专题22.5 一元二次方程的根与系数的关系（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（华东师大版）

专题22.5 一元二次方程的根与系数的关系 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用一元二次方程根与系数的关系求值】 1 【考点二 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 2 【考点三 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 4 【考点四 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 7 【考点五 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 10 【考点六 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 13 【过关检测】 18 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例1．（23-24九年级上·广东湛江·期末）一元二次方程根与系数关系：如果，是一元二次方程的两个根，那么 ， ． 【变式训练】 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知、是方程的两个根，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·开学考试）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·重庆·开学考试）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【考点二 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例2.（2024·江苏南京·模拟预测）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【变式训练】 1．（2024·湖北十堰·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 2．（2024·内蒙古包头·三模）设是方程的两个实根，则代数式的值为 ． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． （2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【考点三 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 例3. （2023·山东淄博·模拟预测）关于的方程的两实数根，满足，则 ． 【变式训练】 1．（2024·江苏南京·一模）设是方程的两个根，且，则 ． 2．（2023·四川雅安·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，且则k的值为 3．（23-24九年级下·江西九江·期中）已知，是关于的方程的两根，且，则的值是 ． 【考点四 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 例4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【变式训练】 1.（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【考点五 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 例5. （23-24九年级上·广东深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 【变式训练】 1.（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．9 2.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【考点六 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 例6. （2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【变式训练】 1．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 3．（23-24八年级下·广东湛江·期末）阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为． 已知关于x的方程： (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围． (2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值． (3)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程的两个根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．以上答案都不对 5．（2024·重庆·模拟预测）设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的一元二次方程有一个根为3，则另一个根为 ． 7．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）若、分别为方程的两根，则 ． 8．（2024·四川乐山·二模）若关于x的方程两根互为负倒数，则m的值为 ． 9．（2024·四川泸州·一模）已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 10．（2023九年级上·江苏·专题练习）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 12．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 13．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若满足，求m的值． 14．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为． (1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； (2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 15．（23-24八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程M：，且． (1)请直接写出方程M：的一个根． (2)方程N：． ①若方程M的另一个根为，求方程N的两根． ②若方程M，N的根相同，求证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.5 一元二次方程的根与系数的关系 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用一元二次方程根与系数的关系求值】 1 【考点二 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 2 【考点三 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 4 【考点四 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 7 【考点五 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 10 【考点六 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 13 【过关检测】 18 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例1．（23-24九年级上·广东湛江·期末）一元二次方程根与系数关系：如果，是一元二次方程的两个根，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：根据根与系数的关系得，． 故答案为：，． 【变式训练】 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知、是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，，熟记一元二次方程的根与系数的两个关系式是解题的关键．一元二次方程的根与系数的两个关系式为，，根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，可得． 故答案为：2024． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·开学考试）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查根与系数的关系．直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ，， ． 故答案为：2． 3．（23-24九年级上·重庆·开学考试）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握，是解题关键．根据根与系数关系求出和的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ，， ∴， 故答案为：17． 【考点二 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例2.（2024·江苏南京·模拟预测）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【分析】由，是方程的两个实数根，可得， ，则可得，然后整体代入中求值即可． 本题考查了一元二次方程的根的意义及根与系数的关系．熟练掌握以上知识且利用整体代入法求解是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ， ． 故答案为：2023． 【变式训练】 1．（2024·湖北十堰·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：3 2．（2024·内蒙古包头·三模）设是方程的两个实根，则代数式的值为 ． 【答案】74 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：74． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． （2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 2042 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用． （1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，再整体代入即可求出结论． （2）由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案． 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴． 故答案为：． （2）∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2042． 【考点三 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 例3. （2023·山东淄博·模拟预测）关于的方程的两实数根，满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，先计算一元二次方程根的判别式，求出的范围，再由即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：， ， ， 解得：， 由题意得，解得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·江苏南京·一模）设是方程的两个根，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式． 