集合A中的元素? 解　是。因为-6+2=3×(-2)+×2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以-6+2是集合A中的元素。 类型三　集合中元素的特性及应用 　　【例3】　已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为 -1 。  解析　若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1。当a=1时,集合A有重复元素,不符合元素的互异性,所以a≠1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性。所以a=-1。 ·反思感悟· 　　根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤 　　【训练3】　(1)例3若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值。 解　因为2∈A,所以a=2或a2=2,即a=2或a=或a=-。经检验三个值均符合题意。 (2)例3若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范围是什么? 解　因为A中有两个元素a和a2,所以a≠a2,解得a≠0且a≠1,所以a的取值范围是{a|a≠0,且a≠1}。 (3)已知集合A含有两个元素1和a2,若“a∈A”,求实数a的值。 解　由a∈A可知,当a=1时,此时a2=1,与集合元素的互异性矛盾,所以a≠1。当a=a2时,a=0,或a=1(舍去)。综上可知,a=0。 随堂达标检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(多选题)下列各组对象能组成一个集合的是 (BC) A.某中学高一年级所有聪明的学生 B.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 C.所有不小于3的正整数 D.的所有近似值 解析　AD不符合集合中元素的确定性。故选BC。 2.下面说法正确的是 (C) A.所有在N中的元素都在N*中 B.所有不在N*中的数都在Z中 C.所有不在Q中的实数都在R中 D.方程4x=-8的解既在N中又在Z中 3.下列结论不正确的是 ③ 。(填序号)  ①0∈N;②∈Q;③0∉Q;④-1∈Z。 4.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件。 解　根据集合中元素的互异性知故实数x满足的条件为x≠0,且x≠-1。 忽视集合元素的互异性　　 　　[典例]　方程x2-(a+1)x+a=0的解集中元素个数为　　　　。  　　[错解]　因为x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x=1或x=a,所以方程的解集中元素个数为2。 　　[错因]　本题易错的地方是忽略元素的互异性,且没有考虑参数a的不确定性,从而得到错误的答案“方程的解集中有两个元素”。 　　解　x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x=1或x=a。若a=1,则方程的解集中只有一个元素1;若a≠1,则方程的解集中有两个元素1和a。 答案　当a=1时,1个;当a≠1时,2个。 学科网（北京）股份有限公司 $$