12.4 一次函数模型的应用（5题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

12.4 一次函数模型的应用 课程标准 学习目标 能用一次函数解决简单实际问题 ①会根据实际问题中的等量关系、变化图象中的点的坐标确定一次函数的表达式，及自变量的取值范围； ②会利用一次函数的知识解决最大利润、最少费用、行程、分配方案等实际问题； ③会应用分段函数表示出面积S与动点运动时间t之间的函数关系。 ·分段函数的应用——根据图象信息解决问题 ①先根据信息（表格、图象等）对自变量x的范围进行分类讨论； ②根据不同的自变量的范围，用待定系数法或等量关系求出对应的一次函数解析式； ③将几个函数解析式写成分段函数的形式。 ·分类讨论三角形的面积S与动点运动时间t之间的函数关系 分别表示出三角形的底和高，用时间t表示出三角形的面积，并表示自变量x的范围 【题型一：一次函数与实际问题——最大利润（最少费用）问题】 例1.（23-24八年级下·安徽淮南·期末）“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，伴着百花飘香，杨柳依依的美好春光，某中学迎来了校园读书节活动．该中学计划为在本次校园读书节活动中获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品的单价为每件20元、乙种奖品的单价为每件10元，共购买50件．设甲种奖品购买x件，购买两种奖品的总费用为y元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的3倍，请你设计费用最少时的购买方案，并求出最少费用． 【答案】(1) (2)甲：13件，乙：37件；630元 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出函数关系式和不等式关系式是解题的关键． （1）分别算出甲、乙两种奖品的费用相加即是总费用； （2）一次函数的系数，故根据函数的性质可知随的增大而增大，根据题（1）可求最小值． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）由题意，得， 解得． 由（1），得， ， 随x的增大而增大． 为整数， 当时，， 乙：（件）． 答：甲种奖品购买13件，乙种奖品购买37件时，费用最少，最少为630元． 变式1-1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）某花农要将规格相同的800棵平安树运往A，B，C三地销售，要求运往C地的棵数是运往A地棵数的3倍，各地的运费如表所示： A地 B地 C地 运费（元/棵） 10 20 15 (1)设运往A地的平安树x（棵），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围； (2)若要求运往A地的平安树不超过运往B地的平安树，且总运费不超过14000元，问当运往A地的平安树多少棵时，总运费才最省？ 【答案】(1) (2)当运往A地的平安树为160棵时，总运费才最省． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式组的应用，依据题意，正确得出一次函数的表达式是解题关键． （1）先分别求出运往B、C两地的棵数，再根据运费表列出函数关系式即可； （2）先根据题干信息求出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：设运往A地的平安树x棵，则运往C地的棵数为棵，B地的棵数为棵， 则， 解得， 由题意得：， 整理得：， 故y与x的函数关系式为； （2）由题意得：， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最小值， 答：当运往A地的平安树为160棵时，总运费才最省． 变式1-2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2022年某企业按餐厨垃圾处理费12元/吨，建筑垃圾处理费10元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费3400元，从2023年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费40元/吨，建筑垃圾处理费20元/吨．若该企业2023年处理的这两种垃圾数量与2022年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费6600元． (1)该企业2023年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？ (2)该企业计划2023年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2023年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？ 【答案】(1)餐厨垃圾，建筑垃圾 (2)该企业2023年最少需要支付6000元垃圾处理费 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次不等式，找准等量关系是解题的关键． （1）设餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意列方程组计算即可； （2）设餐厨垃圾a吨，则建筑垃圾吨，根据题意进行计算即可． 【详解】（1） 解：设餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨， ， 解得， 答：餐厨垃圾，建筑垃圾； （2） 解：设餐厨垃圾a吨，则建筑垃圾吨， ， ， ， 总费用， 当时总费用T最少，， 答：该企业2023年最少需要支付6000元垃圾处理费． 例2.（23-24八年级上·安徽六安·期末）某商场购进甲、乙两种空气净化器共80台进行销售，已知销售2台甲种空气净化器和1台乙种空气净化器获利1100元：销售1台甲种空气净化器和2台乙种空气净化器获利1300元，设购进甲种空气净化器x台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元． (1)每台甲种空气净化器和每台乙种空气净化器利润各多少? (2)求w关于x的函数解析式．