根据根与系数的关系得，再根据，即可解得的值． 【详解】解：∵关于的方程有两实根， ∴， 根据题意得， ， ， 解得， 故答案为：1． 2．（2023·四川雅安·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，且则k的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．计算根的判别式，由题意得关于的不等式，求解得出的取值范围；利用根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和与积，代入关系式得关于的方程，求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根． ， 解得． ，， ， 即， ，， ∵， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·江西九江·期中）已知，是关于的方程的两根，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，进而可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点四 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 例4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 【变式训练】 1.（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 2.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 【考点五 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 例5. （23-24九年级上·广东深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出，结论C错误；D、由，可得出、异号，结论D错误．综上即可得出结论． 【详解】解：A、， ，结论正确，符合题意； B、、是关于的方程的两根， ， 的值不确定， 结论不一定正确，不合题意； C、、是关于的方程的两根， ，结论错误，不合题意； D、， 、异号，结论D错误，不合题意． 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程的两个根，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：，， ∵， ， 解得：，故， 故选：C． 2.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，解不等式得：， ∴； 当时，解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：． 故答案为：． 【考点六 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 例6. （2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式训练】 1．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入，利用配方法求解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【详解】（1）解：， 原方程为， 解得：； （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合题意求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴的值为． 3．（23-24八年级下·广东湛江·期末）阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为． 已知关于x的方程： (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围． (2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值． (3)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2)，或， (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据判别式大于等于零列不等式求解； （2）将代入方程得，，求出m，再根据两根和列方程求出n； （3）由根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形即可求出m的值． 【详解】（1）解：因为方程有两个实数根， 所以， 解得， 所以m的取值范围是； （2）将代入方程得，， 解得． 当时，方程为 因为， 所以． 当时，方程为 因为， 所以． 综上所述，或． （3）因为方程的两个实数根为， 所以． 因为， 所以， 即， 解得． 因为， 所以， 即m的值为． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入求值即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解得到，根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程的两个根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，以及菱形的性质，设两个根分别为，，利用根与系数的关系得到，，结合菱形的性质和勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设两个根分别为，， ，， 菱形的周长为20， ， 即， 解得或（舍去）， 故选：D． 5．（2024·重庆·模拟预测）设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为，由此求解即可． 【详解】解：设一元三次方程的三个非零实根分别为，，， 则方程可写成，即． 对比可得，，，， 可得，，， ， 综上可知，①②④正确，③错误， 故选B． 二、填空题 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的一元二次方程有一个根为3，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到，然后解关于t的一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一根为t， 根据根与系数的关系得，， 解得， 即方程的另一个根为． 故答案为． 7．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）若、分别为方程的两根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查根与系数的关系，根据题意，得到，整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：3． 8．（2024·四川乐山·二模）若关于x的方程两根互为负倒数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根的判别式及根与系数的关系找出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设α，β是关于x的方程的两根， ∴，， ， ， ， 恒成立， ∵关于x的方程两根互为负倒数， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．（2024·四川泸州·一模）已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根， 故答案为：0 10．（2023九年级上·江苏·专题练习）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是 ． 【答案】4 【分析】由题意知，，，则，由，，可得，计算求出满足要求的值，然后求的值，最后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，整理得， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，代数式求值等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系； （1）利用根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得，； 即b的值为或； （2）当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 12．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． （1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：根据题意得： ，， ， ， 解得：（符合题意）， 即的值为． 13．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与判别式的关系，根据根与系数的关系，求出； （1）根据方程有两个不相等的实数根可得，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得，，可以求出，再由绝对值的性质得到关于m的一元二次方程，求解即可； 【详解】（1）关于x的方程有两个不相等的实数根， 解得； （2）由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， m的值为； 14．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为． (1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； (2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)2 (2)或1或 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是： （1）利用根与系数的关系得出，，利用勾股定理列出关于k的方程，即可求解； （2）利用平方差公式得出，然后分两种情况讨论，由根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴无论k取何值，方程总有实数根， ∴，， ∵是斜边长为的直角三角形的两直角边， ∴， ∴， ∴， 解得(经检验，此时两根之积为负数，故舍去)，， ∴k的值为2 （2）解：假设存在， 当时，则，解得， 当时，， ∴， ∴， ∴ 解得，， 综上，当k的值为或1或时，． 15．（23-24八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程M：，且． (1)请直接写出方程M：的一个根． (2)方程N：． ①若方程M的另一个根为，求方程N的两根． ②若方程M，N的根相同，求证． 【答案】(1) (2)①，；②见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程根与系数关系，掌握使一元二次方程成立的未知数值叫一元二次方程的解和一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）把代入方程，得，即可得出结论； （2）①由题意可得方程M的根为：或；将方程的两边同除以，得，则，对比方程M，可得或1，即可求解； ②设两方程两根为, ,对于方程M，则，对于方程N，则，所以，则，代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ∴是方程M：的一个根； （2）解：①由（1）知是方程M的一根， ∵方程M的另一个根为， ∴方程M的根为：或； 方程的两边同除以，得， ∴， ∴或， ∴，； ②∵方程M，N的根相同，设两方程两根为, , ∴对于方程M，则，对于方程N，则， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$