专题22.7 利用一元二次方程解决实践与探索问题（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（华东师大版）

专题22.7 利用一元二次方程解决实践与探索问题 目录 【典型例题】 1 【考点一 用一元二次方程解决增长率问题】 1 【考点二 用一元二次方程解决传播问题】 4 【考点三 用一元二次方程解决数字问题】 6 【考点四 用一元二次方程解决营销问题】 8 【考点五 用一元二次方程解决动态几何问题】 12 【考点六 用一元二次方程解决与图形有关的问题】 18 【考点七 用一元二次方程解决工程问题】 22 【考点八 用一元二次方程解决行程问题】 25 【过关检测】 29 【典型例题】 【考点一 用一元二次方程解决增长率问题】 例题：（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 【变式训练】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某品牌衬衫标价为元件，为提高销售量，经过两次降价后为元件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种衬衫每次降价的百分率； (2)若该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【考点二 用一元二次方程解决传播问题】 例题：（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程 ． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 【考点三 用一元二次方程解决数字问题】 例题：（23-24九年级上·河北保定·期末）一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知a是一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小6，把十位上的数字与个位上的数字对调后得到一个新的两位数b，如果，那么 ． 【考点四 用一元二次方程解决营销问题】 例题：（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 2．（2024·广西·模拟预测）某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元． 3．（2024·四川南充·模拟预测）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【考点五 用一元二次方程解决动态几何问题】 例题：（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 【考点六 用一元二次方程解决与图形有关的问题】 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京海淀·期中）列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为，求道路宽的长度． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ (1)如果设金色纸边的宽度为x分米，那么挂画的长可表示为　　分米，挂画的宽可表示为　　分米，列出的方程为　　． (2)根据你所列的方程求出x的值． 4．（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【考点七 用一元二次方程解决工程问题】 例题：（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 2．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【考点八 用一元二次方程解决行程问题】 例题：（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【变式训练】 1．（2023·四川成都·一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 2．（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 2．（2024年内蒙古自治区呼和浩特中考数学试题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川南充·期末）生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A． B． C． D．或 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023九年级·全国·专题练习）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，且这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为，则可列出方程 ． 6．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 7．（23-24八年级下·山东泰安·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 三、解答题 9．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 10．（23-24九年级上·吉林白山·期末）某超市在今年“国庆、中秋双节”期间进行促销活动，前七天的总营业额为450万元，第八天的营业额是前七天总营业额的． (1)求该超市今年“国庆、中秋双节”这八天的总营业额； (2)今年7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“国庆、中秋双节”这八天的总营业额与9月份的营业额相等．求该超市8、9月份营业额的月增长率． 11．（22-23九年级上·四川成都·期中）成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ 12．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 13．（23-24八年级下·重庆·期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批普通头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将该种普通头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶普通头盔应降价多少？ (2)随着夏季的到来，该商店计划另购进一批具有防晒功能的头盔，进价为80元/顶，两种头盔共200顶（两种都有），其中普通头盔的个数不低于防晒头盔个数的2倍．若普通头盔的售价为降价后的价格，防晒头盔的售价为110元/顶，两种型号头盔全部售完时获得的利润为元，该商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 14．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 15．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元． (1)求与之间的函数解析式，并求出的取值范围； (2)该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值． (3)公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？ 16．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.7 利用一元二次方程解决实践与探索问题 目录 【典型例题】 1 【考点一 用一元二次方程解决增长率问题】 1 【考点二 用一元二次方程解决传播问题】 4 【考点三 用一元二次方程解决数字问题】 6 【考点四 用一元二次方程解决营销问题】 8 【考点五 用一元二次方程解决动态几何问题】 12 【考点六 用一元二次方程解决与图形有关的问题】 18 【考点七 用一元二次方程解决工程问题】 22 【考点八 用一元二次方程解决行程问题】 25 【过关检测】 29 【典型例题】 【考点一 用一元二次方程解决增长率问题】 例题：（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】(1)从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为 (2)2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据题意，销售量从2021年20万辆增加到2023年51.2万辆，增加了31.2万辆，列出方程求解即可． （2）根据（1）中计算得出的增长率，列出算式求解即可． 【详解】（1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为． 得：， 解得：，（舍去）． ∴从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为． （2）由题意得：（万辆）． ∴2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆． 【变式训练】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区8月份游客人数该景区6月份游客人数（这两个月中该景区游客人数的月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，根据9月份该景区游客人数的增长率不会超过前两个月的月平均增长率，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设9月份后9天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最大值为． 答：9月份后9天日均接待游客人数最多是万人． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某品牌衬衫标价为元件，为提高销售量，经过两次降价后为元件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种衬衫每次降价的百分率； (2)若该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 【答案】(1)该种衬衫每次降价的百分率为 (2)第一次降价至少要销售出件该种衬衫 【分析】设这种衬衫每次降价的百分率为，由题意：衬衫标价为元件，经过两次优惠降价为元件，并且两次降价的百分率相同．列出方程，解方程即可； 设第一次降价要销售出件该种衬衫，由题意：该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设这种衬衫每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该种衬衫每次降价的百分率为； （2）设第一次降价要销售出件该种衬衫， 由题意得： 解得：， 答：第一次降价至少要销售出件该种衬衫． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【详解】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； （2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 【考点二 用一元二次方程解决传播问题】 例题：（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可. 