（不写x的取值范围） (3)若乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，当甲种空气净化器购进多少台时，销售总利润w最大?最大总利润是多少? 【答案】(1)每台甲种空气净化器利润300元，每台乙种空气净化器利润500元 (2) (3)当时，w取得最大，最大值为36000元 【分析】本题考查一次函数的应用、解二元一次方程组： （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到w与x的函数关系式； （3）根据题意可以求得x的取值范围，由（2）中的函数关系，从而可以得到该公司购进A型、B型空气净化器各多少台时，才能使销售总利润最大． 【详解】（1）解：设每台甲种空气净化器a元和每台乙种空气净化器利润b元 则： 解得：， 答：每台甲种空气净化器利润300元，每台乙种空气净化器利润500元 （2）解：由题意得，， 所以，w关于x的函数解析式； （3）解：∵， ∴， ∴中， 所以W随x增大而减小， 当时，w取得最大，最大值为36000元. 变式2.（23-24八年级上·安徽六安·期末）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如表：设其中甲种商品购进件，商场售完这批商品的总利润为元． 商品名称 甲 乙 进价（元/件） 40 90 售价（无/件） 60 120 (1)写出关于的函数关系式； (2)该商品计划最多投入8000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)售完这些商品，则至少购进20件甲商品商场可获得最大利润，获得的最大利润是2800元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式，一次函数的性质等知识．解题的关键在于根据题意列正确的解析式或不等式． （1）由题意得，整理即可得到函数关系式； （2）由题意得，解得；由可知y随x的增大而减小，进而可求得购进的甲商品数，最大利润值． 【详解】（1）解：由题意得 ∴y与x的函数关系式为． （2）由题意得 解得 ∵ ∴y随x的增大而减小 ∴当时，利润最大且 ∴若售完这些商品，则至少购进20件甲商品商场可获得最大利润，获得的最大利润是2800元． 【题型二：一次函数与实际问题——分配方案问题】 例3．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）某学校组织学生研学，游览太湖山自然风光．已知太湖山景区有动物园和植物园两个景点，其中动物园门票40元/张，植物园门票30元/张．景区对批量购买门票给予打折优惠，有以下两种方案： 方案一：动物园门票每张打九折，植物园门票每张打六折； 方案二：动物园门票和植物园门票均打八折． 若该学校计划购买门票共100张．设购买动物园门票x张，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)求与x之间的函数表达式； (2)请你分析该学校如何选择购买方案使得所付的费用较少． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式． （1）根据总费用动物园和植物园两种门票费用之和列出、关于的函数解析式； （2）根据（1）中解析式分三种情况讨论即可． 【详解】（1）由题意得： ， ， ∴与之间的函数关系式为与之间的函数关系式为； （2）当时， 解得， ∴购买动物园门票超过60张时，方案二支付费用少； 当时， 解得， ∴购买动物园门票60张时，方案一和方案二支付费用一样多； 当时， 解得， ∴购买动物园门票少于60张时，方案一支付费用少． 变式3.（23-24八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? (3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 【答案】(1)的值为100，的值为150； (2)有4购买方案 (3)购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确列出函数解析式． （1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案； （3）设购车总费用为万元，根据总费用=购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值． 【详解】（1）解：依题意得：，解得：， 答：的值为100，的值为150； （2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆， 依题意得： 解得： 又为整数 有4购买方案； （3）解：设购车总费用为万元， 则，（且为整数） ， 随的增大而减小 当时，最小，最小值为（元）， 购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元． 【题型三：一次函数与实际问题——行程问题】 例4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离与骑车时间的函数关系，求何时甲乙两人相遇． 【答案】1.6小时 【分析】利用待定系数法求出一次函数和正比例函数解析式，联立解答即可． 此题主要考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键． 【详解】解：设的解析式为，代入，则， 解得：， ∴； 设的解析式是，将代入得：， 解得：， ∴； 当两人相遇时，可得：， 解得：． 答：经过1.6小时甲乙两人相遇． 变式4．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）A、B两地相距300千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地．如图，线段表示甲车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离A地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题． (1)直接写出线段对应的函数解析式； (2)求点P的坐标，并说出点P坐标的实际意义． 【答案】(1) (2)，甲出发3.9小时，在距A地234千米处，乙追上甲 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）设线段对应的函数解析式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对应的函数解析式，联立两个解析式，求出交点坐标即为点的坐标，进而得到点P坐标的实际意义即可． 读懂题意，从图象上获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． 【详解】（1）解：设线段对应的函数解析式为，由图象可知，图象经过点， ∴，解得：， ∴； （2）由图可得甲的速度为（千米/时）， 由甲的速度为60千米/时，可得解析式为， 解得， ∴， ∴点P坐标的实际意义是：甲出发3.9小时，在距A地234千米处，乙追上甲． 例5．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）一辆汽车和一辆摩托车分别从、地同时前往同一个地方（三点在同一条直线上）城，它们距离地的路程随着时间的变化的图象如图所示．    (1)他们相遇时，汽车离地多远？ (2)S表示他们的距离，表示出发的时间，求： ①与的函数关系式，并画出函数图象； ②若方程有解，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)他们相遇时，汽车离地千米 (2)①函数图象见解析；② 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，函数图象，一元一次方程的应用； （1）根据函数图象得出汽车与摩托车的速度，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）①根据题意分，，列出函数解析式，根据一次函数的性质画出函数图象即可求解； ②根据题意，分别求得直线经过，，求得的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可得，汽车的速度为；摩托车的速度为， 设出发小时后，他们相遇，则， 解得： ∴千米， 答：他们相遇时，汽车离地千米； （2）①由（1）可得时相遇， 当时，摩托车在汽车前面，则， 当时，汽车在摩托车前面，则， 当时，汽车到达C地，则； 综上所述， 函数图象如图所示，    ②∵， 经过一、三象限， ∵有解， 当经过点时，则，此时， 当经过点时，则，此时， 当经过时，，此时， ∴． 变式5．在一条笔直的道路上依次有A、、三地，南南从A地跑步到地，同时乐乐从地跑步到A地，休息后接到通知，要求乐乐比南南早到达地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地的路程与南南的跑步时间之间的函数图像．    (1)___________，乐乐去A地的速度为___________． (2)结合图像，求出线段对应的函数表达式写出自变量的取值范围． (3)求出两人距地的路程相等的时间． 【答案】(1)2； (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了列式计算、一次函数图像与行程问题等知识点，审清题意、明确函数图象各点的意义成为解答本题的关键． （1）根据题意结合图像以及速度、路程和时间的关系解答即可； （2）先确定F、G的坐标以及t的取值范围，然后利用待定系数法解答即可； （3）先运用待定系数法确定，然后根据图像联立解析式求解即可． 【详解】（1）解：由于乐乐休息1分钟，则； 乐乐去A地的速度为； 故答案为：2；． （2）解：线段对应的函数表达式为． ∵， ∴解得 ∴线段对应的函数表达式为． （3）解：设线段对应的函数表达式为． ∵， ∴，解得：． ∴线段对应的函数表达式为． ①当时，，解得； ②当时，，解得，不合题意，舍去． ③当时，或，解得或． ④当时，两人距B地的路程相等． 综上所述，两人距B地的路程相等的时间为或或或． 【题型四：一次函数与实际问题——几何问题】 例6.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在边长为的正方形中，O是的中点，动点P从A点出发沿折线运动，到达C点就停止，过P点作射线，设P点运动路程为，射线扫过正方形内部的面积为． (1)求出y与x的函数关系式，并在平面直坐系中画出其函图象． (2)写出该函数图象的一条性质： (3)若的图象与的图象有交点，请直接写出k 的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2)当时，y随x的增大而增大． (3)或或或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数的应用，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）利用直角三角形和直角梯形的面积公式解答即可； （2）利用一次函数的图象的性质解答即可； （3）利用分类讨论的方法，联立组成方程组，利用解一元一次不等式组的方法解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． ∴y与x的函数关系式为． 在平面直角坐标系中画出其函数图象如下： （2）解：该函数图象的一条性质：当时，y随x的增大而增大．（答案不唯一） （3）解：若的图象与y的图象有交点， ∴时，与时，有解， ∴时，，时，． ∴，． 解得：或，或． ∴若的图象与y的图象有交点，k的取值范围为或或或． 例7．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图1，图2，在平面直角坐标系中，点B，D的坐标分别为，，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线经过点A和点D． (1)四边形的形状是________； (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，将直线沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点C时，停止移动，设平移的时间为t s． ①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)矩形 (2) (3)①5s；② 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、函数图像的平移．