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： . 故答案为. 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，关键要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有支球队参加，那么就有场比赛． 本题可设有支球队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，从而可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有人收到短信，据此列方程即可． 【详解】解：设每人给y人发短信， 由题意得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支． ， ， 解得（不合题意，舍去），， 故答案为：9． 【考点三 用一元二次方程解决数字问题】 例题：（23-24九年级上·河北保定·期末）一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用．设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，然后根据“十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数”即可列出方程求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴这个两位数为46． 故答案为：46． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 即 ∴ ∴ 解得：或 故答案为：或． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 根据题意可得个位数为，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可． 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是， 由题意可得：． 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知a是一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小6，把十位上的数字与个位上的数字对调后得到一个新的两位数b，如果，那么 ． 【答案】39 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为，根据列方程求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为， ， 解得（舍），或， ． 故答案为：39． 【考点四 用一元二次方程解决营销问题】 例题：（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 依题意有． 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元， 依题意得：， 解得，， 每碗售价不得超过15元， 当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元 (2)每件恤衫的销售价应该定为元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； （2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； （3）解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 2．（2024·广西·模拟预测）某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元． 【答案】(1) (2)40元或者60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是理解题意，能正确列出一元二次方程． （1）利用待定系数法求解可得； （2）由题意可得，， 再求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 根据图象可知，点在上，代入可得， ∴ ， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由题意可得，， 解得，， 答：当销售价为40元或者60元时，每天的利润可以达到1600元． 3．（2024·四川南充·模拟预测）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【答案】(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个； (2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； (3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解； （3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个， ， 解得， 答：购进款纪念币12个，款纪念币20个； （2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增小， 当时，取得最大值，最大值（元， 此时（个． 即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； （3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 依题意得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【考点五 用一元二次方程解决动态几何问题】 例题：（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】(1)2或4 (2)秒 【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当运动时间为时，，由四边形为平行四边形，可得出，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）过点作于点，则，当运动时间为时，，，，由，利用勾股定理，可得出，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 过点作于点，则，如图所示， 当运动时间为时，，， 根据题意得：， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：的值为或． 【点睛】本题主要考查动点与线段数量关系，平行四边形的性质，解一元一次方程，一元二次方程，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析思想是解题的关键． 【考点六 用一元二次方程解决与图形有关的问题】 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【详解】（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， （2）由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京海淀·期中）列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为，求道路宽的长度． 【答案】道路宽的长度为． 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽的长度为，根据题意列出方程，然后求解即可，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设道路宽的长度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽的长度为． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【答案】(1)道路的宽度为1米； (2)最多购进A种花卉240株． 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680元，”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设道路的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：，， ∵，故舍去， ， 答：道路的宽度为1米． （2）解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株， 根据题意得：, 解得：， ∴最多购进A种花卉240株． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ (1)如果设金色纸边的宽度为x分米，那么挂画的长可表示为　　分米，挂画的宽可表示为　　分米，列出的方程为　　． (2)根据你所列的方程求出x的值． 【答案】(1)，， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设金色纸边的宽度为分米，那么挂画的长可表示为分米，挂画的宽可表示为分米，根据挂画的面积为80平方分米，列方程即可； （2）求解（1）所列的方程． 【详解】（1）解：设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长为分米，挂画的宽为分米， 由题意得； 故答案为：，，． （2）解：整理方程得：， 解得：，（不合题意舍去）． ， 4．（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】(1)4个 (2)6米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； （2）解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 【考点七 用一元二次方程解决工程问题】 例题：（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 2．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【考点八 用一元二次方程解决行程问题】 例题：（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2023·四川成都·一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)480米 (2)70分钟 【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑480米． （2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 2．（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)7，理由见解析 【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案； （2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得， ， 解得， ∴关于t的函数关系式为； （2）解：对于球来说，， 小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为， 由小明在4s时第一次追上球可得，， 解得， 即图中a的值为； （3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为， ，，则， ， 第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 第三次踢后，变化规律为， ，，则， ， 第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 又开始下一个循环， 故第四次踢球所需时间为，经过24米， 故第五次踢球所需时间为，经过48米， 故第六次踢球所需时间为，经过24米， 故第七次踢球所需时间为，经过48米， ∵，， ∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次， 故答案为：7 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：D 2．