对平面直角坐标系、直线解析式以及图形平移等知识的综合运用是解题的关键． （1）根据坐标可判断错四边形的形状； （2）利用给定的点D，点A的坐标，代入直线解析式即可； （3）根据平移的特点和条件进行分析计算即可． 【详解】（1）∵点B，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A， ∴，，，， ∴四边形的形状是长方形． （2）∵四边形为长方形， ． ∵点B的坐标为， ，∴点A的坐标为． 将点D，点A分别代入， 得：，解得：， ∴直线的函数解析式为：． （3）①将直线向下平移，函数解析式为． 直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点O时长度最大， ， ∴线段长度开始保持不变，当直线经过点B后，线段长度开始减小． 当经过点O时，，解得，当经过点B时，，解得， ∴线段长度保持不变的时长为； ②四边形内部的整点有6个，分别是，，，，，． 当经过点时，有，解得；当经过点时，有，解得， ∴t的取值范围为． 【题型五：一次函数与实际问题——跨学科】 例7．（2024·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为． (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先求出线段中点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）先求出直线解析式，再求出直线解析式，即可求出本题答案； （）作出点关于对称点，可知的坐标，作直线，分别求出这两条直线与轴交点，则点坐标即在范围内，即可得到整数点的个数； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为，，点为平面镜的中点， ， 将，坐标分别代入中得， ， 解得， 所在直线的表达式为； （2）解：当入射光线经过、时， 有， 解得， 当入射光线经过，时， 有， 解得， 入射光线与平面镜有公共点， 的取值范围：； （3）解：作出点关于对称点，则，作直线、分别交轴于，， 同理可得直线的表达式为，直线的直线表达式为， 反射光线与轴相交于点， 点纵坐标的取值范围为， 整点有：，共个． 例8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间） (1)在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇； (2)此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速． 【答案】(1)1，甲、乙在距离起点10公里处相遇 (2)丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里 【分析】本题考查了一元一次函数的应用，分情况讨论是几天的关键； （1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇，列方程，进而得出答案； （2）先求出冠军的平均配速约为3分钟/公里，则丙的平均配速分钟/公里，设丙的平均配速为y分钟/公里，在分别求出，，进而得出，画图，分3中情况进行讨论即可。 【详解】（1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇， ，   解得：， 答：甲、乙在距离起点10公里处相遇．且共有1次相遇， 故答案为：1； （2）冠军用时1小时3分钟， 冠军的平均配速约为3分钟/公里， 丙的平均配速分钟/公里． （法一）设丙的平均配速为y分钟/公里， ，， ． ①如图，当S为中点时，得， 即， ， 丙的平均配速为分钟/公里． ②如图，当T为中点时，得， 即， ， ∴丙的平均配速为分钟/公里． ③如图，当R为中点时，得， 即 （舍去）． 综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里． （法二）设丙的平均速度为y公里/分， ，，， ，． ①如图，当S为中点时，得， 即， ，， 丙的平均配速为分钟/公里． ②如图，当T为中点时，得， 即 ，， ∴丙的平均配速为分钟/公里， ③如图，当R为中点时，得， 即 ， （舍去）． 综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里． 1．某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元． (1)在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）之间的关系式； (3)若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？ 【答案】(1)行车里程是自变量，车费是因变量 (2) (3)8km 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据自变量和因变量的定义即可得到答案； （2）根据题意，列出关系式即可； （3）将车费代入（2）中所列关系式，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：行车里程是自变量，车费是因变量； （2）解：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元， 行车里程超过3km时，； （3）解：当时，即， 解得：， 答：小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了8km的里程． 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）某学校计划购买甲乙两种型号的电脑，购买2台甲种型号电脑与1台乙种型号电脑总费用为8400元；1台甲种型号电脑比1台乙种型号电脑贵600元． (1)求1台甲种型号电脑和1台乙种型号电脑各多少元？ (2)若学校计划购买甲乙两种型号的电脑共60台，并且乙种型号电脑的数量不超过甲种型号电脑的数量的2倍．求至少需要购买多少台甲种型号电脑？并求出购买电脑总费用的最小值． 【答案】(1)1台甲种型号电脑和1台乙种型号电脑的价格分别为3000元、2400元． (2)至少需要购买20台甲种型号电脑，购买电脑总费用的最小值为元． 【分析】（1）本题考查了一元一次方程的应用，设1台甲种型号电脑的单价为元，则1台乙种型号电脑的价格为元，根据“购买2台甲种型号电脑与1台乙种型号电脑总费用为8400元”列出方程即可解题． （2）本题考查了一元一次不等式，及一次函数在实际问题中应用，设1种型号电脑的数量为台，则乙两种型号的电脑有台，根据“乙种型号电脑的数量不超过甲种型号电脑的数量的2倍”列出一元一次不等式，得到的取值范围，然后根据总费用购买甲种型号的费用购买甲种型号的费用，列出关系式，根据关系式的增减性，即可解题． 【详解】（1）解：设1台甲种型号电脑的价格为元，则1台乙种型号电脑的价格为元， 由题意可得，， 解得：， 所以1台甲种型号电脑的价格为：3000元， 1台乙种型号电脑的价格为：（元）． 答：1台甲种型号电脑和1台乙种型号电脑的价格分别为3000元、2400元． （2）解： 设甲种型号电脑的数量为台，则乙两种型号的电脑有台， 乙种型号电脑的数量不超过甲种型号电脑的数量的2倍， ，解得． 由题知，购买电脑总费用， 电脑总费用随着的增大而增大， 当值最小时，电脑总费用最小， 即当时，电脑总费用最小为（元） 答：至少需要购买20台甲种型号电脑，购买电脑总费用的最小值为元． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少． 【答案】(1)、 (2)当时，选方案二较划算；当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多；当时，选方案一较划算． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、列函数关系式等知识点．根据题意正确列出两种方案的解析式是解题的关键． （1）分别根据方案一、方案二列出y关于x的函数关系式即可； （2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：按优惠方案一：， 按优惠方案二：； 所以两种优惠方案中y与x的函数表达式分别是：、 （2）解：∵， ∴①当，解得， ∴当时，选方案二较划算； ②当时，解得， ∴当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多； ③当时，解得， ∴当时，选方案一较划算． 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，                                                                     则总费用     整理得：                                      ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 5．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：    (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义 (2)求，，关于x的函数解析式 (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 【答案】(1)当骑行时间为时，两种品牌的收费一样 (2)， (3)①　②或 【分析】（1）当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． （2）待定系数法确定；． （3）①骑行时间，结合图形判断品牌更省钱；②根据题意，构建方程，解得或． 【详解】（1）解：当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． （2）解：设，经过， ∴，得， ∴． 设，经过，则 ，解得 ∴． （3）解：①骑行时间， 如图，当骑行时间超过后，品牌更省钱． ②根据题意，，变形得， 解得或 ∴或时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【点睛】本题考查待定系数法确定一次函数解析式及图象及应用，理解函数与方程的联系是解题的关键． 6．（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合运用：已知：如题图1，在四边形中，，，，为边的中点，为四边形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)当点在边上时，求与之间的函数关系式； (3)如题图2，当点在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请画出此时点的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，画图见解析 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 1）当时，点的位置，利用三角形的面积公式进行求解即可； （2）当点在上时有以下2种情况：当在线段上时及当在线段上时进行讨论求解即可； （3）延长到，使得，即点与点关于对称，连接交于点，则点为所求作的点． 【详解】（1）， 当时，在上，如图所示： ， ，为中点 （2）当点在上时有以下2种情况： ①当在线段上时，即时， ． ②当在线段上时，即时， ． 综上所述：． （3）存在点使得周长最小， 如图所示，作法：延长到，使得， 即点与点关于对称，连接交于点， 则点为所求作的点． 7．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)，否； (2)①；②； (3)． 