（2024年内蒙古自治区呼和浩特中考数学试题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 3．（23-24九年级上·四川南充·期末）生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每个支干分出个小分支， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故选：． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，熟练掌握题意是解题的关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意中的等量关系可得：， 故选B． 二、填空题 5．（2023九年级·全国·专题练习）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，且这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为，则可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设个位数字为，则十位数字为，根据题意，找出等量关系，即可列出方程， 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为， 可列出方程为：， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 【答案】24 【分析】本题一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 7．（23-24八年级下·山东泰安·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键． 设通道的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设通道的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 故答案为：6． 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【详解】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 故答案为：2或． 三、解答题 9．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 10．（23-24九年级上·吉林白山·期末）某超市在今年“国庆、中秋双节”期间进行促销活动，前七天的总营业额为450万元，第八天的营业额是前七天总营业额的． (1)求该超市今年“国庆、中秋双节”这八天的总营业额； (2)今年7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“国庆、中秋双节”这八天的总营业额与9月份的营业额相等．求该超市8、9月份营业额的月增长率． 【答案】(1)504万元 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据该商店去年“国庆、中秋双节”这七天的总营业额=前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论； （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：（万元）． 答：该商店去年“国庆、中秋双节”这八天的总营业额为504万元． （2）解：设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为． 11．（22-23九年级上·四川成都·期中）成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； (2)售价应降低元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数的乘方，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算求解即可； （2）①由降低元，得每天可售出千克，②根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：（亩） 答：到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； （2）解：①设售价应降低元，则每天可售出千克； ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低元． 12．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26，12 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； （2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 13．（23-24八年级下·重庆·期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批普通头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将该种普通头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶普通头盔应降价多少？ (2)随着夏季的到来，该商店计划另购进一批具有防晒功能的头盔，进价为80元/顶，两种头盔共200顶（两种都有），其中普通头盔的个数不低于防晒头盔个数的2倍．若普通头盔的售价为降价后的价格，防晒头盔的售价为110元/顶，两种型号头盔全部售完时获得的利润为元，该商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每顶头盔应降价20元 (2)购进普通头盔个，防晒头盔个，获得最大利润元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的实际应用： （1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，根据每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定的值； （2）设购进普通头盔的个数为个，根据普通头盔的个数不低于防晒头盔个数的2倍，求出的范围，根据总利润等于单件利润乘以销量，等于两种头盔的利润之和，列出一次函数，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ． 答：每顶头盔应降价20元； （2）由（1）知，普通头盔降价后的售价为元， 设购进普通头盔的个数为个，则购进防晒头盔个数为个， 由题意，得：， 解得：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为整数， ∴当时，有最大值，为：元，此时； 故应购进普通头盔个，防晒头盔个，获得最大利润元． 14．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1)27 (2)边的长为 (3)饲养场的面积不能达到，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）直接根据图形计算即可； （2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解； （3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：(米)． 故答案为：27． （2）解：设米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，(米)， ，符合题意， 答：边的长为8米． （3）解：不能，理由如下： 设米， 则米， 依题意得：， 整理得：． ， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到198平方米． 15．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元． (1)求与之间的函数解析式，并求出的取值范围； (2)该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值． (3)公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？ 【答案】(1)， (2) (3)元 【分析】（）根据题意即可得出与之间的函数关系式，根据两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，列不等式组可得的范围； （）根据题意得，再根据一次函数的性质解答即可求解； （）设销售单价为元时，利润可达到元，根据题意列出一元二次方程即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确题意，正确列出一次函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元， ∴， 解得， ∴与之间的函数解析式为，的取值范围是； （2）解：根据题意可知一共捐出元， ∴， 当时, 的最大值小于，不符合最大收益为元， ∴.这种情况不存在； 当时，可知时，取最大值， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：设销售单价为元时，利润可达到元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客． 16．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)1 (4)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质得出，可列出关于t的方程，然后求解即可； （2）根据勾股定理列方程求解即可； （3）根据三角形面积公式列方程求解即可； （4）根据的面积与五边形的面积之比等于，得出的面积与矩形的面积之比等于，然后根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解∶∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点在的垂直平分线上； （2）解：∵的长度等于，， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的长度等于； （3）解：∵的面积等于， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的面积等于， （4）解：∵的面积与五边形的面积之比等于， ∴的面积与矩形的面积之比等于， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的面积与五边形的面积之比等于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$