【分析】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）①利用待定系数法即可求解；②利用待定系数法求出射线的函数表达式，再联立两函数表达式得到方程组，解方程组即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速， 故答案为：，否； （2）解：①设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴； ②设射线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 由，解得， ∴射线、射线的交点坐标为； （3）解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.4 一次函数模型的应用 课程标准 学习目标 能用一次函数解决简单实际问题 ①会根据实际问题中的等量关系、变化图象中的点的坐标确定一次函数的表达式，及自变量的取值范围； ②会利用一次函数的知识解决最大利润、最少费用、行程、分配方案等实际问题； ③会应用分段函数表示出面积S与动点运动时间t之间的函数关系。 ·分段函数的应用——根据图象信息解决问题 ①先根据信息（表格、图象等）对自变量x的范围进行分类讨论； ②根据不同的自变量的范围，用待定系数法或等量关系求出对应的一次函数解析式； ③将几个函数解析式写成分段函数的形式。 ·分类讨论三角形的面积S与动点运动时间t之间的函数关系 分别表示出三角形的底和高，用时间t表示出三角形的面积，并表示自变量x的范围 【题型一：一次函数与实际问题——最大利润（最少费用）问题】 例1.（23-24八年级下·安徽淮南·期末）“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，伴着百花飘香，杨柳依依的美好春光，某中学迎来了校园读书节活动．该中学计划为在本次校园读书节活动中获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品的单价为每件20元、乙种奖品的单价为每件10元，共购买50件．设甲种奖品购买x件，购买两种奖品的总费用为y元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的3倍，请你设计费用最少时的购买方案，并求出最少费用． 变式1-1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）某花农要将规格相同的800棵平安树运往A，B，C三地销售，要求运往C地的棵数是运往A地棵数的3倍，各地的运费如表所示： A地 B地 C地 运费（元/棵） 10 20 15 (1)设运往A地的平安树x（棵），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围； (2)若要求运往A地的平安树不超过运往B地的平安树，且总运费不超过14000元，问当运往A地的平安树多少棵时，总运费才最省？ 变式1-2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2022年某企业按餐厨垃圾处理费12元/吨，建筑垃圾处理费10元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费3400元，从2023年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费40元/吨，建筑垃圾处理费20元/吨．若该企业2023年处理的这两种垃圾数量与2022年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费6600元． (1)该企业2023年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？ (2)该企业计划2023年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2023年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？ 例2.（23-24八年级上·安徽六安·期末）某商场购进甲、乙两种空气净化器共80台进行销售，已知销售2台甲种空气净化器和1台乙种空气净化器获利1100元：销售1台甲种空气净化器和2台乙种空气净化器获利1300元，设购进甲种空气净化器x台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元． (1)每台甲种空气净化器和每台乙种空气净化器利润各多少? (2)求w关于x的函数解析式．（不写x的取值范围） (3)若乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，当甲种空气净化器购进多少台时，销售总利润w最大?最大总利润是多少? 变式2.（23-24八年级上·安徽六安·期末）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如表：设其中甲种商品购进件，商场售完这批商品的总利润为元． 商品名称 甲 乙 进价（元/件） 40 90 售价（无/件） 60 120 (1)写出关于的函数关系式； (2)该商品计划最多投入8000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ 【题型二：一次函数与实际问题——分配方案问题】 例3．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）某学校组织学生研学，游览太湖山自然风光．已知太湖山景区有动物园和植物园两个景点，其中动物园门票40元/张，植物园门票30元/张．景区对批量购买门票给予打折优惠，有以下两种方案： 方案一：动物园门票每张打九折，植物园门票每张打六折； 方案二：动物园门票和植物园门票均打八折． 若该学校计划购买门票共100张．设购买动物园门票x张，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)求与x之间的函数表达式； (2)请你分析该学校如何选择购买方案使得所付的费用较少． 变式3.（23-24八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? (3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 【题型三：一次函数与实际问题——行程问题】 例4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离与骑车时间的函数关系，求何时甲乙两人相遇． 变式4．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）A、B两地相距300千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地．如图，线段表示甲车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离A地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题． (1)直接写出线段对应的函数解析式； (2)求点P的坐标，并说出点P坐标的实际意义． 例5．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）一辆汽车和一辆摩托车分别从、地同时前往同一个地方（三点在同一条直线上）城，它们距离地的路程随着时间的变化的图象如图所示．    (1)他们相遇时，汽车离地多远？ (2)S表示他们的距离，表示出发的时间，求： ①与的函数关系式，并画出函数图象； ②若方程有解，请直接写出的取值范围． 变式5．在一条笔直的道路上依次有A、、三地，南南从A地跑步到地，同时乐乐从地跑步到A地，休息后接到通知，要求乐乐比南南早到达地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地的路程与南南的跑步时间之间的函数图像．    (1)___________，乐乐去A地的速度为___________． (2)结合图像，求出线段对应的函数表达式写出自变量的取值范围． (3)求出两人距地的路程相等的时间． 【题型四：一次函数与实际问题——几何问题】 例6.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在边长为的正方形中，O是的中点，动点P从A点出发沿折线运动，到达C点就停止，过P点作射线，设P点运动路程为，射线扫过正方形内部的面积为． (1)求出y与x的函数关系式，并在平面直坐系中画出其函图象． (2)写出该函数图象的一条性质： (3)若的图象与的图象有交点，请直接写出k 的取值范围． 例7．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图1，图2，在平面直角坐标系中，点B，D的坐标分别为，，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线经过点A和点D． (1)四边形的形状是________； (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，将直线沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点C时，停止移动，设平移的时间为t s． ①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出t的取值范围． 【题型五：一次函数与实际问题——跨学科】 例7．（2024·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为． (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 例8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间） (1)在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇； (2)此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速． 1．某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元． (1)在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）之间的关系式； (3)若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？ 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）某学校计划购买甲乙两种型号的电脑，购买2台甲种型号电脑与1台乙种型号电脑总费用为8400元；1台甲种型号电脑比1台乙种型号电脑贵600元． (1)求1台甲种型号电脑和1台乙种型号电脑各多少元？ (2)若学校计划购买甲乙两种型号的电脑共60台，并且乙种型号电脑的数量不超过甲种型号电脑的数量的2倍．求至少需要购买多少台甲种型号电脑？并求出购买电脑总费用的最小值． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少． 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 5．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：    (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义 (2)求，，关于x的函数解析式 (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 6．（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合运用：已知：如题图1，在四边形中，，，，为边的中点，为四边形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)当点在边上时，求与之间的函数关系式； (3)如题图2，当点在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请画出此时点的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由． 7．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$